IV

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Il 24

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En multipliant les minutes par 1851”. 85 et les secondes par 30”. 864 on aura les distances horizontales MT lorsqu’on con naîtra d.

DESCARTES (René), né à Lahaye, en Touraine, le 31 mars» 1596, mort à Stockholm le 1 1 février 1650.

DESSIN ET LAVIS. Tous les genres de dessins que comporte la profession d’ingénieur reposent sur des hases et des procédés purement géométriques que nous avons résumés aux mots géométrie,

PERSPECTIVE ISOMÉTRIQUE, RELIEF DU TERRAIN, nOUS Il'aVOnS à nOUS

occuper ici que des moyens en quelque sorte artistiques t\uc la science emprunte au dessin pittoresque pour mieux accuser la forme des objets dont elle s’occupe ; nous y joindrons quelques conseils sur le choix des matières et sur certaines manipulations que le dessin et le lavis exigent.

Papier s. — Doivent être sans grain, et présenter une uniformité complète de teinte, lorsqu’on regarde le jour à travers leur épaisseur. Quelques ingénieurs assurent que plus le papier est vieux, mieux il prend le lavis ; ce qui revient peut-èirc à dire qu’on faisait autrefois d’excellents papiers à laver, et qu’on en fait aujourd’hui de détestables.

Dimensions ordinaires, grand-aigle . 0m.99 sur 0™.67; colombier, 0.86 sur 0.57 ; jésus , 0.70 sur 0,53; grand-raisin, 0.61 sur 0.46.

Pour encoller du papier, lorsque l’on croit cette opération nécessaire, on y applique bien également, soit avec une éponge soit avec une brosse plate, une dissolution qu’on obtient ainsi :

Encollage. — Faites dissoudre sur le feu, dans un litre ou 1 kilog. d’eau, colle de Flandre, 0*125; savon blanc, 0*125; lorsque le tout est bien fondu, ajoutez alun en poudre, 0*070; remuez jusqu’à ce que la dissolution soit complète. — Elle ne doit être employée que lorsqu’elle est refroidie : elle se conserve quelque temps.

Coller le papier sur la planche d dessiner, mouiller le verso delà feuille avec une éponge et étendre celle partie du côté de la planche et sans l’appuyer, après avoir placé entre la planche et la feuille une autre feuille plus petite qui ménagera la pointe du compas, humecter assez fortement la colle à bouche, la passer entre la planche et le papier jusqu’à ce que le bord de celui-ci soit impreigné de colle sur une petite longueur ; appliquer fortement cette partie contre la planche, placer une languette de papier sur le bord de la feuille et frotter vivement avec l’ongle du pouce le dessus de la languette pour faire adhérer le bord de la feuille à la planche; continuer ainsi jusqu’à ce que tout le contour de la feuille adhère parfaitement. A mesure que le papier sèche , toutes les boursouflures disparaissent et il est for-

temcnt tendu. Il faut quelque habitude pour réussir. On y parvient quelquefois plus facilement en commençant par les milieux, passant de là aux angles, etc.

On opère avec plus de rapidité et plus sûrement en délayant un peu de colle de Flandre ou de colle à bouche dans l’eau, et l’étendant avec un vieux pinceau tout le long d'un des bords du verso de la feuille qu’on applique epsuite sur la planche, comme nous l’avons dit. On répète la même opération pour les trois autres bords, et surtout l’on colle bien soigneusement les angles.

Pinceaux. On les essaie en les imbibant d’eau, et les promenant sur un papier ou sur le bord du godet. Ils sont bons, si, en vertu de leur élasticité, ils perdent subitement la courbure, et reforment leur pointe. Il faut les rejeter absolument, s’ils forment fourche ou restent courbes. Il faut toujours les bien laver après s’en être servi et n’y laisser aucune couleur.

Les pinceaux ue doivent pas être très fins, sauf pour quelque emploi tout spécial. En général, on les accouple sur une même hampe, un à chaque bout. Le premier sert à étendre les teintes, l’autre à les dégrader ou.fondrc. Deux gros pinceaux et un moyen suffisent.

Couleurs. De l’encrc de la Chine, du carmin, de la gomme-gutte et de Vindigo suffisent à tous les besoins de l’ingénieur. lTn pain de sépia tout au plus peut être ajouté à ces quatre couleurs maîtresses. Je ne dirai rien sur le choix des couleurs, et en particulier sur celui de l’encre de la Chine, si non que l’on est parvenu à donner à de très mauvaises qualités les caractères auxquels on croyait reconnaître de bons produits. Ce qu’il y a de mieux à faire, est de s’en rapporter à un honnête marchand.

