IMAGINAIRES
En particulier l’on voit encore que :
Pour trouver en quel point la tangente d’une courbe devient parai lèle aux ordonnées ou aux abscisses, il faut chercher en quels points dx . „
— ou seulement dx devient zéro pour le premier cas et en quels y t du ^
points — où seulement dy devient zéro pour le second cas. On
devra donc différenticr l’équation de la courbe, en tirer la valeur
dx
de — - ; puis si l’on égale le numérateur de cette valeur à zéro, on
dy
aura une équation qui, conjointement avec l’équation même de la courbe, donnera la valeur de a; ou celle de y qui détermine en quel point la tangente est parallèle aux ordonnées; en sorte que si cela arrive en plusieurs endroits, on aura plusieurs valeurs pour x et plusieurs valeurs pour y.
Si c’est le dénominateur qu’on égale à zéro , cette équation conjointement avec celle de la courbe déterminera les valeurs de x et de y qui répondent aux endroits où la tangente de la courbe devient parallèle aux abscisses.
Equations de la tangente et de la normale à une courbe. On est souvent conduit à considérer la tangente ou la normale h une courbe par leurs équations.
Remarquons d’abord que lorsque deux lignes se touchent, on a pour le point de contact seulement
y' = y ci
dy'
dx'
dy
x et y étant les coordonnées du point de la courbe où le contact a lieu et x’ y' celles des points quelconques de la ligne touchante.
Si la ligne touchante est droite, et dés lors exprimée par l’équation y’ = ox'-f- b ; lorsqu’on la considère isolément, son équation devient
y - y = te (x ~
COURBES. 43 i
lorsqu’on l’assujettit à être tangente à une courbe quelconque au point x y de cette courbe.
En faisant y =o dans cette équation, on déterminera l'intersection de la droite avec l’axe des x, et l'on aura
y dx
dy
l'équation de la normale ou perpendiculaire è la tangente au même point x y de la courbe est
en faisant y' =o on aura également l’intersection avec l’axe des Xj l’équation devient alors
Si par un point a p pris hors d’une courbe, on se proposait de mener une tangente à cette courbe, l’équation
servirait, conjointement avec l’équation de la courbe proposée, à déterminer les coordonnées a: y du point de contact.
Enfin, si une droite doit non-seulement toucher une courbe donnée, mais en outre faire avec l’axe des x un angle dont la tangente
soit donnée et = t, il suffira de poser ^ = t comme nous l’avons vu
j (UC
plus haut, ~ étant tirée de l’équation de la courbe, puis de com-
. du
biner cette équation avec la valeur de — , on trouvera ainsi la va-
leur de x et dey qui conviennent au point de contact demandé.
Osculation, — développante , — dévoloppée ; — rayonde courbure delà développée ou osculateur. Si l’on conçoit que par chacun des points i' 2’ 3Ï... 8' supposés infiniment rapprochés d’une courbe quelconque ( Planche XXIX, fig. 2), on ait conduit des normales à cette courbe (l'I) (2'2) (3’3)... (8'8), les intersections consécutives 2 3 4
5.. . 8 formeront une autre courbe qu’on appelle la développée de la première, parce que si on la conçoit enveloppée d’un fil 0 1 2 3... 8 fixé en 8, par exemple, et qu’on développe ce fil en le maintenant également tendu, son extrémité 0, en s’éloignant de la courbe 0 t
2.. . 8, trace la courbe 0 i' 2’... 8'. qui prend à son tour le nom de développante.
COURBES. t
Considérées par rapport à la développante , les droites (1 1') (2 2')... (8 8') que nous désignerons en général par la variable p, sont ses rayons de courbure, ou les rayons des arcs des cercles oscillateurs, ou en d’autres termes les rayons variables des arcs de cercle qui se confondraient avec les arcs de la développante en chacun de ses points 0 à 8'.
Pour bien saisir la nature particulière de l’arc de cercle osculateur, et par suite ce que l’on eutend par rayon osculateur ou de courbure d’une courbe quelconque 0 1' 2'.. 8', on peut remarquer que le nombre des arcs de cercles simplement tangents en chaque point (8 par exemple) d’une courbe est infini, parce que tous les cercles qui auraient leurs centres en un point quelconque de la normale 8 8' supposée indéfinie, et qui passeraient en même temps par 8' seraient tangents à la courbe en ce point; mais en observant que les uns toucheraient la courbe en dedans et les autres en dehors, on définira nettement l’arc du cercle osculateur en chaque point, en disant qu’il est celui qui sépare les premiers cercles des seconds.
On nomme souvent aussi p le rayon de la développée , expression qui parait vicieuse, car elle tend à confondre p ou 88' par exemple, avec C 8. Quoi qu’il en soit, on voit, 1° que la variable p mesure la courbure de la développante en chacun de ses points: 2° que par la génération même de la développante, p est normale au petit arc développant et tangent au petit arc développé; 3n que les différences successives des diverses valeurs de p sont les différences des arcs développés correspondants; de sorte que l’on a, par exemple
(8 8') — (7 7') = arc. (8 7)
(8 8') — (1 t')=:arc. (81)
(8 8')— 0 = arc. (8 0), etc.
Cela posé , soient x et y les coordonnées d’un point quelconque d’une eourhe quelconque (0 1* 2'... 8')p son rayon de courbure ou osculateur au même point, tx jï les coordonnées du point de la développée correspondant au point développant xy,ou bien les coordonnées du centre de l’arc de cercle osculateur en ce point xy,- ds l’arc infiniment petit de la développante ou du cercle osçulateur au même point xy, on a pour l’expression générale de p dans une courbe quelconque
is'
rayon de courbure ;
si l’on fait dx constant, c’est-à-dire si l’on convient que les accroisse-
roents de l’abscisse se fout par degrés égaux infiniment petits, alors les cPx devenant zéro, l’on a, en se rappelant que ds= ( dx 2 -f- <fi/2) *
p — rayon de courbure = dÿ [dx'-\-dy')
- ( dx ' + dy')
dx d'y
dx d'y
(dx' + dy'} d'y
On n’a laissé que le'signc — dans l’expression de la valeur ci-dessus du rayon de courbure; cela suppose que l’on est convenu de regarder comme positifs les rayonsdont les courbes ont leur concavité tournée vers l’axe des abscisses, comme dans la figure. Si donc à la fin du calcul d’un rayon de courbure, on tombait sur une valeur négative, cela signifierait qucja courbe est convexe à l’axe des abscisses.
Equation de la développée. Les équations (2) et (3) serviront à trouver l’équation de la développée, en partant de celle de la développante. Celte équation de la développée n’est autre chose que. la relation entre % et [3, relation qu’on obtiendra en mettant dans (2) et (3) les valeurs de y, dx, dy, dx1... tirées de l’équation de la développante.
