DIFFÉRENTIELLES

si le numérateur est constant, sa différentielle propre est nulle, et dés lors

si c'est le dénominateur m qui est constant, on a, en appliquant la règle

x m dx dx m m* m

Puissances. La différentielle de la puissance quelconque d'une fonction positive négative entière ou fractionnaire se formo en multipliant la différentielle de la fonction par l’exposant de la puissance et diminuant l'exposant primitif d’ane unité : ,

d. x — mx dx ; d. u = — nu du

'd. ax — max dx

x - 1 y dx — x tl y

d. - — d. xy =

ni n m n n ni ni n — l n ni— l

d [ax y ]=ax d. y -} -ay d. x = nax y dy-\-may x dx.

Si la quantité est complexe, et si elle ne renferme pas d'ailleurs de puissances de quantités complexes, on différentie séparément chacun des termes qui la composent :

d [x'y -|- ay2 -f- A5] = 3 x*y dx -f- x'dy -j- 2 ay dy.

Les règles ci-dessus suffisent lorsque la fonction porte un exposant total comme celle

on égale alors toute la quantité affectée de cet exposant à une variable auxiliaire, z par exemple , et l’on substitue dans le résultat final les vraies valeurs de z et de dz. Ainsi pour différcnlicr la fonction ci-dessus, on pose

tn n m — l

a~\~bx —s d’où u = z • et dz — mbx dx

Il II - I

comme d. z — nz dz, il vient

n ni — I n - I

d [« -}- Axm] — mnbx [« -(- 6.rm] dx

530 DIFFERENTIELLES,

on aurait de même :

(/ [« -j- bx-\- ex’J = 5 [« -J-ix-f-cx3] [b -f- 2 car j d.r

(x -|- a)* (x -|- 3 b — 2 n) (x -|- a)’ dx

Il est quelquefois commode de faire emploi de deux variables auxiliaires.

Radicaux. Si la quantité proposée est radicale, on ramène la différentiation à la règle précédente en substituant aux radicaux des exposants fractionnaires, ainsi :

= rf- (*)’

— x dx | /a' — x1

Radicaux du second degré. L'application de la règle ci-dessus, montre que dans le cas particulier d’un radical du second degré, sa différentielle s’obtient en divisant celle de la quantité, qui est sous le signe par le double du radical.

Différentielles des ordres supérieurs. Après avoir obtenu la différentielle du d’une fonction u, on peut avoir à différenlicr de nouveau celle différentielle première du, et l’on obtient ainsi la différentielle seconde d. au, ou d!«; différentianl cette différentielle seconde ddu on obtiendrait la différentielle troisièmedddu ou d. dzu ou d'u et ainsi de suite. Le ctiiffrqde la caractéristique d indiquant l’ordre de la différentielle, ne doit pas être confondu avec un exposant. Ilnefautpasconlondrenon plus l’expression d"xavec celle dix"; la première indique une différentielle du n"°* ordre et la seconde la 11*“" puissance de dx. Les différentielles des ordres supérieurs s’obtiennent successivement par les mêmes règles que les différentielles premières. Il suffit donc d’appliquer les règles ordinaires en regardant successivement x, y, dx, dy, dîx, d‘y... comme autant de variables différentes, à moins toutefois qu’il ne convienne de supposer que l’une d’elles est constante. On aurait donc

d. dx — dzx

d. dzx — d3 x

d. lxy — d. d. xy — d[xdy -f- ydx] = xd7y -j- Idy dx -j- yd'x d.zx' — d.d.x 5 —d. 2xdx— ixd^x -f- 2</x5 d. xdy — xdzy -4- dxdy

DIFFERENTIELLES.

dx d y

1 fdj-! rf’-r

dx d'y

|dyj dy,

~dÿ'

d. ax — nax

dx .

5 ii n - î 3

d. ax =n(n — 1 )ax dx

.1 II u - a 3

d. ax — n(n — 1) (n — 2)«x dx

d. ax =n (n — l)(n — 2) (n — 3) ax dx

d. ax = n(n — 1) (n — 2) 3 X 2 X 1 « dx"

Si n était entier et positif, celle expression serait la dernière différentielle que pùt fournir la fonction ax".