Chayoxs. Onn’emploiequeloscrayonsdc mine de plomb; et parmi ceux-ci, les Conté n° 3, conviennent mieux que tous] les autres, à moins que l’on ne puisse se procurer des crayons anglais. Ceux de JNewmann, marquésd’un H, sont excellents pour dessiner les hachures (voyez Relief de terrain ). Ceux marqués IÎH sont préférables pour le dessin des machines et des bâtiments.

Convention. Lorsqu’un dessin doit rester au trait, on est convenu de relever par des traits de force ou par des lignes plus épaisses, les faces ou les arêtes vives des faces qui sont opposées au jour. Cette convention permet de distinguer immédiatement les creux des reliefs, les projections horizontales des projections verticales, et facilite ainsi l’intelligence du dessin. Celte convention en suppose une autre relative au sens suivant lequel la lumière arrive à l’objet ; on s’est généralement arrêté à la suivante dans le dessin des machines.

Sens de la direction de la lumière. On conçoit l’objet à représenter, placé sur le plan horizontal d’une chambre cubique transparente qui

recevrait des rayons solaires parallèles de l’arrière vers l’avaDl et suivant la diagonale du cube dirigée du haut vers le bas. Dans celte

hypothèse la projection horizontale et la projection verticale de cette diagonale^. 1 )forment avec la ligne de terre des angles de 45° ouverts à la gauche du spectateur.

Il résulte de cette convention que, un cube , par exemple, qui se trouve représenté par un carré horizontal et un carré vertical sur les plans de projection cor- — respondanls devra recevoir des traits de force, savoir :

Dans le plan horizontal sur ses deux arêtes

nord et est.

Et daus le plan vertical sur les deux arêtes sud et est, ou mieux sur l’arête droite et l'arête inférieure.

Que si ce cube était creusé dans sa partie supérieure et parallèlement à ses faces, le plan horizontal du creux recevrait des traits de force situés d’une manière inverse par rapport à l’enveloppe , et la coupe verticale n’aurait de trait de force intérieur que suivant a b ,

Enfin la figure 3 montre comment la convention établie ci-dessus s’appliquerait au cas d’un cube qui serait surmonté d’un parallélipipède plus petit.

Il est bon d’élre prévenu que les topographes n’ont pas généralement adopté cette direction des rayous lumineux, et qu’il est même des graveurs et des dessinateurs de machines qui, ainsi que les topographes, supposenlles rayonslumineux dirigés de haut en bas comme ci-dessus, mais parallèles à celle des diagonales du cube qui plongerait de son angle supérieur nordouest vers l'angle inférieur sud-est.

Il en résulte que les traits de force se trouvent disposés dans les projections verticales comme ci-dessus; mais que dans les projections horizontales, ce serait, par exemple, les arêtes est et sud de la figure t, qui recevraient les traits de force.

C’est dans ce dernier système qu’ont été exécutés de très beaux et très bons ouvrages, entre autres les belles planchcsduTraité de Charpenterie de M. le colonel Emy. Toutefois, le premier système parait bien préférable en ce qu’on y distingue immédiatement les projections verticales des projections horizontales.

Parties coupées. Il faut avoir le soin de recouvrir de hachures parallèles entre elles et obliquesà leurs limites les parties coupécs(/fy. 2). On varie le sens ou la force de ces hachures lorsque deux pièces différentes se trouvent accolées et coupées en même temps.

Si le dessin doit recevoir quelques teintes, on les appliquera comme il est dit ci-dessous.

Teintes. Teinte piale. Si la surface à recouvrir est un peu grande, il faut d’abord humecter le papier légèrement; puis, commençant à plein pinceau et par le haut, on étend la teinte vivement par des coups de pinceau larges et hardis donnés de haut en bas, et en reculant successivement de la gauche vers la droite , ce qui forme comme une série de tranches horizontales dont la gauche ne doit pas être encore sèche lorsque la droite est déjà teintée, et permet de revenir étendre ou porter plus bas toute la tranche déjà teintée en la fondant avec celle qu’on teinte. On continue ainsi jusqu’à ce que l’on soit arrivé avec peu de couleur aux limites de l’espace à couvrir; alors, se debarrassant vivement de l’excès de couleur qui peut rester dans le pinceau, on le promène presque sec tout le long de la limite sans

jamais la dépasser et en chassant vers elle et ramenant vers les angles ou du côté de l’ombre les bavures de la dernière tranche. Ceci demande quelque exercice.