Equation de la normale à la développante. L’équation (4) est celle de la normale à la développante au point x y, menée du point dont les coordonnées^sont a et (3. t
Rectification de l'arc d’une courbe. Rectifier l’arc d’une courbe, c’est trouver une ligne droite égale au développement de cet arc. Ce problème n’est susceptible d’une solution exacte qu’autant qu’il existe un rapport commcnsurablc entre l’arc de courbe et l’unité de mesure. Alors ds = \/~dx' dy ' étant l’expression de la différentielle de l’arc, la méthode générale consiste à tirer de l’équation de la courbe les valeurs de dx 1 et de dy1 à les substituer dans l’expression ci-dessus et à intégrer entre les limites de l’arc, si cette intégrale peut s’obtenir. Si l’intégrale ne peut être obtenue sous forme finie, la courbe n’est point rectifiable. L’emploi des séries permet toutefois d’obtenir des résultats indéfiniment approchés.
Pour le cercle, suivant que l’origine est au centre ou à l’extrémité du diamètre), on a y2 -J- x5 = r2 ou y 2 = 2 rx — a?-, dans les deux cas, il vient
, r dx . /• r dx
ds — d 08 S — /
en mettant pour y sa valeur en x, on voit que I’intégr vtion ne peut
s'effectuer exactement. L'arc de cercle n’est donc pas une courbe rectifiable. Il en est de même de l’arc d’ellipse. On intègre en pareil cas par les séries ou les arcs de cercle.
Faire passer une courbe par plusieurs points donnés par leurs coordonnées. On trouvera la solution de ce problème au mot iïiteb-
POLATIOa.
Quadrature des courbes. Quarrer une courbe, c’est évaluer en mesures quarrèes l'espace renfermé entre scs limites. Pour y parvenir on décompose par la pensée l’espace à mesurer hpmk [fig. 3), en un nombre infini de trapèzes infiniment petits comme PpmM dont la hauteur P p^= dx et dont la demi-somme des bases parallèles est l'ordonnée y=zor, l’espace A pmA est la somme ou l’is-
TKIitULK
J y dx
de ces petits trapèzes élémentaires ydx ou la surface renfermée entre une portion de courbe quelconque et les coordonnées x et y; pour l’obtenir ou tire de l’équation de la courbe la valeur de y en x ; on la substitue dans l’expression ci-dessus et l’on intègre au moins par approximation.
Méthodes pratiques. Je donne ici quelques méthodes pratiques qui suppléeront les formules précédentes avec une exactitude presque toujours suffisante et qui ont sur ces formules l’avantage d’étie générales, et de s’appliquer dès lors aussi bien aux courbes qui peuvent être définies par des équations qu’àccllcs qui ne le sont point.
Mener une tangente à une courbe dont la nature est inconnue. (Planche XXXIII, fig. 4). Soit A le point par lequel on doit mener la tangente à lÿ courbe CMM’. Tirez par ce point une droite quelconque AZ. Prenez sur cette droite à partir de A deux distances égales A P = PP', et par les points PP', élevez les ordonnées PM P'M . I -es distances AP PP' doivent être prises de telle sorte que l’arc AM' n’ait pas trop d’amplitude. Cela posé, la distance Pm où la tangente au point A coupera la première ordonnée est
P/n — 2PM — i P'M'
celle P'm' où la même tangente coupe la seconde ordonnée P'M' est
P'm’ = 2Pm =*PM — P'M'
ee qui donne trois points de la tangente AT.
Rectifier une courbe ou trouver la longueur de l’arc d'une courbe quelconque. ABC (fig. 5, planche XXXIII ) est l’arc donné. Tirez et mesurez la corde AC. Par le procédé précédent menez et mesurez les tangentes AD. CD aux extrémités de l’arc et limitées à
leur point de rencontre D. Si l’amplitude de l'arc, ou si l'angle formé par les normales en A et C ne dépasse pas 30 degrés, la longueur L de l’arc développé est
L = i(AD + 2 AC + CD)
ou le tiers de la somme des tangentes et de deux fois la corde.
Centre du cercle osculateur ou rayon de courbure d’un point d'une courbe quelconque. Soit A [fig. 6, planche XXXIII), le point de la courbe dont on cherche le raVon de courbure, Par ce point menez une tangente h la courbe, puis une normale indéfinie AK. A droite et à gaucho du point A cl à partir de ce point menez (fes cordes quelconques A a' A«"..AA' AA"..; sur lemilieu de chacune d’elles, élevez des perpendiculaires qui couperont la normale AK en des points c' c".. C' C"..; par ces points menez des parallèles à la tangente: prenez sur ces parallèles les longueurs respectives C'' D” = corde AA" C'D' = corde AA'... c'd' = corde A a', c"d'' = corde A a". Par les points d"d'.. D'D" ainsi déterminés faites passer une courbe coutinuc, elle coupera la normale AK en un point C qui est le centre de courbure de la courbe en A. Cette méthode est due à M. Poncelet. *
Quadrature des courbes quelconques, méthode de Thomas Simpson. Tracez dans le sens de la plus grande longueur delà figure [planche XXXIII, fig. 7), la droite ab prise pour axe des abscisses. Partagez cet axe en un nombre pair (n — t) de parties égales, ce qui donnera n points de division, n étant impair. Soit h la distance commune de deux points de division consécutifs aa! . Par chacun de ces points de division, élevez des ordonnées que vous prolongerez jusques à leur rencontre avec la courbe. Soient y, y2 yr.. yn les longueurs respectives de la première, de la seconde, de la troisième... enfin, de la n*”' et dernière. L’aire A de la figure ADCB sera donnée avec approximation par la formule
A==ïA j */■ + *!/* + 2 y3 + * y* + 4- y» j
c’est-à-dire qu’elle est le tiers du produit qu’on obtient en multipliant par l’intervalle constant h compris entre les ordonnées de la courbe la somme des ordonnées extrêmes y, — |— yn augmentée de deux fois celle des ordonnées de rang impair
et de quatre fois celle des ordonnées de rang pair
[+ yî + *!/4 + /*y6+-.-.3
Ce que l’on vient de dire pour la figure entière ABCDA s’appliquerait à la partie située au-dessus de l’axe des abscisses prise
séparément ainsi qu'à la partie inférieure, de sorte que s’il s’agissait d’évaluerl’airca ABAa oucelleaDCAo, les ordonnées à prendre seraient les lignes Aa A 'a'... BA dans le premier cas et «D a’D'... AC dans le second.
