EAU REGALE

puisse être bouché. On obtiendrait ainsi l'oxyde ferreux, l’oxyde manganeux, l'oxyde zincique, l’oxyde cuivrique , et l’on traiterait ce dépôt séparément, en observant que de l’alumine et du phosphate de chaux pourraient être précipités en même temps.

Matières organiques. On évapore à siccité et l’on chauffe le résidu dans un tube bouché par un bout. Ce résidu so cbarbonne ou du moins répand une odeur empyreumatiquc. — Si elles sont azotées, elles exhalent en outre, après addition de potasse ou de chaux, de l’ammoniaque reconnaissable par son odeur ou parce qu’elle ramène au bleu le papier de tournesol rougi.

EAU RÉGALE. Mélange d' acides nitrique et chlorhydrique dont les proportions varient suivant l’emploi qu’on doit en faire. On admet comme une sorte de moyenne,

t acide azotique -j- 4 acide chlorhydrique.

M. Dumas croit que l’on pourrait employer six parties du dernier acide, lorsqu’il s’agit de traiter les métaux qui peuvent décomposer l’eau par eux-mêmes.

On fait un grand usage de l’eau régale dans l’analyse des minéraux. Elle dissout l’or, le roi des métaux, ce qui lui a valu son nom.

On obtient encore une espèce d’eau régale en mêlant de l’acidc nitrique avec de l’bydrochlorale d’ammoqiaque ou du chlorure de sodium.

ÉCARTS. Les charpentiers appellent écart la longueur doDt les bois se croisent dans les enlures et les Assemblages.

ÉCLIPSES , ECLIPTIQUE , voyez Astronomie , pages 70 et 82.

ÉCLUSES, voyez Canaux, page 213.

ÉCONOMIE des constructions , des projets d'entreprises industrielles, etc. Nous nous proposons de résumer dans cet article les solutions générales des problèmes de finances que les ingénieurs ont journellement à résoudre. ,

Question générale. Déterminer, entre plusieurs projets, qui ne diffèrent entre eux que par la durée et par les dépenses : 1° celui qui mérite la préférence sous le rapport de l’économie ; 2° la dépense moyenne annuelle pour chacun d’eux.

On suppose que l’effet utile de chacun des projets est exactement le même; que, s’il s’agit d’une usine, par exemple, les produits an-

nuels sont égaux en quantité et en qualité, quels qu’aient été les frais üc premier établissement. Soient donc :

a les frais de première construction, ou bien encore le prix d'acquisition d’une usine construite, a est exprimé en francs;

e la somme exprimée en francs qu’exige annuellement son entretien, scs réparations, scs frais d’administration;

t le nombre d’années que doit durer l’ouvrage ou l’entreprise ; admettant qu’à l’expiration du temps t et malgré les frais d’entretien, la construction devra être refaite entièrement à neuf ;

m étant alors la valeur des matériaux de démolition sur place, à l’époque où la reconstruction est devenue nécessaire, ou la valeur vénale de la construction à cette époque;

f la valeur de 1 franc augmentée de l’intérêt au bout d’un an, en sorte que fz=z 1.05 si le taux de l’intérêt est à 5 0/o l’an, /== 1.06 s’il est à 6 0/o.

On sait que la somme a augmentée de ses intérêts et des intérêts de ceux-ci acquiert au bout du temps t une valeur

D’un autre côté, l’entretien au bout de la premièreannéeacoûtér; au bout de la seconde année cette somme e aurait acquis par l’intérêt une valeur ef , et l’on aurait en outre dépensé dans cette même année encore une fois la somme e.

Les dépenses réelles d’entrelieu au bout de deux années s’élèveraient donc déjà à •

e + ef = e(t +f)

Un an s’écoule cl cette somme e ( 1 -f- f), si elle avait été placée, aurait acquis une valeur e ( t -| -f)f ; mais comme dans celle même année on a encore consacré une somme eaux réparations, les dépenses d’entretien au bout de trois années révolues s’élèvent à

En suivant ce raisonnement, ou voit bientôt que : au bout de t années à partir de l’origine de l’entreprise, les sommes qu’on a successivement consacrées à l’entretien et aux réparations auraient acquit une valeur totale

si, aux époques où elles ont été dépensées, on les avait placées, snr l’Etat par exemple, en laissant les intérêts s’accumuler.