Au reste, quand certaine partie de la teinte plate est peu d’accord avec l’ensemble, on l’adoucit en la frottant, lorsqu’elle est bien sèche, aveede la mie de pain rassis.

Teinte forte. On ne doit chercher à obtenir des teintes fortes que par une superposition de teintes faibles données successivement comme on l’a dit ci dessus. Deux couches suffisent ordinairement, quelquefois cependant ou en donne trois. La seconde ou la troisième couche ne s’applique que lorsque la précédente est presque sèche.

Teintes adoucies. Elles s’obtiennent en commençant à chasser la teinte à adoucir lorsqu’elle est parvenue près de sa limite. On emploie pour cela un gros pinceau aux trois quarts plein d’eau. Surtout l’on opère vivement en dépouillant lestement le piuccau de temps en temps de la couleur dont il se charge.

Teintes tournantes. J’appelle ainsi celles qui donnent l’idée de la rondeur d’un corps, celles, par exemple, qu’on appliquerait sur un cjlindre.

Après avoir donné une teinte plate, générale et faible sur tout le cylindre, on la laisse sécher à peu près, puis on pose une seconde teinte plate qu’on n’étend en une bande rectangulaire d’une faible largeur que sur la partie qui doit être le plus dans l’ombre. Quand cette teinte est un peu sèche, on la recouvre d’une troisième qui déborde la seconde à droite et à gauche; par-dessus celle-ci, et lorsqu’elle estsècbe. on en applique une quatrième encore plus large, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on ait atteint les limites de l’ombre.

Les parties coupées doivent toujours recevoir des teintes beaucoup plus faibles que les autres.

Intensité des teintes. Dans les dessins à l’effet , l’intensité des teintes augmente à mesure que les surfaces teintées reçoivent moins directement la lumière; et pour la même surface l’intensité de la leinleaugmenle pour les parties les plus éloignées du spectateur. Mais aucun conseil ne peut diriger utilement le dessinateur pour celte partie, et il n’a rien de mieux à faire qu’à copier de bons modèles ; ils sont rares. Je citerai toutefois pour les machines les modèles de M. Leblanc.

Composition des teintes conventionnelles adoptées pour les minutes. — Dessins à l'effet. Les dessins sont de deux sortes. Sur les uns, les minutes, par exemple, on se contente le plus souvent d’appliquer des teintes qu’on est convenu de réserver pour certains objets, qu’on représente d’ailleurs au trait par des signes de convention. Dans les dessins d f effet, au contraire, on cherche à imiter la forme et la couleur générale de ces objets. De là, deux modes de représentation, l’un de pure convention, l’autre qui se rapproche plus ou moins du

genre pittoresque. Ces deux genres sont d’ailleurs rarement bien distincts; beaucoup de dessins à l’effet portent des signes conventionnels, et les minutes offrent souvent aussi de petits détails qui les rendent en partie des dessins à l’effet. On conçoit que tout cela dépend du goût de l’ingénieur et du temps qu’il peut consacrer à son travail.

Nous donnons ci-dessous la composition des teintes conventionnelles qui, on le pressent, ne sauraient être arbitraires, sans qu’il enTésullât une confusion telle que la minute d’un ingénieur deviendrait inintelligible peur un autre. Nous y joignons quelques conseils sur la manière de teinter ou de pocher certaines parties principales dans les dessins à l’effet. Les chiffres qui entrent dans la composition des teintes expriment les quantités de couleur délayée à saturation ; on prend pour unité ce qu’un même pinceau chargé contient de chacune d’elles. Ces formules sont d’ailleurs peu rigoureuses, et il suffit dans la pratique de ne pas s’éloigner trop des proportions qu’elles indiquent.

Afin d’éviter la répétition incessante des mots teintes conventionnelles et dessins à l’effet, nous convenons dans tout ce qui va suivre d’indiquer d’abord la teinte conventionnelle pour chaque objet, puis delà faire suivre d'un tiret qui en séparera tout ce qui se rapporte au dessin à l’effet. Les divers objets sont d’ailleurs rangés par ordre alphabétique.

Arbres isolés. Teinte jaune du côté du jour, verte du côté de l’ombre.— De même, et de plus on trace à l'encre de Chine pâle la pro jectionde l’ombre sur le sol.