Si la figure était telle que les ordonnées extrêmes ou toute autre se trouvassent nullcs, il faudrait néanmoins leur donner leur numéro d’ordre, elles fourniraient dans la formule des termes nuis.
En général l’approximation sera d’autant plus grande que l’on prendra plus d’ordonnées, et l’erreur commise sera une erreur par défaut pour les parties où la courbe présente sa concavité à l’axe, et une erreur par excès pour les parties où la courbe tourne sa convexité vers ce môme axe.
Si l’on appliquait la méthode à la recherche de l’aire du cercle dont le rayon = 1 , on obtiendrait en partageant le diamètre en dix parties
et en bornant à quatre décimales les valeurs approchées de y 3 y/ f y/2 il viendrait
A= 3.10 au lieu de nzz 3.14.
Coordonnées polaires. Il est des circonstances où les calculs se trouvent simplifiés par l’emploi des coordonnées polaires. Dans ce système, la position des points d’une courbe au lieu d’étre rapportée à deux axes fixes est donnée par leurs distances variables p (fig. 8) à un point fixe A qu’on nomme pôle et par l’angle également variable MAP — 0 que fait pour chaque point ce rayon recteur p avec une ligne fixe donnée AX.
Équation polaire. L’équation polaire d’une courbe est alors la relation entre p cl 8 pour chacun de ses points. Or comme on a
(.fig- 8)
x — p cos. 6; y = p sin. 8; et x1 -(- y5 = p* ;
le pôle et l’origine étant supposés en A, on voit que :
Pour passer d* un système de coordonnées rectangulaires x cl y aux pola&es p et 8, il faut prendre pour origine le point qui doit être le pôle, la droite AX à partir de laquelle on compte les arcs 8 étant prise elle-même pour l’axe desX, puis enfin mettre p cos. 8 et p sin. 8 à la place de x cl y dans l’éqnation aux coordonnées rectangulaires.
Réciproquement j si l’on a l’équation en p et 8 d’une courbe, on éliminera ces variables à l’aide des relations ci-dessus et (Voyez trans formation des coordonnées) on parviendra à une équation entre x
et y en substituant dans l’équation polaire de la courbe, l’origine étant au pôle, savoir
pour cos. 0 ;
ainsi l’équation au centre de Tellipsb dont a et b sont le demi-grand axe, et le demi-petit axe et c j/o1 — 6‘, la distance du foyer au centre est (fig. 9)
Transportant l'origine au foyer, la nouvelle abscisse x' de chaque point deviendra x1 — x — c. Mettant x' -\-c pour x dans l’équation ci-dessus, puis substituant p cos. 9 pour x’, p sin. 9 pour y, il vient pour l’équation polaire de l’ellipse, le pôle étant au lover F, et l’angle XFM = 9, p = FM
‘ a 4- c cos. 0.
Arc élémentaire, tangente, sous-tangente , rayon de courbure, etc., dans le système polaire. Pour un point quelconque M dont les coordonnées polaires sont p et 9 et dans une courbe quelconque (fig. 10), p étant en général le rayon vecteur du point M et 9 l’arc qui mesure l’angle formé par le rayon vecteur avec l’axe AX, daus le cercle de rayon = 1 on a
Elément de l’arc = M'M — ds —
MO == p d 9
Sous- tangente AT = — —
à la condition que AT soit toujours menée perpendiculairement au rayon vecteur AM du point que l’on considère; la valeur de celte ’ sous-tangente suffit pour construire la tangente MT, on a d’ailleur»
tangente MT = [/ p* + ât* = p [/ 1 + = p ~p
les signes dont ces valeurs de la tangente cl de la sous-tangente sont affectés se rapportent suivant qu’on en convient à la droite ou à la gauche de l’origine.
Si l’on voulait connaître V angle en M formé par la tangente et le
rayon vecteur , on le déduirait de la valeur de sa propre tangente donnée par la relation
tang. TM A
La différentielle A MM' de faire <; ou ABM comprise entre deux rayons vecteurs, différentielle que l’on regarde comme égale à AMQ est
dî=lp*de
Enfin on a pour l’expression générale du rayon de courbure R dans le système polaire
(dp* -j-p’ d 8*)*
p d 0 tP p — p * <7 61 — 2 d p’ dD
On a coutume lorsqu’on fait usage de ce système de déterminer ( fig . il), la position F du centre de l’arc oscillateur en M parcelle de la normale MF perpendiculaire à la tangente MT, et par la distance ME comprise entre le point M et le pied de la perpendiculaire qui serait abaissée de F sur le rayon vecteur AM. On prend alors AM pour l’axe des ordonnées y, la partie AE représente l'ordonnée ^ de la développée et l’on a en général
ME = y — £ = AM — AE =
COIiKROIES(p/ancAeXXXII). Lorsqu’un axe moteur doit transmettre son mouvement de rotation à un second axe dont la distance au premier dépasse certaines limites, on monte sur ces axes des tambours ou des poulies fixes, dont les circonférences sont partiellement embrassées par des cordes, des chaises, ou plus habituellement des courroies sans fin, dont l’adhérence suffit à la transmission d’efforts assez considérables. La fig. 9 de la planche XVII, ainsi que les figures de la planche XXXII, donnent une idée de ce mode de transmission de mouvement, dont les filatures et les ateliers de construction offrent l’application. On a réuni dans la planche XVII les acces- . soires ordinaires de ce système, tels que arbres, paliers, chaises, supports.
Nature des courroies. Les courroies sont le plus ordinairement en cuir corroyé et plat; leur largeur varie avec i’effort à transmettre, depuis 0m.02 jusques à 0m.38. — On fait aussi des courroies en caoutchouc ou gomme élastique que l’on tisse avec différentes substances fibreuses et qui sont d'un très bon emploi, lorsque les changements de température auxquels elles sont très sensibles, ne peuvent donner
lieu à de grandes variations dans leur longueur ou leur élasticité. — On fait encore des courroies en déchets de laine et môme en déchets de colon dans les manufactures où l’on met ces substances en œuvre. Quelquefois on les commet à la manière des cordes, quelquefois aussi elles sont plates; ces courroies sont douces et assez élastiques. — Enfin les cordes en chanvre, les cordes à boyau et les chaises en fer elles-mêmes, aidées de poulies d’une forme convenable, forment des modes de transmission tout à fait analogues à celui dont il sera question ici, de sorte que la même analogie existe entre les lois du mouvement qui les régissent tous. — Quelle que soit la matière du lien sans fin , il importe que la soudure des deux extrémités ne présente pas plus d’épaisseur que ses autres parties.
