II' = 13.577 H

tout étant exprimé ici en millimètres linéaires superficiels ou cubiques.

Le coefficient K change rapidement avec la température t, et on a en général

Hp»

q— 1836.724 (1 -f- 0.0336793 t + 0.0002209936 ts) -r—.(59

ainsi à 45° la vitesse d’ccoulement est deux fois et demi plus grandi' que à 5 degrés.

Ces formules dues à MM. Poiseuille (savants étrangers) ne sont applicables que lorsque les tubes de verre ont une certaine longueur En général les lois de l'écoulement par les tubes capillaires sont

ECOULEMENT. 595

extrêmement compliquées., et je ne m’y arrête, en passant, que pour montrer combien sont vains et erronés les résultats déduits d’expériences hydrauliques faites à l’aide d'appareils plus ou moins capillaires, en tant que l’on voudrait les appliquer à la pratique.

Fluides élastiques ^vapeurs , gaz. Les équations du mouvement des fluides élastiques s’obtiennent à l’aide des hypothèses qui ont fourni celles des liquides. Il faut ajouter toutefois que la permanence du mouvement supposant que la densité et la pression sont toujours les mêmes aux mêmes lieux de l’espace, ce ne sont plus des volumes égaux mais bien des masses égales de fluide élastique qui passent à la fois par toutes les sections du réservoir. Enfin l'élasticité des vapeurs et des gaz donnant à ceux-ci la faculté de se détendre, ils franchissent les orifices avec une vitesse qui dépend non seulement de leur poids, niais surtout de l’excès de la tension qu’ils subissent dans les réservoirs qui les contiennent. La détente des gaz introduit donc dans l’équation des forces vives un terme de plus que nous allons calculer séparément.

Travail dû à la détente des fluides élastiques . Le fluide est emprisonné dans une enveloppe extensible de forme quelconque, renfermant un volume que nous désignons par v0 ; p0 est la hauteur d’une colonne d’eau qui produirait sur un élément da delà surface enveloppe la tension totale à laquelle il est soumis en effet. II est le poids du mètre cube d’eau , II pcda est l’effort qui agit au centre de gravité de da dans la direction de la normale à cet élément. En appelant dl la petite longueur interceptée sur celle normale entre deux situations successives de l’enveloppe ± II p0dadl sera le travail élémentaire sur da. L’on prendra le signe -f- lorsque ce travail se fera de dedans en dehors et le signe — dans le cas contraire. Le travail élémentaire sur la surface entière de l’enveloppe sera donc exprimé par

± Il p o J dadl — ± II p0 dv„ . . . (60)

en remarquant que rfc / dadl est l’accroissement élémentaire ± dv„ du volume primitif v0. On a donc pour le travail total T développé pendant le passage du gaz du volume v0 à un autre volume o à la pression p

±T = II/ podv0 . . . (61)

Vo

or la loi de Mariottc qui reste encore suffisamment exacte en pratique donne en supposant la température du fluide invariable

PV = P oV.i P a = -=-• • (62)

vo v yo

ECOULEMENT.

d’où

iT = ±n y* = ±nPv log. hyp.

= ±l\p0vB log. hyp. ( -) . . . (63)

Ainsi, quelle que soit la forme de l’enveloppe, quel que soit même son mouvement dans l’espace, on a pour le travail total en question

T = + Il p0v0 log. hyp. . . . (61)

lorsque le volume primitif «0 se dilate pour devenir v, et — T = — H pu log. hyp. = + H pv log. hyp. ^]-(65)

lorsque du volume v on le ramène au volume c„, pourvu que celle dilatation ou celte compression ne change point la température (Cohiolis, Traité de la Mécantque).

Vitesse de sortie d’un fluide élastique (fig. 8, pl. L). Soient mainte-

nant :

b la hauteur de la colonne de liquide qui fait équilibre à la pression atmosphérique ;

D le poids du mètre cube de ce liquide ;

T la hauteur de la colonne de ce liquide qui fait équilibre à l’excès de la tension intérieure dans le réservoir sur la tension extérieure 4;

t la hauteur de la colonne du même liquide qui fait équilibre à l’excès de tension de la veine de sortie sur la tension extérieure 4;

v0 le volume de fluide mesuré sous la pression intérieure (4+*) et qui sort par l’orifice a en une seconde.

La tension 4 -}~ T .à l’intérieur du réservoir étant supposée invariable, on admet qu'il entre par l’orifice d’admission O une masse de fluide précisément égale à celle qui s’échappe par l’orifice a;

v le volume que prend en sortant de l’orifice sous la pression 4 -H de la veine, le volume v„ qui traverse l’orifice ;

v le poids du mètre cube du fluide élastique sous la pression 4. Négligeant la force vive du fluide à son entrée dans le réservoir, c! qui devrait toujours être très faible, et admettant que la température reste invariable, on a, par la loi de Mariotte,

(& T) 9 Pour 1° p°Ws du mètre cube du fluide intérieur sous la colonne 4 -f- T ;

ECOULEMENT.