Bois (pièces de). Carmin gomme-gutte et encre de Chine. — De même. Il convient dans les coupes transversales d’indiquer au trait quelques cercles annuels, ainsi que les rayons suivant lesquels le bois se fendille.

Bois-forêts. Teinte plate légère, jaune verdâtre, composée de 1 gomme-gutte -f- -J indigo — 8 eau. — Le feuillé presque toujours est le môme pour toutes les espèces de bois. Cependant si c’est un bois de sapin, on l'indique par quelques étoiles qui sont en effet la projection horizontale de cet arbre. Les fouillés doivent être très légers; ils sont en général d’autant mieux faits qu’ilsont coûte moins de travail. On parviendrait facilement avec un peu de goût à feuiller les principales espèces de bois, de manière à les faire reconnaître. On teinte le côté clair avec la couleur conventionnelle, maison rehausse les massifs du côté de l’ombre avec un second pinceau chargé de vert foncé = 1 gomme-gutte 4- 1 indigo -j- 8 eau. On projette ensuite quelques ombres avec de l’encre de Chine claire, et l’on donne dans les petits intervalles quelques touches feuille morte avec mélange convenable de gomme-gutte et carmin. Les bois de sapin doi-

vent tirer sur le noir, ceux de châtaignier sur la teinte feuille morte, les chênes sur le vert.

Broussailles. Panache, jaune paille et vert léger. Jaune paille zz 1 gomme gutte — j— 1 5 eau. Vert logerez 3 gomme gutte -j- 2 indigo-j-15 eau. — Mêmes teintes de fond; on ajoute à la plume quelques petites touffes très légères et très espacées, sans aucune régularité ni symétrie.

Bruyères. Panaché vert et rose. Les deux teintes s’appliquent alternats ement et se fondent vers leurs bords communs. Vert = 3 gomme gutte -j- 2 indigo -j- 18 eau. Rose = 1 carmin — j— 1 2 eau. — Mêmes teintes.

Côtes. Les côtes s'expriment suivant leur nature. Mais il est souvent utile de joindre aux plans qui comprennent des côtes les profils perspectifs du terrain pris de certains points de la mer.

Cuivre rouge. Carmin et un peu d’encre de Chine.

Cuivre jaune laiton. Gomme gutte et un peu d’encre de Chine.

Champs (non clos) . Se laissent en blanc. — Champs clos. 3 gomme gutte 1 carmin -j- [ encre -j- 8 eau. — On en divise l’étendue en petits quadrilatères, trapèzes et triangles, par des lignes tracées à la plume et sans la règle. On donne à l’ensemble une teinte de fond très légère formée d’un panaché triple de vert bleuâtre, de nankin et de brun clair. Ensuite, à l’aide d’un pinceau très fin, on mène des sillons parallèles trembloltés, d’une couleur qui tranche avec le fond de chaque quadrilatère.

Étangs. Une teinte générale et plate de 1 indigo-j-20 eau, qui à moitié sèche recevra ensuite du côté de l’ombre une sorte de feston à dentelures longues, inégales, disposées horizontalement , formées de 1 indigo -j- 8 eau. Du côté du jour, avec une teinte un peu plus faible, on formera un feston semblable et à dentelures moins longues. — De même, à moins que l’on n’y dispose avec goût quelques parties plus claires cl presque blanches commodes reflets de lumière.

Fer. De même que la fonte, mais le bleu domine encore plus, et la teinte est plus claire.

/ Fonte. Indigo, carmin et encre de Chine. Le bleu domine.

Fleuves et rivières. Teinte plate générale formée de 1 indigo -j- 20 eau. Ensuite on file les eaux parallèlement aux bords avec 1 indigo -j- 8 eau, en diminuant la force et en augmentant l'écartement des filets depuis les bords jusqu’au milieu. Tout reçoit d’ailleurs une teinte un peu plus pâle du côté du jour. Une flèche doit toujours indiquer le sens du courant.

Friches. Panaché vert pistache et aurore léger. Vert zz 4 gomme gutte 1 indigo-)- 15 eau. Aurore — \ gomme gutte -j- \ carmin

12 eau. — De même, 5 cela près, qu’on ajoute quelques touches de

vcr(=l gomme gu lie -)- lindigo-f-12cau,dansles parties où il y a quelques herbes, et qu'on y figure par louches légères les petites masses d arbustes.