Forme des poulies. La poulie A, fig. 5, planche XXXII, dont la gorge est angulaire, convient aux courroies rondes, aux cordes en chanvre ou à boyau et môme aux chaînettes; la tension chasse et maintient ces corps dans la gorge. — Si les cordes sont très lisses, il peut devenir nécessaire de fixer au fond de la gorge cylindrique de la poulie B de petites dents aiguës qui s'opposent au glissement, mais elles augmentent considérablement l’usure. — La forme C, dont le contour est renflé de telle sorte que la flèche de l’arc ab soit environ le dixième de la corde ab, convient seule aux courroies plates, ainsi qu'on va le montrer.
Mouvement des courroies plates sur les poulies. Lorsque l’on commença à employer le mode de transmission de mouvement par courroies plates et tambour, on ne tarda pas à remarquer que les tambours ou poulies, qui d’abord étaient cylindriques, laissaient plus ou moins promptement échapper la courroie, qui se trouvait peu à peu poussée parallèlement à l’axe et bientôt jetée hors de la surface du tambour. On remarqua encore que les courroies tendues sur les poulies coniques, fig. 6, se rapprochaient, par l’efiet du mouvement, de la grande base du cône cl s’y maintenaient d’elles-mêmes ; on fut ainsi conduit par la pratique à donner aux poulies et tambours un renflement, fig. 5 C, qui augmentât la tension vers l’axe Je la courroie.
On a expliqué ces mouvements latéraux, ainsi que les effets du renflement qui y met obstacle, par la force centrifuge, par l’excès de tension que le cuir des bords devait acquérir pour surmonter la convexité, etc.; je ne Yeproduirai pas ici ces explications qui ne paraissent point complètement satisfaisantes. Quoi qu’il en soit, le fait est certain, les c.ourroies plates échappent très facilement des poulies et tambours cylindriques, et l’on s’oppose à cet échappement en leur donnant un renflement dont la flèche soit d’environ ~ de la corde de l’arc. — Lorsqu’on veut déplacer une courroie plate, il faut pousser vers la nouvelle position le brin qui marche en avant un même effort sur le brin qui marche en arrière ne changerait pas la position de la
4to COURROIES.
courroie. Ainsi soit R, fig. 7, la position primitive de la courroie pendant qu’elle tourne sur son tambour; en tirant vers le point A le brin qui marche en avant, les parties qui progressent viendront successivement occuper le point b, et, après une demi -révolution du tambour, la courroie aura pris la position ab. Si le mouvement du tambour s’opérait en sens inverse ou de B vers A , le même effort en A n’aurait point produit de déplacement sur ce tambour. — Du reste, il est toujours difficile de changer la position d’une courroie ou d’une corde tendue sur un tambour au repos ; cette manœuvre s’exécute au contraire très facilement et très promptement pendant le mouvement de celui-ci.
Effort que les courroies peuvent transmettre. Il résulte des expériences de M. Morin que, dans la pratique, on peut avec sécurité faire supporter aux courroies en cuir des tensions calculées à raison de 2 kil. par millimètre carré de leur section transversale.
Frottement des courroies. Il se calcule par la même formule que celui des cordes. Le coefficient du frottement f seul diffère. M. Morin assigne au rapport [ du frottement à la pression pour des courroies neuves, mais souples et unies, glissant sur tambour en chêne, perpendiculairement aux fibres du bois, la valeur moyenne f~ 0.470; pour les courroies sèches sur poulies sèches en fonte, /= 0.280, et pour les courroies mouillées sur tambour èn fonte mouillée, f— 0.377.
Le rapport de la résistance du frottement à la pression est encore ici indépendant de la largeur de la courroie, de la longueur développée de l’arc embrassé, du diamètre des tambours. Il est proportionnel ( voyez cordes) à l’angle sous- tendu par la courroie à la surface du tambour et au logarithme hyperbolique du rapport des tensions des deux brins.
Avantages et inconvénients de ce mode de transmission. Le mouvement est très doux, il se transmet sans vibration et sans bruit. — Il arrive parfois que la résistanceà vaincre augmentant subitement, la courroie glisse sur le tambour; c’est, dans certains cas, un inconvénient, mais c'est aussi un avantage dans tous les cas où un arrêt brusque pourrait occasionner des ruptures dans la machine. — L’on peut transmettre de très grands efforts à l’aide des courroies en cuir ou en chanvre, et il parait même que, en Angleterre, on emploie ce mode pour donner le mouvement à des arbres qui soulèvent de lourds marteaux. — Le mouvement transmis d’une pièce à une autre à l’aide de liens flexibles, ne jouit point, en pratique, des propriétés rigoureusement géométriques que lui assigne la théorie , parce qu'il y a toujours glissement de ces liens. Ce mode de transmission ne pourrait donc pas être adopté dans les machines qui exigent une très grande précision, dans les horloges par exemple.
Rapport des vitesses des pièces enveloppées pur un lien flexible. Soi! (fit 7. 1, planche XXXII) A et B les centres de rotation de ces pièces, I*Q le lien flexible qui touche les courbes convexes en P et Q. Faites mouvoir le point P en p dans une situation infiniment rapprochée de la première , Q passera en q et le lien louchera les courbes en deux nouveaux points que nous désignons par r et s, de telle sorte que pendant le mouvement du système le lien aura touché les courbes dans une série de points compris entre q et s, et p et r. Pour chacun des instants de ce mouvement le système des courbes peut donc être assimilé à celui de deux bras, menés chacun de son axe de rotation au point de contact du lien, bras dont les extrémités sont réunies par une bielle (voyez cet article).
Les vitesses angulaires des pièces A et B sont donc entre elles pour chaque instant du mouvement en raison réciproque des segments de la ligne des centres déterminés par l'intersection de cette ligne avec la direction du lien à cet instant.
Ou si l'on désigne cette direction sous le nom de ligne d’action on peut dire aussi que les vitesses angulaires Ü U' de A et B sont entre elles réciproquement et pour chaque instant comme les perpendiculaires menées des centres de rotation à la ligne d'aetwn.
Si les courbes A et B sont des cercles, les perpendiculaires deviennent des rayons R R' dont la longueur est constante, le rapport des vitesses angulaires devient constant pour toute la durée du mouvement, et enfin si \e est la demi-épaisseur du lien, on aurait pour ce cas ordinaire de la pratique
s’il était permis de négliger les effets du glissement du lien sur les tambours.
Cette formule est dès lors applicable aux dispositions indiquées figures 2, 3, 4, 8, ‘J, 10, 11,12 et 13. On peut remarquer toutefois que les poulies de la figure 2 tournent dans le même sens, tandis que celles de la figure J dont la courroie est croisée tournent en sens contraire. Dans ce dernier cas, la courroie qui a toujours une face rugueuse et une face lisse doit être tordue (fig. 4) de manière que les brins ne se touchent que par leur lace lisse.