Par conséquent, la somme totale s des dépenses faites et des perles d’intérêt éprouvées, ou, en d’autres termes, la somme totale s qu’on posséderait si on avait placé successivement les sommes qu'on a consacrées à l’entreprise, s’élèverait au liout de t années à

a = af — m + e (3)

Il importe de rechercher quelle somme moyenne annuelle d l’entreprise doit rapporter pour équilibrer strictement cette dépense. Or il est évident que si l’on prélève d au bout de chaque année sur les produits de l’entreprise et qu’on place ces sommes,

le 1er, 2enie, 3enic, . . ( t — 1 )lcmc, P™ prélèvement produira intérêt pendant

(t — l),(t — 2),(/ — 3) ... 1, 0 années

de sorte que chaque d successif acquerra par l'accumulation des intérêts des valeurs

df , df , df . . . d/ d!

leur somme totale sera donc ( progressions).

Egalant cette valeur à la somme s, on a

C’est le prélèvement moyen annuel à opérer, ou encore, la somme moyenne à répartir sur le prix des produits de chaque année de la durée t pour que les dépenses consacrées à l’entreprise aient acquis la valeur qu’elles auraient acquise, sans aucun travail et sans aucun risque, par un simple placement à intérêts composés.

Que si, au moyen de la dépense annuelle e, la construction ou l’entreprise conservait à la Gn de chaque année la valeur qu’elle avait au commencement; en d’autres termes, si , à l’aide de celle dépense annuelle, la durée pouvait être supposée indéfinie, m serait toujours égale à a , et dès lors le prélèvement moyen annuel que j’appellerai o pour ce cas, se réduirait à

c’est-à-dire à l’entretien augmenté de l’intérêt du capital de première mise.

Comparaison de deux projets. La valeur générale de d est la mesure naturelle des dépenses respectives de deux projets. Il suffira donc pour les comparer entre eux de calculer pour chacun d’eux les taxes moyennes annuelles dd' dont ils grèvent le prix des produits de l’entreprise. Le plus économique correspondra évidemment à celui qui donnera à d une plus petite valeur.

Ils seraient également bons sous le rapport économique si l’on trouvait d = d’ ou

En tirant de celle équation 1rs valeurs de a, de e ou de l , elles feraient connaître soit les frais de première mise, soit ceux d’entretien et de réparations, soit la durée de l’une des entreprises, sous la condition que les dépenses moyennes annuelles fussent les mêmes dans les deux projets.

Il faut remarquer, toutefois, que dans lo cas particulier où nous avons représenté la dépense moyenne annuelle par S, cette dépense ne sera pas toujours comparable à d. Celle-ci suppose, en effet, que l’entrepreneur est rentré dans son capital, tandis que dans le cas de 2. cet entrepreneur a son capital transformé en une construction qui, bien qu’en parfait état, pourrait dans un avenir plus ou moins prochain perdre une partie de sa valeur industrielle par suite du progrès des arts, de modifications dans les procédés de labrication , etc.

Ces formules très simples proposées, je crois, pour la première fois, par M. l’ingénieur en chef Mondot de la Gorce, peuvent se prêter à des applications si nombreuses et si variées que l’on peut ■affirmer qu'elles contiennent la solution de la plupart des questions financières qu’un ingénieur puisse avoir à résoudre.