Habitations. Teinte plate et claire de carmin avec liseré de carmin foncé du côté de l’ombre; les habitations isolées doivent recevoir une teinte plus vive que celle des villages.

Haies. Comme les bois —

Jardins. Teintes plates variées, jaune paille, vertes, panachées — Se finissent en sillonnant les plates-bandes comme les terres labourées, et choisissant d’ailleurs des teintes brillantes et claires. Les bosquets comme les bois taillis.

Lacs. Teinte plate générale de 1 indigo-j-20 eau. On file ensuite les eaux avec 1 indigo -j-8 eau parallèlement aux rives en diminuant de force et augmentant l’écartement des filets depui* les bords jusqu’au centre, et donnant toujours des teintes plus fortes du côté de l’ombre que du côté du jour.

Ixmdes. Vert olive et aurore pâle. Vert olives 1 gomme gutte -j- î indigo — j— j carmin -j- 8 cau. Aurore pâle = 1 gomme gutte -j- i carmin 10 eau. La teinte vert olive forme le fond de la lande. L’aurore sert à figurer les flaques de sable qu’on y remarque. — De même pour les dessins à l’elTet.

Maçonneries , maisons en pierres . Teinte plate et claire de carmin, avec liseré plus fonce du côte de l’ombre. Il est utile de prévenir qu'aux ponts et-chaussés les maçonneries construites reçoivent une teinte noire, celles à construire une teinte rouge, celles à démolir une teinte jaune, tandis que dans les plans du génie militaire les mâçonneries construites sont rouges, celles à construire jaunes, et la teinte noire y est réservée pour les ouvrages construits en terre. — De même. Maison donne souvent aux châteaux, casernes et grands bâtiments une teinte et quelques traits pour figurer leurs toits en ardoises. Cette couleur A' ardoise s’obtient avec de l’indigo et un peu

d’encre de Chine.

Murs coupés. Faible teinte de carmin.

Murs vus extérieurement. Ton jaune-gris de gomme gutte, encre de Chine et un peu de carmin.

Marais. Vert d’herbe et bleu léger. Bleu = 1 indigo -f- 20 cau. Vert d’heibc = 3 gomme gutte -}- 1 indigo -j- 8 cau. On donnera une teinte plate d’abord avec le vert sur les parties couvertes de verdures, puis d’autres teintes plates avec le bleu sur les flaques d'eau qu’on ondulera ensuite horizontalement avec un blcu= 1 indigo —J— 1 0 eau. — De même dans les dessins à l’effet.

Mers. Vert d’eau léger 1 indigo -J- i gomme gutte — j— 2 1- eau. On donne une teinte plaie avec ce vert, puis l’on renforce les bords

par nné leinte = 1 indigo î gomme gutte — 1 0 eau sur un centimètre de largeur environ, et laissant un intervalle de 1 millimètre le long de la côte. On adoucit celle teinte vers le large. — De même. En outre, on file quelquefois tes eaux et pour imiter les vagues, on forme avec la teinte forte ci-dessus des sillons interrompus, tremblés, un peu courbes, mais parallèles à la côte, en les diminuant de force à mesure qu’on s’avance au large.

Montagnes. Teinte transparente d’encre de Chine, mèléed’un peu d’indigo. Les plateaux nus restent blancs. — Lorsqu’on devra employer les hachures pour exprimer le relief, on pourra souvent se contenter de les dessiner avec un crayon un peu tendre, puis la teinte ci-dessus ou minix une légère teinte de seppia fixera le crayon. On obtient souvent ainsi d'excellents effets. L’usage a prévalu toutefois de dessiner les hachures à la plume. Dans l’un et l’autre cas, on prend d’abord pour directrices les courbes horizontales du terrain qu’on ne trace qu’au crayon et extrêmement faibles, pour ainsi dire par points, puis on commence les hachures par le haut des pentes. Il n’est point nécessaire que les hachures d’une tranche fassent suite à celles delà tranche précédente ; on adoucit les dernières hachures vers la plaine en les terminant par des traits légers et des points allongés. On les adoucit aussi un peu vers le haut, à moins qu’elles ne forment les bords d’une cavité, auquel cas elles commencent hrdSqucment. Dans les gorges, où elles vont à la rencontre l’une de l’autre, on les raccourcit beaucoup pour qu’elles ne se croisent pas. On adoucit encore les hachures dans les vols, cl on est souvent obligé de les y raccourcir. On interrompt les hachures partout où il y a des chemins et des routes.