Tension naturelle. On appelle tension naturelle ou propre d'une courroie sans tin, celle que reçoit chacun de ses brins pendant le repos du système des tambours, par le seul effet de l’écartement des axes de rotation. Celle tension T est donc indépendante de l'action des forces et des résistances actives qui agissent sur le système.
Principe de M. Poncelet, t, étant la tension du brin conducteur
et/, celle üu brin conduit, pendant le mouvement du système, f( — T est l’accroissement de tension du premier et T — , "la dimi-
nution de tension du second. Le principe est que l’augmentation de tension du brin conducteur égale la diminution de tension du brin conduit, de sorte que l’on a toujours
/,— T=T— /, et /,4-/,=2T
la somme des tensions est constante et à un instant quel-
conque du mouvement des tambours égale au double de la tension propre ou naturelle T.
Ce principe a été confirmé à posteriori par les expériences de M. Mo^in sur des tensions dont la somme s’est élevée à plus de 90 kil., dont les plus grandes s’élèvent à 77k cl les plus petites descendent à 5*.
Si l’on fait abstraction de la roideur de la courroie ou cohdb, et qui, vu leur souplesse ordinaire, devient négligeable dans ce mode de communication, on obtient avec M. Moseley les rapports suivants entre les efforts et les travaux.
Cas de deux tambours en tout égaux (fig. 8 et 9) et ayant leurs centres sur la même verticale. Soient :
P, P, les efforts verticaux et constants qui agissent sur les tambours;
a, a, les plus courtes distances C,P, C,P, des directions de ces efforts aux centres C, C, des tambours;
f, tq les tensions des brins conducteurs et conduits qui sont nécessairement parallèles;
W le poids de chacun des tambours;
p le rayon de leurs axes; .
f le coefficient du frottement pour ces axes et leurs supports;
<9 l’angle du frottement, et pour lequel on a dès lors f— tang. o;
— “ - — COS. tp.
Vi+r
Sin. »;
Vi+r
Si {fig. 8) la puissance et la résistance agissent du même côté de la verticale des axes, les résultantes R, R, des efforts exercés respectivement sur l'axe inférieur et sur l'axe supérieur, seront :
R, = P, + W -{/, + g = P, -f w - 2 T R,- W - pt+(f, + g= w - P2 + 2 T
égalant les moments des forces qui tendent à faire tourner dans un
sens à ceux des résislances qui s’opposent à cette rotation , on a en réduisant :
Pt — P wn. <p) -}- 2 W p «in. v a, — p sin. <p
désignant par S, S, les espaces simultanément décrits par les points d’application de P, P2 et dans la direction propre de ces efforts, et par Tm Tr le travail moteur et le travail résistant; remarquant que l ’on a
P, S, T r — Pj S2 ;
enfin, multipliant par S, = les deux membres de l'équation entre les efforts, on obtient pour la relation entre les travaux
* in 1 r
1 • SID. y i (\ C
a, ‘ | || 2" ? «n.jpj»,
P a, — p sin. o.
f Sin. o i
Dans le cas de la figure 9, où la puissance et la résistance agissent de part et d’autre de la verticale des axes, on obtiendrait pour les relations analogues :
p («i + P »»"• ?) + 2 W p «in. f
1 a, — p sin. 9
fl
1 in M r
sin. «p
2 W p sin. o S, o, — p sin. 9
de sorte que (voy. axes) il y a économie de travail lorsque la puissance et la résistance ionctionncnt du même côté de la verticale des axes.
Afin de ne point augmenter inutilement le travail du frottement sur les axes, la tension naturelle T de la courroie ne doit point dépasser celle qui est strictement nécessaire pour empêcher le glissement de la courroie sur les tambours. Or on a (fig . 10) pour le cas actuel, où les brins étant parallèfes la courroie embrasse une demicirconférence [voy. cordes) :
d'où
(Joignant par I’ la valeur maximum de la résistance agissant à une distance a de l’axe et compatible avec la condition que la courroie soit sur le point de glisser, l’équation des moments donne facilement celte autre expression de /, — r2
(f, — fj) r — P a -j- (2 T-(- W zp P) p sin. ç>;
égalant les deux valeurs de r, — /2 on a
P (a zp p sin. tj) YV p sin. o
Kl-ïi) r
: i sin.
Le signe — correspond au cas où le travail moteur et le travail résistant se fout du même côté de la verticale de l’axe, et le signe -j- au cas contraire.
Il convient d’augmenter cette tension naturelle de — à On voit au reste que celte dernière formule n’offre aucun moyen pratique de régler convenablement la tension naturelle T de la courroie. On y parvient bientôt par des tâtonnements ou, dans la pratique, par l'emploi d’un rouleau de tension R, fig. 13.
Cas général {fig. 11, planche XXXII). Soient :
P, P2 les forces mouvantes et résistantes,
a, a, les distances de leurs directions aux axes de leurs poulies respectives;
0, (f, les inclinaisons de ces directions sur la droite G, C2 qui joint les centres des poulies;
r, r2 les rayons de ces poulies ; p, p2 les rayons de leurs axes ;
W, W2 les poids de ces poulies ou tambours; t l'inclinaison sur la verticale de la ligne des centres C, C2 ; a l’angle forme par la direction des deux brins de la courroie;
<p l’angle du frottement pour les substances des tourillons et dç leurs supports;
/, les tensions respectives des brins conducteur et conduit ;
R, R, les résultantes des efforts sur les axes des poulies.
Faisant usage du théorème de M. Poncelet (toy. Radicaux), négligeant les puissances supérieures de p, sin. ® et de o2 sin. tp, ainsi que les produits de ces quantités par sin. ’a, M. Moseley, par de longs et pénibles calculs, parvient à la relation suivante entre les efforts, dans Ip cas général :
i - (th + * ?•', .
Pj
,+[*T (?. ri +?îr.)cos. a— (VV , ?1 -, r,-W5 v^r.J sin . «
équation dans laquelle fi, [3, y, v2 ont les valeurs ci-dessous, savoir :
P, = (0.96 cos. 0, — 0.4 sin. Oj
p2 = (0.96 cos. (l2 — 0.4 sin.
v( = (0.96 cos. i -}- 0.4 sin. i)
Vj — (0.96 cos. i — 0.4 sin. i)
S, étant le chemin parcouru dans la direction de P, , on a encore entre le travail moteur Tm et le travail résistant Tr , abstraction faite de la raideur de la courroie :
■* ni ——
jH^ + v)si"'’JT-
( + [2 T (p,r,-f ?2r,)cos.a— (W, p,y, r2— W, p,v,r,)] S, sin.?.