9 Pour *a ^cnsit® du m^mc fluide sous la pression b -J- l qui a lieu à la sortie;

— - — J «■ v0 sera le poids de fluide écoulé par seconde; ^ * j scra sa demi-force vive acquise ;

dt h étant la différence de niveau des orifices d’admission et de sortie

>ah sera le travail de la gravité, travail qui est

posilif ou négatif sui vant que l’orilice de sortie est situé plus bas ou plus haut que l’orifice d’admission, enfin d’après ce qu’on a vu cidessus (64) ;

D(* + T)«0loghyp^±3) la dilatation;

est le travail, toujours positif, de

On a donc, en ôtant les facteurs communs,

= ± 2 l0<? hyp (7+7) • • •

de sorte que la vitesse de sortie d’un fluide élastique qui passe d’un réservoir ou laprcssion totale par mètre carré est I) (b -j- T) dans un autre réservoir où cette pression est réduite à D (6 -j- 1 ), a pour expression, lorsque la température n’a pas varié

u = [/ 2 g j ± h + ^ log hyp (Vifîr) [' ' ‘ (67J

Poids du fluide élastique écoulé en une seconde. En appelant m le coefficient de réduction qui convient à l’orifice a, on a pour le poids P du fluide écoulé;

p = n r. m au . . . (68)

négligeant le terme ordinairement très faible ± h , remarquant que l’on a en générai

et que dés lors, quand A — T n’cxccdera pas de beaucoup b -f- 1,

ECOULEMENT.

on pourra faire

il vient pour le poids approché du fluide écoulé en une seconde, et pour la vitesse u

P — ma 1/ 2j®D (b + t)(T-t) > (71)

u = l/iiiLMT-*) . . . (72;

Valeur d'eau. Les formules ci-dessus s’appliquent assez bien à l’écoulement de la vapeur d’eau. On y suppose alors que l'excès de tension t qui a lieu dans la veine de sortie est celui que l’on observe dans la capacité où se rend la vapeur après avoir franchi l’oriflce a.

Air atmosphérique; machines soufflantes. On pourrait aussi les appliquer à l'écoulement de l’air, et en particulier à celui qui s’o-

G're par les buses des souffleries. Toutefois, la tension de l’air dans i machines soufflantes dépassant de fort peu celle qui a lieu au dehors, on fait généralement abslraction de la détente, cl l’on assimile l’écoulement à celui d’un liquide ayant la densité de l’air du réservoir, cl qui serait soumis à une pression égale à celle qui détermine en elfet son mouvement ; pression qui se mesure par le poids d’une colonne d’air à la densité 11 de celui du réservoir, ou gazomètre. Conservant les autres notations ci-dessus, on a donc facilement

D (b -{- T) pour la pression par mètre carré dans le réservoir ;

D (b /)pour celle de la capacité dans laquelle l’air débouche après avoir franchi l’orifice a;

D (T — /) pour la pression constante par mètre1 carré qui détermine son mouvement;

- pour la hauteur de la colonne d’air à la densité II qui

{iroduirait la pression ci-dessus. On a ainsi, de même que pour les iquides, la vitesse

cl le poids F d’air écoulé par seconde

T — ma / 2 g fl I) (T — t) = l\ . tn au . . . (7*)

ECOULEMENT. 599

si l'air s’écoule dans l’almosphèrc où la pression par mètre carré se réduit àDi,t devient zéro dans les valeurs ci-dessus, et l’on a simplement

P = tn a y/ 2 j II D T = II . mau . . . (76)

le poids du mètre cube d’air sec à zéro cl sous la pression d’une colonne de mercure = 0m.76 étant lk299, on a pour celui II de l’air à 9 degrés et sous la pression d’une colonne b -|- T du mémo liquide •

négligeant la dilatation du mercure et du tube de verre qui le contient, ou faisant sa densité constante et 13599kn-, on a lorsque le liquide manomélrique est le mercure

a = — irpri — ■ • ■ (,8)

Si l’on emploie l’eau comme liquide manomélrique, ce qui est souvent indispensable avec les ventilateurs, on convertira les colonnes d’eau E, e en colonne de mercure en les divisant par 13.599, ce qui donnera les valeurs de T en t à introduire dans les formules.

Valeurs des coefficients. On a pour le coefficient m d’après les expériences de M. d'Aubuisson, savoir :

m — 0.65 pour les orifices en mince paroi; m — 0.93 pour les ajutages cylindriques; m — 0.94 pour les ajutages légèrement coniques.