Prairies. Vert d’herbe = 3 gomme gutte -)- 1 indigo -(- 1 0 eau. — De même. Mais on donne de plus, çà et là, quelques touches de gomme gutte et carmin et quelques pointillés à la plume.

Routes et chemins. Teinte rose très légère sur les chaussées pavées; on laisse les autres en blanc.

Rivières. Voyez Fleuves.

Rochers. Se font à la plume, en imitant le mieux possible la forme et les accidents qu’ils présenteraient si on les voyait de haut. Les faces dans l’ombre se teintent à la seppia ou à l’encre de Chine pâle. Teintes et touches très heurtées, avec fortes oppositions.

Sables. Aurore = 2 gomme gutle -{- J carmin — 1 6 eau. — Ou reprend en outre les bords de l’ombre par la même teinte, mais plus forte qu’on adoucit en revenant vers le jour, et l’on pointillé ces bords a la plume chargée de celte dernière teinte. On figure les cailloux avec de l’encre de la Chine pâle.

Terres humides. Panachées horizontalement vert et bleu. Vert =

3 gomme gulle -f- 1 indigo — f— f 0 eau ; bleu = 1 indigo ; -+-1 0 eau. — De même. Se louchent comme les marais, mais les flaques d’eau doivent être moins apparentes.

Vergers. Vert d’herbe léger = 3 gomme gutle -(- 1 indigo -j- 15 eau. — On détache en outre les arbres par leurs teintes propres et par leurs ombres portées.

Vignes. Lie de vin =1 gomme gulte-f-1 carmin 4- J indigo -j- 10 eau. — Mémo teinte plate pour le fond. On dessinera de plus les ceps comme de pelits arbres isolés, et leurs ombres projetées sur le terrain reproduiront l'cchalaset les feuilles.

Vase, boue. 1 gommcgutte-|-{ encre de Chine-}- un peu de carmin et de bleu -j- 2* eau. — De même. On force un peu du côte de l’oinbre en adoucissant vers le jour.

Ecritures. Les écritures doivent toujours être faites avec un très grand soin. Il faut, autant que possible, les disposer de manière qu’elles puissent être lues sans qu’on ait à tourner le plan. Cependant les noms des rivières s’écrivent dans le sens du cours de l’eau, et ceux des routes se couchent parallèlement à leurs directions; le principe qui doit diriger l’ingénieur est de donner aux noms un caractère d’une force proportionnée à l’importance des objets qu’ils désignent. On a cru devoir fixer le genre de caractères et la hauteur dis écritures aux diverses échelles pour près de deux cents objets. Je ne reproduirai point ici cette table qui me parait tout à fait inutile.

DÉVELOPPANTE DU CERCLE ( pl . XLIV). On a vu au mot Courbes, p. 431, ce qu’on appelle en général un e déceloppante et une développée , et l’on trouve au même article les équations de ces courbes, nous ne nous occuperons ici que de la développante du cercle, fig. 2.

Tracé [fig. 2). Soit MAB ... F, l’arc de cerclcà développer. Par l’une de ses extrémités F menez une tangente en F à l’arc donné. Prenez sur cette tangente une longueur Fm = la longueur de l’arc à développer. Si cet arc, dont le rayon r est connu, embrasse la n'tiw partie de la circonférence on a

Tl

partagez la tangente Fm en un nombre très graud, mais quelconque de parties égales, et l’arc MB F en un même nombre de parties égales. Par les points de division de l’arc A,B..E menez des rayons, et des perpendiculaires à chacun d’eux. Sur chacune de ces tangentes, à partir de leur point de contact, portez successivement A e’ = F c,

DEVELOPPANTE DU CERCLE. 525

Bd' = Fd z=. 2Fe, Ce' = Fc = 3 F e.... F m — 6 F <?, puispar les points M, e'j d', c1 , b a', m ainsi déterminés, menez une courbe; elle se rapprochera d’antant plus d<* la développante de l’arc qu’on aura divisé cet arc en un plus grand nombre de parties. Elle serait exactement sa développante si un fil inextensible couché d’abord sur l’arc FM et armé d’un style en M avait balayé l’aire rnixtilignc M A F m.

Dans les grandes épures, la développante se trace par ce dernier procédé, et lorsque la circonférence h développer est décrite sur un plan sans épaisseur, une muraille, un panneau qu’on ne veut point découper, on enfonce des pointes sur celte circonférence, assez rapprochées pour que le polygone formé par le fil enveloppant se confonde sensiblement avec elle.