Si l’angle 9, augmentait au point de surpasser P2 agirait alors du côté opposé de la ligne des centres C, C2 et pa serait négatif. L’on voit encore ici que, toutes choses égales d’ailleurs , le travail moteur diminue lorsque la puissance et la résistance travaillent du même côté de la ligne des centres.
Quant à la tension naturelle maximum T qu’il convient de donner à la courroie, elle a pour expression approchée, dans le cas général :
P (a — p, 3, «in. ®) -f- W, p y. «in. *?
r2 — p2 cos. asm. tp. j
Pa est le moment du plus grand effort P qui puisse agir sur le tambour conduit et compatible avec la condition que la courroie soit précisément sur le point de glisser sur ce tambour, f' est Ip coefficient du frottement pour ce tambour et cette courroie,* a l’arc qui mesure dans le cercle de rayon 1 l'angle des brins de la courroie.
Au reste, la tension naturelle la plus convenable (le la courroie est ordinairement réglée (fi g. 13) par le poids d’un rouleau de tension R qui plie le brin conducteur et qui est retenu par une tige tournant autour d’un point fixe A. L'effort du rouleau de tension est dans tous les cas égal et directement contraire à la résultante des tensions des parties RM R N du brin conducteur ( Voy . Cordes).
Dans le cas général, représenté (fig. 12 ) où, la courroie étant croisée, la tension t , du brin conducteur agit du côté opposéà celui où elle agirait s’il.n’ y avait pas croisement, la plus grande économie de travail a lieu lorsque P, et P3 travaillent de part et d’autre de la ligne des centres. En admettant celte disposition, les expressions des efforts et des travaux sont identiquement les mêmes que pour la (fig. 11); toutefois l’arc KML embrassé par la courroie sur le tambour conduit devenant « -j- a au lieu de it — a , l'expression de la tension naturelle T donnée ci-dessus ne sera applicable au cas actuel qu'en y faisant l’exposant de e égal à a) f' dans le
numérateur Je la fraction diviseur, sans autre changement d’ailleurs.
En comparant entre elles les expressions ci-dessus , on verra facilement que toutes choses égales d’ailleurs la plus grande économie de travail correspond au cas du croisement de la courroie dans ce mode de transmission. Consultez pour tous les développements que je suis obligé d’oinetlre les Mechanical prinriple* de M. Moselcy, les cahiers lithographits de M . Poncelet, les Principles of Mechanism de Willis, et l’article Cordes, dout celui ci n’est au fond que le complément.
COURS D’EAU. Je classe sous ce titre toutes les eaux courantes d découvert, les fleuves, rivières, canaux d’amenée des usines, renvoyant au mot Ecoci.kmf.xt tout ce qui concerne les tuyaux de conduite, les orifices, les déversoirs et les ajutages.
Flottage. Navigation. Pour être flottable à trains, un cours d’eau doit avoir au moins 0“.65 de profondeur. La largeur des trains est d’environ 4™. Il ne peut être regardé comme navigable que dans la partie de son cours où la profondeur est au moins de 1", le tirant d’eau des plus petits bateaux employés dans la navigation fluviale étant au minimum de 0“.60.
Remonte. On ne peut remonter, avec le secours de la voile seule, les cours d’eau dont la pente excède soit ; inillim. par mètre, et l’on ne remonte habituellement ainsi que les rivières dont la pente n’cxcôdc pas jj~, ou dont la vitesse à la surface n’excède pas 3™; le halage est alors -nécessaire.
D’après Ganlhey, on ne remonte pas les rivières dont la pente
excède -j-j ou 2 million par mètre ; et, en général, la navigation n’est aisée que sous une pente moyenne de \ de milliin. par mètre.
La vitesse de l’eau est alors d’environ o° 33 par seconde.
Ilalage. Sur la Seine, de Rouen à Paris, un cheval suffit pour le transport de 32 tonnes. Sur le Rhône, d’Avignon à Lyon, le poids traîné par un cheval n’excède pas / ton. 5. La pente, entre Lyon et Valence, est de 0m.000l par mètre, et entre Valence et Avignon, de prés du double; mais à cause du grand nombre d’iles et d’obstacles qui ralentissent le courant, la vitesse n’est pas en rapport avec la pente.
Crues. On appelle ainsi les accroissements subits du volume des eaux. Pour les rivières qui coulent en plaine, des crues périodiques su manifestent, au printemps, et en automne, à la saison des pluies; le» rivières qui descendent de hautes montagnes éprouvent une nouvelle crue à l’époque de la fonte des neiges , vers le solstice d’été.
Le déboisement des montagnes augmente la brusquerie des crues.
Les crues produisent à la fois augmentation de profondeur d'eau, de vitesse et souvent de section. Presque toujours elles accroissent les corrosions commencées, et, en attaquant des terrains jusque-là intacts , les eaux se chargent d’une grande quantité de matières en suspension, qu’elles déposent ensuite et progressivement, à peu près suivant l’ordre de leurs poids spécifiques, à mesure que l'intensité de la crue diminue. Il en résulte que le fond tend sans cesse à se relever dans les parties inférieures du cours d’eau, et que la section y diminuant par cette cause, le cours d’eau tend lui-mème à s’élargir à la crue suivante, si les parois résistent moins que le fond. Lorsque les rivières sont torrentielles à fond de gravier, il paraîtrait, qu’après l’écoulement des plus grandes eaux des crues, les graviers du fond cesseraient de marcher, et il s'établirait un état d’équilibre tel que, dans toute l'étendue de son cours, la rivière se trouverait partagée en biefs plus ou moins profonds, séparés par des bancs de gravier que les crues suivantes déplaceraient fort peu, et dont elles diminueraient rarement le nombre. On appelle, en général racles ou mouilles, ces biefs successifs où la vitesse de l’eau est ordinairement très faible, et l’on nomme maigres, barres, t remates , hauts fonds, les exhaussements du fond sur lesquels la profondeur est faible et où la vitesse est, au contraire, considérable. Les biefs ou bassins sont, en général, fort étendus par rapport aux bancs de graviers qui les limitent.
Les crues s’élèvent moins haut et durent plus longtemps, toutes choses égales, d’ailleurs, dans les parties inférieures d’un cours d’eau que vers sa source.
Eliagc. La hauteur que conservent les eaux à l’époque où elles sont *
le plus liasses, est ce qu’on appelle l 'Mage. Cette époque est la plus favorable aux travaux. L’étiage, en France, a lieu de juin à septembre. La Garonne atteint son étiage au mois de juillet ou d’aoùt.