Cas général. Avant d’en faire l’application à quelques exemples , il peut être utile de les étendre au cas où, après une première période de tannées, cl après avoir subi une dépense totale exprimée par la valeur (3) de s, on reconstruirait à neuf. Or,. il est évident que pendant une seconde période de t années, les dépenses et les pertes d’intérêt, toutes choses égales d’ailleurs, s’élèveront encore à la même somme $ d’une part, et que de l’autre part la première somme s dépensée pendant la première période acquerrait pendant la seconda période, par l’accumulation des intérêts une valeur $f'\ donc, à la fin de la seconde période, la somme totale *' consacrée à l’entreprise , tous les intérêts compris, s’élèverait à

Si à cette seconde période succédait une troisième, on voit bicntùt

en poursuivant le même raisonnement, qu’à la fin de la troisième période, la dépense totale »" deviendrait

et enfin que, aprèsA périodes ou kt années comptées depuis l’origine de l'entreprise, toutes les sommes qu’elle aurait absorbées et tous les intérêts s’élèveraient à

mettant pour s sa valeur (3) il vient

»=|£f? + *J If-')

Si l’on faisait k— 1 dans cette formule, on retomberait sur la valeur de s relative à une seule période.

Pour trouver la somme moyenne annuelle D , dont l’entreprise doit être grevée pendant kl années, pour équilibrer simplement la somme S, on raisonnerait comme on l’a déjà fait, et l’on parviendrait de même à l’équation

d’où l’on tire enfin

(af'-m) (/■-!)

Cette valeur, indépendante de k, est exactement celle d qu’on a trouvée (5) pour une seule période. Ainsi la somme annuelle à prélever reste la même, toutes choses égales d'ailleurs, quel que soit le nombre k des périodes.

De P application de ces formules aux travaux publics. Nous l’avons déjà dit, ces formules dirigeront sûrement l’industrie particulière dans ses spéculations, mais il est très important de faire remarquer qu’elles ne sont nullement applicables aux travaux d’utilité publique, entrepris par l’Etat. En effet, et ainsi que le démontre très judicieusement M. Mondot de la Gorce, si à la manière des particuliers dont l’existence est limitée, les gouvernements dont la vie est éternelle, devaient faire entrer les intérêts des capitaux de première mise dans l’évaluation des dépenses relatives aux travaux d’utilité générale, ils se trouveraient conduits à n’entreprendre ni routes, ni

ponts, ni canaux, ni ports, ni aucune de ces constructions qui font la gloire, la richesse et la force des peuples; mieux vaudrait, et de beaucoup, en placer le prix à intérêts composés pour enrichir les générations futures. Il remarque à ce sujet que si, il y a mille ans, Charlemagne avait économisé seulernenl un tiard sur ses dépenses et qu’il eût placé ce liard à intérêts composés au profil de la génération actuelle, chacun des trente millions de Français que comprend le royaume aurait en partage plus de six cent quarante-cinq milliards. On trouverait de même que un centime d'épargne, placé aujourd'hui à 5 0/o, et abandonné à l’accumulation de ses intérêts jusqu’à l’année 2846, acquerrait une valeur telle que, au prix fort élevé de cent mille francs l’hectare, le légataire de celte époque |>ourrait acquérir la surface de plus de trois mille planètes de la grosseur du globe que nous habitons. M. Mondot delà Gorce, propose, en conséquence, de faire l’intérêt aul ou f = 1 dans l’évaluation de la dépense moyenne annuelle A des travaux publics; on a donc simplement alors

en faisant f — 1 dans la valeur de d (voyez indétermination).

Applications d l'industrie privée. Quelles seraient, au bout de trente ans, les positions financières de deux industriels M, N qui auraient débuté dans les conditions suivantes :

M, pour élever les bâtiments nécessaires à sa fabrication, a dépensé cent mille francs. Sa construction en pierres de taille, ses fortes charpentes présagent une durée que nous regarderons comme devant être étemelle.

N , moins fastueux, a construit une usine semblable en bois et en plâtre, une habitation et des ateliers de même étendue, capables d’abriter le même nombre de travailleurs. L’ensemble de ses baraques lui a coûté soixante mille francs et il sera obligé de les reconstruire de fond en comble au bout de trente ans. Les matériaux de sa pre mière usine sont supposés de nulle valeur à celte époque. Il a placé à 5 0/o les quarante mille francs que son rival Ma dépensés de plu> que lui.