Si l'on demandait les différentielles des quatre premiers ordres de l’expression

tt=6i’ — 70:e‘-|- 336xs — 861x' + 127ix3 — 1092x*

on obtiendrait successivement et toutes réductions faites, savoir: du — 42 (x — 1 ) 3 (x — 2) 3 (x — 3) d x d*u = 84 (x — l)*(x — 2) (3x* — I3x-|- 13) dx3 d’u 81 (x — 1) (1 5x3 — Six3 -j- 155x — 91)dx3 d4u=168(30x3 — 1 âOx3 210x — i 23) dx4

Il arrive très souvent que dans le cours des calculs où il entre plusieurs variables, on suppose constante la différentielle première de l’une de ces variables, dt par exemple. Il est clair que alors dl< cl par suite toutes les autres différentielles supérieures d3/, d‘f. . . de celte quantité sont nutles. Ainsi dt étant supposé constant, on aurait

(txj rf1 X

dt | il(

dx étant supposé constant , on aurait aussi

dxd'y

~dy>

532 DIFFERENTIELLES.

Différentielles logarithmiques. Ca difïorcntiellc du logarithme dans un système quelconque égale le produit du module M par la différentielle du nombre, divisée par le nombre môme

log. y =

M dy

La base du système logarithmique étant a, on sait que l'on a en général

M = (o-i)-; («-1)* + ; (• — i) * — ëïë:

Dans le système vulgaire, on a a — 10' d’où M = 0. 43429*482 . . .

mais pour plus de simplicité, on emploie souvent les logarithmes dits naturels j neperùns ou hyperboliques que nous désignerons par log. hyp. dont le module M= 1 et dont la base toujours désignée par e est

en sorte que l’on a

log. hyp. e = I

et*,* étant des nombres que'conques

s — log. hyp. e s ■= log. hyp. e

Nous ne ferons usage dans cet article que des logarithmes dits hyperboliques; on les transformerait, au reste, en logarithmes vulgaires en les multipliant par le facteur 0.43 129 4 . . . et au contraire en, multipliant un logarithme vulgaire par le facteur

on le transformerait en un logarithme hyperbolique. Cela posé, eu obtient facilement

dx I — dx

il. log. hyp. x — — a. log. hyp. - — — —

il. log. hyp. (a 4- a) = — - — ■

° * 1 ' ' JC

d. log. hyp. — ^ — = d. [log. hyp. a — log. hyp (a + t)] = rp

fl- j-X ‘

♦ d. log. hyp.'.i = d [n log. hvp. a] =

d. [log. bvp. r] = n [log hvp. .r]

DIFFERENTIELLES.

d. log. hyp. (xy) = ^ -f d. log. byp. : = d^-dJ-

d. log. byp.

i Ix

d. log. byp. [a1 -f x1]

2 x dx

d. log. hyp. J/ a2-(-.r2 = d. [| log. hyp. (a'J-f ■«••*)]=

d. log. hyp.

n* dX

V a' -j- x* x (a’ -|- x*} d. log. hyp. |x“(a-[-ôxn) j = d log. hyp..v“-)-log.hyp.(«-[-ix“) j = d. [ m log. hyp. x p log. hyp. (a -f bx ")]

mdx . jtnbx dx x ' o-j- 6xn

d. log. hyp.

Vl + x + y/ 1 — i l/l + x — V' 1 — x\ X\/ i—X dx

d. log. hyp. [.r+ Va' + x'] =

— ^ log. hyp. [x y/-\ -f i/,-x*] = —

d. log. byp.

yi + i’ — x] d. log. byp. [log. hyp. x] =

Vl + x'

x log. hyp. x

Exponentielles. La différentielle d’une quantité exponentielle ou à exposant variable se trouve en multipliant cette quantité exponentielle par la différentielle de son logarithme. Continuant à employer les logarithmes hyperboliques dont la base est e= 2.71828 ... on aurait :

d. e =~ e d. log. byp. e — c d. x log. hyp. e — e dx

DIFFERENTIELLES.

ois mt

d. e —e mdz

d. a = a dx log. hyp. a

d. x = x d. log. hyp. x = x d [y log. hyp. .r]’ =

x dy log. hyp. x H — —

d. x == x [1 + log. hyp. a:] dx

xi x x r i " dy]

d.[u-\-y]=adx log. hyp. a -(- y riz log. hy p. y j

d. [aJ -f x2]' '= («» + x’)‘ \dx log. bvp. -f x’) +

U-f [ÎX5

d. A j^j = — (a -j- 2 [î x) dx log. hyp. m

d. ab = ab 6l dx log. hyp. a log. hyp. b * » • r

d. z' = z' t ds log. hyp. t log. hyp. z -}-

s dt log. hyp. s . d:

Fonctions circulaires, x étant un arc quelconque du cercle doul le rayon = 1 , et sin x son sinus ; sin (x -f- dx) — sin x sera l’accroissement de ce sinus correspondant à l’accroissement dx de l’arc; or

sin (x -|- dx) — sin x = sin x cos dx -|- sin dx cos x — sia x

Mais, à la limite, le sinus d’un arc infiniment petit est cet arc luiméme, et son cosiuusne diffère pas du rayon; on a donc

sin dx — dx et cos dx =. 1

il en résulte que d. sin x — dx cos x et cette différentielle suffit pour trouver celles de toutes les autres lignes trigonométriques.

En supposant d’abord pour plus de généralité que le rayon du cercle est r, il vient

dx cos x — d x sin x

d. sin x — d. cos x =

d. tang x =

r* dx cos ’x ’

— r* dx

d. cotang jt = — :

sin *x

r dx Mil x

d. SCC. x —

cos ’x

dx laiig x soc. x r*

DIFFERENTIELLES. 533

— rdxcosx — dx cotang x cosec x

a. cosec x = — : -

sin ’x r'

, . , dx sin x

a. sin vers, x — — a. cos x =z

A l’aide de ces formules, on peut trouver la différentielle de toute expression renfermant des sinus, cosinus, tangentes, etc.; il faudra pour cela dilférentier en regardant ces quantités comme des fonctions particulières et mettre au lieu de leurs diffcienticllcs les résultats cidessus ; l’on obtiendrait ainsi :

d. sin x cos y

ni dx cos x sin x

dx cos x cos y — dy sin y sin x

d. sin x =

d. cos x —

— m dx sin x cos x

d. tang x =

d. cotang x —

tn— 1

r* m dx tang x

— r1 m dx cotang x sin ' x

et faisant maintenant r= i afin d’abréger, on aura

d. sin mx = m dx cos mx-, d. cos mx — — m dx siu mx

, . m dx — tndx

d. tang mx = ; d. cotang mx —

cos 'mx ° sin 'mx

, m dx sin mx

d. sec. mx =

cos 'mx

— m dx cos mx

d. COSCC mx — : :

sm 'mx

•In 1 «tu 1 P s|n J

d. cos x — dx cos x cos x log. hyp. cos x —

. I cos X

dx cos ».

sin x

d. log. byp. sin x d. log. hvp. cos x — — dx tang x -

dx cotang x

— dx sin x cos x

d. log byp. tang x

cos x sin x

‘2rfx t dx

sin 2 x cos 'x tang x

536 ' DIFFERENTIELLES.

Différentielles de l'arc. Apres avoir traité les lignes trigonométriques comme des fonctions de l’arc, il convient de regarder I are comme fonction de ces lignes et d’en déterminer la différentielle sous ce point de vue. En parlant des relations précédentes, on obtient facilement, r étant le rayon :

r dx

d. arc. [sin =z x] = d. arc. [cos = y] =

d. arc. [taug = =] = r, faisant r = 1, on aurait de mémo

d. arc.

2 du

[sin =iu |/i„-]=v l^=—

f la"g

x j y dx — x d y

Différentielle d'sine fonction à plusieurs variables. Soit u une fonction de plusieurs variables t,x, y, z... la différentielle totale de cette fonction s’obtiendra en faisant la somme de toutes les différentielles partielles. Chaque différentielle partielle s’obtiendra elle-même en différentiant la fonction totale par rapport à l’une des variables, les autres étant considérées comme des constantes.

Si l’on convient d’exprimer une différentielle partielle , celle par

. du dx . ,

rapport à x par exemple, par la notation ■ - — qui exprime la

portion de la différentielle totale due à la variation de x seule , on peut exprimer la règle par la formule

, du , . du . du du

du =z — dl -j- - dx — - dy -j- — dz

dt ' dx ' dy J ' dz

remarquant bien toutefois que — p ne se réduit point à du, comme

cela aurait lieu cependant si u ne renfermait que la variable t.

Appliquant la règle à quelques exemples, on trouve, comme on l’a déjà vu :

d. txyz = xyzdt -f- tyzdx -j- txzdy -j- ixydz

d. x y = mx y dx ny x dy

d. x — yx dx -j- x dy log. hyp. x