Tangente et normale. La génération de la courbe montre que pour conduire une tangente a’ T à un point quelconque a' de la développante, il faut de ce point a' conduire une tangente a' E à la développée; puis par le pointa' une perpendiculaire à celte tangente.

Propriétés. On voit facilement que :

Les tangentes à la développée sont normales à sa développante.

Les parties Ae', Bd' ... D a' des tangentes à la développée comprises entre les points de contact A B ... D et la développante sont les rayons de courbure de celle-ci aux points e' d' ... a'.

Chaque rayon de courbure d’une développan te, E a' par exemple, a mémo longueur que l’arc M B E de la développée compris entre le point de contact E de ce rayon cl l’origine M de la développante.

Si l’on décrit sur un même arc M B F des développantes de cet arc qui soient équidistantes, tels que Mm, A a, B 6, un arc concentrique M' F' à l’arc développé est coupé par les développantes en parties égales c'c" c^c'", et les parties d’une même tangente F m comprises entre les développantes Mm A a B b sont, alors, égales entre elles et aux arcs développés; M A = A B = ma = ab.

Equation polaire de la développante (fi g. 4). Soient Orn = t> le rayon vecteur d’un point m de la courbe, r = OF le rayon de l’arc développé , a l’arc de rayon = 1 compris entre la direction du rayon vecteur et l’origine M du développement; <p l’arc du rayon t compris entre cette même direction et le centre F ac courbure du point m, on a pour un point quelconque m

arc (MN -j-NF)= Fm

or arcMN= r«; arcNF’ = rif; Fm = ]/ u* — r* r = ücos. «p; cos. <? = *; <p = arc |cos, = - J

526 DEVELOPPANTE DU CERCLE,

d’où, pour l'équation de la courbe

a -J- arc (ros. = -J — L”* ~*

Application aux cames. Si une came en développante M b' m fixée à son arc développé M b F soulevait verticalement uu pilon suivant Fin, 1“ le chemin vertical parcouru par un point quelconque du pilon serait toujours égal à l'arc décrit dans le même temps par un point quelconque de l’arc développé, tournant autour de son centre O; 2° le moment de la résistance du pilon par rapport à l'axe O serait constant pour toute la durée du mouvement et égal au produit decetlc résistance par la distance constante du point O à la projection, sur la direction horizontale O F, du point de contact de la came et du pilon. ( Voyez Bocarus et Came.)

Application aux dents des roues (Jig. 3). Etant données les distances des centres A B et le rapport des vitesses angulaires que doivent, recevoir les deux roues; partagez la ligne AB des centres en deux parties BT AT qui soient dans le rapport inverse de ces vitesses. Par le point de division T. menez DTE, formant avec A B un angle quelconqqe; des centres A et B menez des perpendiculaires A D, BE à DTE. et avec ces perpendiculaires comme rayons, tracez les cercles DII EF, auxquels I) E deviendra une tangente commune.

Par le point T, faites passer la développante II K T de la circonférence DH et la développante FTG de la circonférence EF, ou donnez aux deux cercles des dents formées sur ces développantes, il se conduiront l'un l’autre dans les conditions suivantes :

1° Le contact des dents aura toujours lieu sur la tangente commune I)E, et elles se pousseront dans la direction de cette tangente, quel que soit d'ailleurs le nombre de dentsUn prise.

2* Les vitesses de leurs circonférences DH EF seront les mêmes, de sorte que l’une décrivant un arc F f par exemple, l’autre décrira un arc H h = Vf dans le même temps, car on a

HA=DH — DA=DT — Df=*T=E/ — ET=Ef— EF=Ff.

3n Si la vitesse a la circonférence de la roue conductrice est constante, celle de la roue conduite le sera aussi ;|dôs lors les vitesses angulaires seront dans le rapport inverse cl constant de leurs rayons. Ces rayons AD BE étant entre eux :: AT : BT, le rapport constant des vitesses angulaires sera égal au rapport inverse des segments AT BT de la ligne des centres.

4° Le travail de la roue conductrice se transmettra toujours suivant DE à la roue conduite. Il donnera lieu au point de contact des dents à un elîort constant N qui produira lui-même un frottement

DEVERSOIRS. 527

constant f N; toutefois le travail de ce frottement ne sera pas dans un même temps, le môme pour l’une et l’autre dent en contact, parce que les arcs de glissement qui passent l’un sur l'autre ont deslongueursdcvcloppécsdifférentes(voyezMe' et a’m, fig. 2). Lesarcs parcourus étant plus petits à la racine des dents qu’à la pointe, il en résulte que les dents en développantes ne s’usent point également» et que la plus grande usure a lieu à leur racine. (Poncelet, Mécanique industrielle).