On suppose l’entretien nul de part et d’autre, et les chances commerciales égales pour tous deux.

L’application des formules montre que :

M a dû grever la masse annuelle de ses produits de 5000 fr. par an; mais, les (rente ans révolus, il possède une usine qui, par hvpolhèsc, vaut encore cent mille francs.

N n’a dû grever la masse annuelle de scs produits que de 4239 fr.

ECONOMIE. 56î

66 cent. Pendant ia durée des trente aps il est ainsi rentré dans toutes ses dépenses. Les quarante mille francs qu’il a placés à l’origine valent au bout de trente ans environ 172877 francs. S’il a vendu scs produits au même prix que M, ou, en d’autres termes, s’il lésa grevés comme lui de 5000 fr., il a encore pu placer annuellement 760 fr. 34 cent. qui, au bout de trente ans, lui donnent un autre capital d’environ 36800 fr. S’il veut perpétuer sou industrie, il peut modifier les dispositions generales de son usine, les mettre en harmonie avec les progrès opérés dans la durée des trente années ; il dépense pour cela encore soixante mille francs, perd une année, s’il le faut, pour celte reconstruction, ce qui lui cause un préjudice difficile à évaluer et que nous désignerons pari/.

Au moment où le travail reprend dans les deux usines, les positions respectives de M et N sont donc comme suit :

M a une usine qui vaut 1 00000 francs.

N a une usine mieux disposée qui ne coûte que 60000 fr.

Il a, de plus acquis, sans travail 149677

Il possède 209977

Quelque valeur raisonnable que l’on puisse donner à y, la position de N est incomparablement la meilleure.

Deuxieme question. On propose de former une société au capital de un million pour l’exploitation d’un brevet dont la durée est restreinte à six années. L’inventeur gérant s’alloue 20000 fr. de traitement; il promet 150000 fr. par an à la masse des actionnaires, pendant les six années pour lesquelles la société est constituée. De plus, on vendra le matériel à l’expiration de ces six années, et sa valeur estimée à 200000 fr. sera, à cette époque, distribuée en totalité aux actionnaires. Le taux de l’argent esta 5 0/o- Un ingénieur doitil conseiller à scs clients d’entrer dans cette affaire? Non.

En effet, la masse des actionnaires reçoit 150000 fr. chaque année pendant six ans. En plaçant ces sommes le jour où elle les perçoit, et laissant s’accumuler les intérêts, elle retirerait au bout des

ro — \

six années 150000 X j — = • • • - 1020000 fr.

la vente du matériel lui donnera en outre. . . 200000

Elle percevra en tout 1220000 fr.

Or, le placement pur et simple de 1 million et de ses intérêts, à mesure qu’on les perçoit, donnerait 1 340100 fr. environ, sanscourir les risques auxquels toute entreprire industrielle est exposée.

Faisant dans (5) e — 20000, a — 1000000, m — 200000, on trouve, à l’aide de la table, que si d ou la somme annuelle que de .vraient toucher les actionnaires s’élevait même jusqu’à 187600 en-

viron, il serait sage do préférer un placement anx chances de l’entreprise, bien qu’ils touchassent en outre 200000 pour la valeur de m.

Troisième question. On offre pour 1*0000 fr. la propriété d’une usine métallurgique. Les bénéfices annuels constatés s’élèvent à 10000 fr. tous frais payés, entretien compris. On s’est assuré que la mine qui l’alimente ne contient de minerai traitable qne pour 10 années; mais, à la fin de ces dix années, on trouvera à céder l’emplacement et les débris du matériel pour 70000 fr. Doit-on accepter ce marché?

Faisant dans(5)e=o,- a=140000, l— 10; m=70000, on trouve <£=12565 fr. *5 c., c’est-à-dire que pour que l’on tirât un intérétde 5 0/o de ses capitaux, il faudrait que les bénéfices annuels de l’usine fussent parfaitement assurés et qu’ils dépassassent de 2565 fr. ceux qu’elle donne. Tout restant comme ci-dessus, l’usine en question ne devrait en aucun cas être achetée plus de 1 20000 fr., en supposant que l’on se contentât d’un placement industriel à 5 O/q.