Vitesses. Pentes. Le mouvement des molécules liquides d’un cours d’eau est évidemment l’elïct de la ponte de sa superficie. Cette pente ne pourra donc croître, toutes choses égales d’ailleurs , sans que là vitesse ne croisse en même temps. Toutefois, si l’on fait d’ahord abstraction des résistances du lit, on comprendra que la réciproque n’aurait pas lieu , et que la vitesse devrait augmenter sans qu’il y eût accroissement de pente. Tel serait le cas d’un corps qui descendrait sans frottement le long d’un plan incliné , et dont la vitesse, croissant de plus en plus à mesure que le corps s’éloignerait de son point de départ, ne parviendrait jamais à l'uniformité.
Cependant, l’observation et quelques expériences semblent prouver que, jusque dans les cours d’eau dont la pente est très forte, l’accélération des molécules liquides devient insensible, au bout d’un temps assez court, dans les parties du lit dont la section et le débit sont constants, et que la vitesse moyenne U de la mass * liquide y devient bientôt uniforme. On en a conclu : 1° que la somme R des résistances de tout genre qui s’opposaient à l'accroissement de la vitesse U, acquise au bout d’un certain temps, était égale a la composante du poids des molécules parallèle à la pente ; 2» que celte vitesse moyenne U ne pouvait croître, en général, sans que la pente de superlicie n’augmcnlàt en même temps et réciproquement.
Résistance du lit. On a d’ailleurs regardé la somme des résistances R, qui, a chaque section s, s'opposeut à l’accélération de la vitesse
moy enne U, comme proportionnelle : 1° à la masse - du poids 11 du
mètre cube du liquide; 2° au développement c de la partie du contour de celle section s, qui est en contact avec le liquide et que l’on appelle le périmètre mouillé ; 3° à une fraction a de la vitesse moyenne U; 4° à une autre fraction JJ du carré U* de cette vitesse, laissant à l’expérience le soin de déterminer des valeurs numériques de a et de P qui corrigeassent ce que l’hypothèse pouvait avoir de faux ou d’incomplet.
Il en résulte que si les sections s et les périmètres mouillés c sont constants sur toute la longueur L d’un cours d’eau, comme cela a presque toujours lieu pour les canaux d’usines, le nombre des périmètres mouillés pouvant être exprimé par L, la résistance ou le frottement d’une espèce particulière qu'exercent les parois et le fond du canal devient proportionnelle à l’étendue c L de la surface mouillée et l’on a
R = - c L (« U -f |ï lT*)
Cas du mouvemenC uniforme, applicable aux canaux des usines. Soient alors
Q la dépense du canal en une seconde exprimée en mètres cubes;
I la longueur que ce volume occupe daus le canal ;
i l’inclinaison du fond, qui est ici sensiblement parallèle à la surface;
A la différence de niveau des sections amont et aval , passant par les extrémités de /,•
L la longueur totale du canal ;
II la différence de niveau de ses extrémités; p la pente par mètre courant;
U la vitesse moyenne acquise, c'est-à-dire celle qui, multipliée par la section s, reproduirait le volume Q; on a
Q ~ su — si p - a; y = sin. i = - ;
la force qui tend à faire couler le volume Q est la composante de son poids parallèle à la surface, on a donc pour l’équation du mouvement
n si y = H sh = - cl (a U + (HP) ou
On a nommé rayon moyen le quotient - = p de la section divisée par le périmètre mouillé. e
D’après M. de Prony, on aurait
d’où, pour la vitesse moyenne U
et, par approximation
Eytelirein, en combinant les résultats de trente observations sur des cours d’eau pour lesquels la vitesse a varié de 0". 1 24 à 2m.42 et la section de 0Œ“.014 à 2604mm, a trouvé
d’où, en négligeant quelques décimales du dernier ordre,
et avec une exactitude qui suffit aux calculs de la pratique,
il/
p = 0.00036554 jü1 -j- 0.0664 U| p = 0.00036554 ^ | Q* -f- 0.0664 Q s. j
Formes de la section. Aucune des formules ci-dessus ne suppose la section constante s de forme géométrique ou môme régulière. Cependant il y aura toujours avantage dans la pratique à donner aux ca naux d’amenée des usines des formes géométriques, et les formules montrent que, parmi elles, il faudrait préférer celles qui , sous un même périmètre, présenteraient la plus grande surface ; tels seraient le demi-cercle, les demi-polygones réguliers du plus grand nombre de côtés possibles, le demi-hexagone, le demi-pentagone, le demicarré ou le rectangle dont la largeur est double de la profondeur. Ces deux derniers pourraient convenir aux canaux en bois, en maçonnerie, ou à ceux qui sont taillés dans le roc. Quant aux canaux en terre, la forme du trapèze est, en pratique, la seule qui leur convienne, parce qu’elle donne aux parois le talus nécessaire pour que les terres ne s’éboulent point. On règle d’ailleurs ces talus suivant que les terres sont plus ou moins ébouleuses (voyez talcs naturels).
En général il y a économie de main-d’œuvre à ne pas dépasser pour ces canaux une largeur de 5 mètres et une profondeur de 2 mètres.
Vitesses moyennes , de fond, de superficie. Nous avons appelé vitesse moyenne U, celle qui, multipliée par la section du lit, reproduirait le volume Q que le cours d’eau débite en une seconde. Celte vitesse diffère sensiblement de la vitesse Y que l’on observe à la superficie dans le plus fort du courant, et de celle W du fond. M. de I’rony a donné les rapports suivants entre ces trois vitesses :
Ces formules ont été vérifiées jusqu’à la valeur de V = 1.30 j elles ne s’appliquent pas avec certitude aux torrents, où l’ordre desvitesses est quelquefois interverti au point que W est plus grand que V ; et elles ne s’appliqueraient à des canaux réguliers qu’aulanl qu’ils auraient une très faible profondeur. Dans les cas ordinaires de la pratique, on aura toujours plus simplement et plus exactement la vitesse moyenne U par la relation
La vitesse d’un cours d’eau est dite faible quand elle ne dépasse pas 0ro.50 par i", ordinaire quand elle atteint 0.90 à 1", très grande quand clic dépasse 2".
Détermination directe de la vitesse de superficie V. Cherchez, à l’aide de quelques iloltcurs en bois d’une densité à peu près égale à celle de l’eau , le filet du plus fort courant. La situation de ce filet reconnue, faites placer deux repères fixes A B, lâchez un flotteur en amont et à bonne distance du premier repère A ; à l’aide d’une montre à secondes remarquez l'instant précis où le flotteur passe au droit de A, puis celui où emporté par le courant il atteint le repère B d’aval, V sera le quotient de la longueur développée de l’axe du cours d’eau compris entre A et B, divisée par le nombre de secondes écoulées entre les deux passages.