DÉVELOPPEMENT DES SURFACES, voyez Géométrie, Tra< és.

DÉVERSOIRS, voyez Écollrmekt.

DIALLAGE. Substance minérale verdâtre ou brunâtre, donnant de l’eau par calcination , fusible en un verre blanchâtre qui brunit au feu d’oxidalion; difficilement attaquable par les acides.

La diallagcjproprement dite, estun hydro-silicate de magnésie plus ou moins mélangé de chaux, d’alumine et d’oxide de fer. Elle sc trouve en général dans les dépôts porphyriques.

DIASPORE. Substance minérale en lames jaunâtres ou brunâtres un peu fibreuses donnant de l’eau par calcination, infusible au chalumeau. La diaspore est un hydrate d’alumine.

DIFFÉRENTIELLES. Nous appellerons différentielle d'une fohc- , tios u l’accroissement que celte fonction subit par suite des accroissements que recevraient elles-mêmes les quantités variables xy z... dont elle dépend, si les accroissements de ces variables étaient infiniment ou plutôt indéfiniment petits.

Quelque vague qu’une telle définition puisse laisser dans l’esprit, nous ne pourrions tenter de le faire disparaître qu’à la condition de nous jeter dans une métaphysique assez subtile, et dans des développements que la nature de cet ouvrage ne parait pas comporter. Nous renverrons le lecteur au Trailé du Calcul différentiel de M. Lacroix, a la Métaphysique de ce calcul par Carnot, à une note très intéressante sur la nature des infiniment petits de M. Poncelet; et nous nous bornerons à donner les moyens pour ainsi dire mécaniques d’obtenir les différentielles des fonctions les plus usuelles.

Dans tout ce qui va suivre, les quantités constantes, c’est-à-dire celles que l’on considère comme ne changeant point de valeurs, seront désignées par les premières lettres de l’alphabet. On désignera au contraire par les dernières lettres s tu v xy z \es quantités variables, soit celles qu’on considère comme changeant ou pouvant changer de grandeur. Leurs accroissements respectifs infiniment petits, seront désignés par ds.. dx dy dz. la lettre d, abrégée du

528 DIFFERENTIELLES.

mot différentielle , est donc une caraléristique, et non une quantité (l). Lorsqu’elle précédera une parenthèse ou lorsqu’elle sera suivie d’un point elle indiquera que la quantité comprise entre les parenthèses ou celle qui suivra le point est à différentier.

Constante. La différentielle d'une quantité constante est nulle ou zéro, puisqu’on admet qu’elle ne peut recevoir d’acroissement.

Deux fonctions identiques mais de formes différentes ont des différentielles égales; mais l’inverse de celle proposition n’a pas lieu, etdeux différentielles égales n’appartiennent pas nécessairement à des fonctions égales. Car les constantes séparées des variables par les signes cl — disparaissent par la différentiation. La différentielle bdx par exemple est celle de bx aussi bien que celle de a -j- bx.

La différentielle d’une fonction de v composée de plusieurs termes s'obtient en prenant la différentielle propre de chaque terme avec le signe dont il est affecté : u v w étant des fonctions de x, on a donc

— ic) — du - {- dv — dw.

La différentielle du produit d’un nombre quelconque de fonctions est la somme des produits de la différentielle de chacune, multipliée par toutes les autres fonctions

d (uvw)= uvdw uwdv vtcdu

d. xy — xdy -j- y dx

d. au — adu.

Fractions. La différentielle d’une fraction - dont les deux termes

sont variables se forme en multipliant le dénominateur y par la différentielle dx du numérateur; retranchant de ce produit ydx celui xdy du numérateur x par la différentielle dy du dénominateur et divisant le tout par le quarré y1 du dénominateur x y dx — xdy

(t) Le R. P. Paulian, quia si malheureusement commenté l’analyse «le* infiniment petits du marquis de l’flopilal, n’avait pas à ce qu’il parait fait cette distinction. Aussi, de l’équalion :

il, déduit celle-ci:

s dy

dz =

dx

— sd

en ôtant, dit-il très naïvement, les lettres qui se détruisent. ( Vov. p. 253 de son Commentaire.)