Table calculée dans l'hypothèse d'un intérêt de 5 0/0 (f = 1.05).

5cr>

ECOULEMENT.

ECOULEMENT. Lorsque, par l’emploi de vases transparents, et soit en mêlant aux liquides des poudres tenues et colorées, d’une densité égale à celle dont ils jouissent eux-mêmes, soit en déterminant dans toute leur masse, par des réactifs convenables, un très léger précipité , on peut étudier la manière dont les écoulements s’opèrent, on remarque que de tous les points du vase ( fig . 1 , pi. XLVIII) des filets fluides se dirigent vers l’orifice eu parcourant des courbes fort compliquées, dont la nature dépend de la forme du vase, de celle de l’orifice, et suivant lesquelles les molécules liquides se meuvent avec des vitesses qui augmentent à mesure qu’elles se rapprochent de cet orifice; parvenues dans son plan elles le franchissent avec une grande rapidité, et si la paroi dans laquelle il est percé, est plane et mince ( pl . XLV1I), les filets fluides tendant à conserver leur direction propre forment au dehors un faisceau qui se contracte à une petite distance MB de l'orifice MX. Si cet orifice est circulaire, lu veine fluide, à partir de la section contractée, prend la forme d’un cylindre qui a cette section pour hase; les filets fluides semblent se mouvoir parallèlement à l’axe, tant que la résistance de l’air n’a pas épanoui la veine, et la dépense se réduit au produit de la vitesse par la section contractée de la veine.

Si la paroi estépaisse(/tjr. 2,pLXLlX)ouccqui revient au même si l'orifice est muni d’un ajutage de même diamètre (fig. 1), la veine se contracte encore, mais le plus souvent elle s’épanouit un peu au delà de la section contractée, rejoint les parois de l’ajutage cylindrique, les suit en le remplissant en entier et l’écoulement se faisant .ainsi à gueule-bée par une section égale à celle de l’orifice, la dépense est plus grande que si elle avait lieu en mince paroi , bien que la résistance de l’ajutage diminue la vitesse de sortie du liquide.

5C8 ECOULEMENT.

Que si, au lieu d’êtro circulaire, l'orifice en mince paroi était polygonal, rectangulaire comme MN par exemple, planche XLYII , la veine se contracterait encore, et présenterait de plus le phénomène curieux faussement désigné sous le nom de renversement de la veine et en vertu duquel la masse liquide dont la section avait d’abord la forme et la grandeur de l’orifice MN prend successivement les formes et les grandeurs ABC ...III, semblant ainsi se tordre en creusant ses faces parallèles et faire décrire à ses arêtes longitudinales un angle de 45 degrés.

Sans entrer plus avant dans l’étude des mouvements complexes des filets fluides pendant l’ccoulemcnl, mouvements que nous avons au reste essayé de reproduire dans les croquis , on pressent facilement combien il eût été difficile d’y appliquer le calcul, et surtout de les exprimer par des formules assez simples pour devenir pratiques. On a simplifié le problème en faisant les hypothèses suivantes.

Uypothèses. On suppose ( pl . XLYIII) :

1° Que le mouvement des molécules liquides est permanent, c'està-dire que la vitesse en un même lieu de l’espace y est toujours la même tant en grandeur qu’en direction pour tous les instants où l'on considère le liquide j

2» Que dans chacune des sections planes MN, M'N', M'r N" [ft j. 2), faites en travers de la masse liquide perpendiculairement à la direction du mouvement général, toutes les molécules d’une même tranche sont animées dans celte direction de vitesses égales et parallèles. C’est l’hypothèse du parallélisme des tranches;

3° Que la pression génératrice du mouvement est la même pour tous les éléments superficiels et égaux d’une même tranche;

4° Que les différentes molécules liquides ne cessent jamais d’être contiguës les unes aux autres, sans lacune, sans espace vide, de telle sorte que la masse liquide conserve le même volume extérieur quel que soit le changement de forme qu’elle subit, et que dans un temps donné un même volume de liquide passe par chacune des sections MN, M'N', M"N" du vase. C’est la lui de continuité ;

5° Enfin on fait. d'abord abstraction de la résistance des parois.