‘ Effet des vitesses sur les parois du lit. La pente des canaux d’amenée ou de fuite ne doit jamais être assez forte pour que la vitesse de l’eau puisse attaquer les parois du lit; elle ne doit pas être non plus tellement faible que les matières en suspension s’y déposent et les obstruent. La table suivdhte indique quelques-unes de ces limites.
Matières qui sc laissent emporter ou corroder aux vitesses indiquées :
Terre détrempée , boues 0.076
Argile brune de poterie 0.08i
Argile tendre. 0.152
ni
Gros sable jaune 0.217
Sable ordinaire 0.305
Gravier gros comme des grains d’anis 0.108
comme des pois 0.181
comme des fèves 0.325
Gravier en général 0.609
Galets de mer arrondis de 0m.027 de diamètre 0.050
Cailloux 0.914
Silex anguleux du volume d’un œuf 0.975
Pierres cassées 1.220
Cailloux agglomérés, schistes tendres 1.52
Roches feuilletées 1.83
Roches dures 3.05
Chute à l'entrée (/es canaux ouverts. La crainte de donner une pente trop forte à un canal d’amenée pourrait quelquefois faire tomber dans l’excès contraire, si l’on ne tenait pas compte de la perte de chute qui a lieu à l’entrée des canaux ouverts et en vertu de laquelle le niveau du canal d’amenée s’abaisse au-dessous de celui du cours d’eau ou du réservoir d'alimentation d’une quantité d’autant plus grande que l’entrée du canal est moins convenablement évasée. On calculera cette perte de chute (H — h) avec une approximation suffisante par la relation suivante
dans laquelle H et h sont les hauteurs respectives des niveaux du cours d’eau et du canal au-dessus dit fond de celui-ci, U la vitesse moyenne des eaux dans le canal, lorsque le mouvement est parvenu à l’uniformité, m le coefficient de contraction qui convient à l’orifice d’entrée et qui peut être fait = 0.86, lorsque l’origine du radier du canal est au niveau du fond du réservoir, il en résulte pour ce cas
II — h = 0.068 U5 ; ’
cette formule suppose que la vitesse moyenne que l’eau prend dans le canal d’amenée est précisément celle qu’elle a acquise en tombant de la hauteur de la dépression à l’entrée.
Lorsque les canaux sont très larges, Eytchvciu fait m — 0.95, l’origine du radier étant toujours au niveau du fond du réservoir; enfin, dans le cas où les eaux du cours d’eau entreraient dans le canal avec une vitesse déjà acquise, la perte de chute devrait être diminuée de la hauteur due à celle vitesse.
Cas du mouvement permanent. Les formules de MM. de Prony et Eytelwein que nous avops données ci-dessus supposent essentiellement constants les sections, les périmètres mouillés, les pentes et le
volume d’eau sur toute la longueur I, du cours d’eau ; lorsque le volume débité reste seul constant et que les sections varient d’un point àl’autre, les vitesses et par conséquent les pentes varienten même temps; on partage alors le cours d’eau par un grand nombre de sections verticales comprenant entre elles des biefs successifs. Considérant isolément l’un de ces biefs, dans lequel on suppose que la vitesse n’est plus telle qui avait lieu dans le bief précédent, ou admet que la pente absolue y est la somme algébrique de deux pentes , l’une égale à celle que le courant devrait avoir pour que la vitesse ne s’accélérât pas, l’autre qui doit être telle qu’elle produise l’accélération ou la diminution de vitesse observée. On prend enfin, pour la mesure de celte dernière , la différence des hauteurs théoriques dues aux vitesses d’écoulement qui ont lieu aux sections extrêmes du bief. Soient donc
sa lcs sections amont et aval du bief ; cm c„ leurs périmètres mouillés ;
/mn la longueur développée de l’axe hydraulique, comprise eutre ces sections ;
Um U„ les vitesses moyennes au passage de ces sections; h'm h'a les hauteurs théoriques dues à ces vitesses; kwn la pente absolue de l’axe
On a
hma = 1 /ffi0 - (-Um + ? üO pü. + - U\) j + [h'
le dernier terme devient négatif lorsque /t'm est > h'a. Le volume d’eau Q débité étant constant, on a d’ailleurs
0 = Sm lm = Sa Un Um = — Un = -
Sut Su
et dès lors
Equation du mouvement permanent. Si au lieu de considérer un bief, on ne considère qu’une très petite partie A/ de l’axe hydraulique, s étant la section en ce lieu, c le périmètre mouillé, U la vitesse, h' la hauteur due à cette vitesse, A A la pente absolue du petit axe A l, la variation du mouvement vers la section s est représentée par la relation
A indiquant l’accroissement de la quantité qu’il précède. C’est sous
cette forme générale qu’on présente ordinairement* l’équation du mouvement permanent.
Celte équation due originairement, je crois, à M. l’ingénieur Bellanger, permet de résoudre, avec plus ou moins d'approximation, une foule de questions importantes relatives aux cours d’eau. Si les résultats de détail qu’on en déduit ne sont pas fort exacts, leur ensemble est du moins satisfaisant et s’accorde toujours assez bien avec les phénomènes très compliqués du mouvement des eaux courantes. Je donne ici quelques applications de ces formules.
JE tant données les sections sm s„, les périmètres mouillés cm cB , les distances lmn de la section en amont à la ntme qui la suit immédiatement en aval, et le débit constant Q du cours d’eau , trouver les pentes partielles de superficie hmn et la pente totale.
Soient Q = 390»»™ > |cs s c } successifs ayant les valeurs indiquées aux colonnes 1 , 2, 3, 4 du tableau suivant, les premières formules relatives au mouvement permanent donnent successivement les pentes partielles absolues hti hit ... . des parties correspondantes /45 /,4 .... /I2 de l’axe hydraulique (colonne tl), cl la pente totale A, 5 = â45 -j- h3i -f- AÎS -}- hi7 (colonne 12). Cette application numérique appartient à M. Vauthier.
On remarque que l’on obtiendra en général des résultats d’autant plus exacts que l’on connaîtra un plus grand nombre de sections. On n’eût trouvé que 0“.0666 pour la pente totale si l’on n’avait introduit dans le calcul que les deux sections extrêmes s, ss , et si l’on avait pris une moyenne entre ces deux sections, la pente totale eût été trouvées 0m. 48031 . Il ne convient donc pas de substituer dans ces calculs une section moyenne aux sections extrêmes réelles qui la comprennent.