Obsen'ation. Ces hypothèses, et notamment la seconde et la troisième, ne sont point entièrement d’accord avec les faits observés, et l’on n’y a recours que parce qu’elles permettent ou facilitent l’application des principes généraux de la mécanique au mouvement permanent des liquides. Les résultats auxquels elles conduiront devront donc en général subir des réductions que nous ferons connaitre successivement et dont la recherche est l’objet de l’hydraulique expérimentale. Remarquons toutefois que si les sections des réservoirs va-

ECOULEMENT. 569

riaient par degrés insensibles, si leurs orifices étaient convenablement évasés, si en un mot les appareils d’écoulement pouvaient être établis avec une perfection que la pratique ne comporte pas, mais dont elle doit sans cesse tendre à se rapprocher, les résultats théoriques seraient presque entièrement d’accord avec l’observation. Tel serait à peu près le cas des vases des figures 1 et 2, planche XL VIII.

Réservoir évasé entretenu au mime niveau (fig. 1, pl. XLV1II). Soient :

</M la masse de la tranche infiniment mince de fluide qui s’écoule constamment du vase MN pendant le temps infiniment petit dt ;

Il le poids du mètre cube de ce fluide;

A la section supérieure du bassin au niveau supérieur MN supposé constant ;

a la section de l’orifice inférieur supposée très petite par rapport à A ;

V la vitesse avec laquelle les filets fluides franchissent la section a;

II la différence de niveau entre MN cl le centre de la section a,-

P la pression extérieure par mètre carré qui pourrait être exercée sur la surface supérieure du fluide;

p la pression extérieure par mètre carré qui pourrait être exercée sur l’orifice a et qui s’oppose à l’écoulement;

\adt=z durée dt ;

gjTM

sera donc le volume de liquide écoulé pendant la

^ la vitesse de la tranche supérieure dont A est la section, en

vertu des conventions ci-dessus ;

dM sera la force vive de cette tranche en A;

V'JdM celle de la même tranche lorsqu’elle parviendra en a,t/M.V * (t — a—\ sera la force vive acquise par celle tranche.

Le travail qui a engendré celte force vive se compose de : HÿdM travail de la gravité ( voy . mécaniqub); de

I*A \ a __ pfly travail de la pression P; A n

enfin de

— pa\dl — — travail de la pression p.

(mécanique) pour l’équation des forces vives

On a donc

ECOULEMENT.

dM.V> (t - ~) = [2 gU + y (P -p)] d M ....(!)

d’où, divisant par d M, on obtient pour la vitesse V de sortie à la section a

Dépense. En multipliant celte vitesse V par la section a de l’orifice, on obtiendrait la dépense Q ou le volume de liquide qui s’écoulerait en une seconde

La formule (2) se simplifie toutes les fois que A est très grand par rapport à a; le dénominateur de la fraction sous le radical différant alors très peu de l’unité, on a avec une approximation suffisante

v = l/s» t’i + Trj «

- et ^ étant les hauteurs des colonnes de liquide qui produiraient les pressions P et p,

Si l’écoulement se faisait à l’air libre, on aurait P -=zp — pression atmosphérique et la vitesse deviendrait

C’est la relation démontrée pour la première fois par Torricelli (1644). Elle exprime que dans l’hypothèse du parallélisme des tranches la vitesse moyenne d’écoulement est celle que prendrait un corps libre en tombant dans le vide d’une hauteur H égale à la charge. On en déduit

II = ^ = 0m. 05097 V1 (6)

On appelle V vitesse due à la charge H, et H hauteur génératrice de la vitesse Y, et les relations entre V et II étant d’un fréquent emploi, il en a été dressé une table fort étendue que j’ai reproduite à la fin de cet article, d’après M. Navicr ( Architecture hydraulique) .

Pression en un point quelconque du réservoir (fig. 1, pl. XLYllI). Soit p' la pression inconnue par mètre carré à laquelle est soumise une tranche quelconque M'N' dont la section est O, pression qui se

ECOULEMENT. • 571

transmettrait aux parois du vase et les pousserait du dedans vers le dehors sur tout le contour de la section O. Conservant toutes les

notations ci-dessus et remarquant que la vitesse U' en O = —,

l’équation des forces vives appliquée à la masse constante comprise entre M N et M' N' donne facilement

la * a*

lô* Â*

on en déduit pour la valeur de la pression p'

p' = P-f- IIA' — n

ainsi, pendant le mouvement, la pression par mètre carré dans une section quelconque M' N' égale la pression extérieure P au niveau supérieur 31 N du liquide, augmentée de celle II A' qui est due à la hauteur de ce niveau au-dessus de la section M' N' et diminuée de celle que produirait une colonne d’eau d’une hauteur correspondante à la vitesse effectivement acquise entre 3! N et M' N'.

Si l’orifice de sortie était noyé (fig. 2, pl. XLVIII) d’une hauteur constante n sous l’eau d’un réservoir inférieur, il suffirait évidemment d’ajouter le double du travail négatif — gn. dM au second membre de l’équation (1); il en résulterait que les valeurs de la vitesse à l’orifice qu’on en a déduites, s’appliqueraient encore en y mettant simplement II — n au lieu de H.

Résumé théorique. On peut conclure de tout ce qui précède :

Que la vitesse théorique Y est celle qu’acquerrait un corps libre tombant d’une hauteur égale à la charge effective H ou (II — n) sur le centre de l’orifice a, s’il est infiniment petit (fig. 1 et 2);

Que la dépense théorique est le produit de cette vitesse par la section de l’orifice.

Coefficients de réduction. En comparant les vitesses et les dépenses données par les formules ci-dessus avec celles que' l’on déduit de jaugeages exacts, on obtient, pour les diverses formes et grandeurs d’orifice et sous diverses charges les nombres m ou coefficients par lesquels il faut multiplier les vitesses ou les dépenses théoriques pour avoir les vitesses ou les dépenses réelles.

Ces coefficients sont compris entre les limites extrêmes 1 et 0.5 qu’ils n’atteignent pas en général ; on les nomme coefficients de contraction lorsqu’ils expriment le rapport de la section contractée à celle de l’orifice réel, toujours plus grande, qui entre seule dans les formules, et coefficients de réduction lorsqu’ils portent sur la dépense.

579 ECOULEMENT.

Influence d'un rétrécissement brusque ( fig . 3 , pl. XLVIH). L’hypothèse de la continuité du fluide donne entre les vitesses U, v’, U' aux sections A, a’. A' et celle V qui a lieu à l’orifice de sortie a les relations suivantes en tenant compte des contractions là où elles ont lieu ,

ma V = AU = m'a'v' = A' U' d’où

ma V

Or, au passage d’un étranglement a', la tranche dM de fluide qui le franchit dans le temps infiniment petit dt y prend nécessairement une vitesse v ' plus grande que celle U' que possède en A' la masse M' comprise entre les sections a' et a. Un peu au delà de l’étranglement, elle perd brusquement contre la grande masse M' son excédant de vitesse [v' — U') ce qui donne lieu à des tourbillonnements qui (page 328) absorbent un travail exprimé par

la grandeur de M' par rapport à dM permet de négliger — en présence de l’unité, on a donc en général soit à retrancher du second membre de l’équation (1) qui renferme le double du travail des pressions, le terme :

dM (v' — U’), = m,aïVî ( -i- — -U*dM

soit à l’ajouter au premier membre ; ainsi, dans le système de la figure 3 I cquation du mouvement et l’expression de la vitesse V eu « où l’on suppose qu’une contraction a lieu deviennent