Ce dernier suppose que l’angle au sommet du cône ne dépasse pas 10 à 12 degrés. On n’a plus que 0.88 pour un angle de 28», et 0.80 pour un angle de 54°.

Observations. L’application de ces formules aux machines soufflantes exige qu’on observe préalablement la hauteur barométrique b et la température 0 de l’air du réservoir. Lorsque l’on n’aura ni thermomètre ni baromètre à sa disposition, on adoptera des valeurs moyennes b = 0m.75, Q =: 12° à moins que l’on ne souffle au vent chaud. On a ainsi, d étant le diamètre de la buse,

Il = 1.636 (0.75 -f T)

îî — (0.75 + T)

ECOULEMENT.

a = 0.785 d- ma = 0.7379 d 1

u = 403.6 [//073T;pr; P= 487.23 rf2 [/(0.75+T) T. (79)

Mesure de T. Quant à l’observation de T, elle ne présentera aucune difficulté dans le cas des trompes, parce que le mercure du manomètre placé sur la sentinelle y demeure absolument fixe et comme congelé lorsqu’elles sont bien réglées. Dans le cas des ventilateurs la tension se mesure par une colonne d'eau E, assez peu variable ordinairement, et qu’on traduira en colonne de mercure T. Ce n’est que sur les soufflets et sur les machines à piston surtout, qu’on éprouve quelque embarras par suite des oscillations quelquefois très étendues de la colonne mercurielle. Généralement, ces oscillations se partagent en trois temps distincts; l’un correspondant à une limite inférieure T, brusquement suivi d’un second temps très court pendant lequel la colonne acquiert pour un instant sa limite supérieure T.. et se réduit bientôt à une troisième hauteur T.. L’usage

a prévalu de prendre - — - pour la valeur de T , c’est à-dire une

moyenne entre la plus grande et la plus petite hauteur; mais cet usage n’est pas fondé, et il explique en partie les différences énormes indiquées par quelques auteurs entre les volumes d’air engendrés par le mouvement des pistons et ceux que fournit le calcul. On ne remarque pas que la hauteur Tl( presque immédiatement suivie de la hauteur T, est une variation Tu — T, due à une impulsion presque instantanée, et qui dès lors est double de celle qui'aurait lieu sous l’action d’une pression constante.

La colonne de mercure est ici dans le cas d’une barre élastique soufnise à un effort brusque. Il résulte de cette remarque qui me parait importante en ce qu’elle tend à concilier la théorie et l’observation que la valeur de T à introduire dans le calcul est

en supposant que les durées correspondantes aux hauteurs To et * (T , , — j— T,) sont égales. La valeur de T que l’on adopte généralement excède celle-ci de | (T,, — T,).

Enfin , j’insisterai sur la nécessité de mesurer les tensions sur toutes les machines soufflantes en un point aussi rapproché que possible de l’orifice a de la buse, et seulement lorsque cette buse est engagée dans la tuyère de son fourneau en feu, car cette circonstance modifie les tensions surtout pour les ventilateurs.

Vitesse à la tuyère. On peut admettre sans erreur notable que le poids d’air qui a franchi l'orifice a de la buse est égal à celui qui a

ECOULEMENT. 601

passé dans le fourneao à travers l’orifice ü de la tuyère. Toutefois les vitesses u et Y à ces deux orifices sont assez différentes, par suite du choc de la veine contre les parois intérieures du museau de la tuyère qu’elle rafraîchit. On obtiendrait la perte de force vive duc à ce choc utile en raisonnant comme on l’a vu pour les liquides, et en substituant dans tes équations qui s’y appliquent des niasses égales à des volumes égaux , et l’on parviendrait ainsi à la valeur de V. Si l’on remarque, cependant, que l’angle des tuyères) estj toujours beaucoup plus ouvert que celui des buses, que dés lors le coefficient m' est notablement plus faible pour les premières que pour les secondes, qu’on ne commettra pas une erreur sensible en supposant le rapport de ces coefficients égal au rapport inverse des densités de l’air dans la buse et dans la tuyère, on aura V en fonction de u avec une approximation probablement suffisante par la relation

c’est la vitesse avec laquelle l'air est lancé dans le fourneau.

Résistance dans les tuyaux d gaz. Lorsque l’on dispose sur une conduite d’air une série de manomètres, ils indiquent des accroissements de tension de l’aval vers l’amont. La loi de ces accroissements a été étudiée avec un très grand soin par M. d’zlwiut'Mon., et il résulte de ses expériences que si T’ et t' représentent les tensions à l’amont et à l’aval, en sus de la tension atmosphérique b, la différence T' — l' satisfait aux lois suivantes :

1° Elle n’est pas exactement proprortionncllc à la longueur L du tuyau comprise entre les points pour lesquels les excès de tension sont T' et l\ et l’on a (T — t') : L :: 281 : 305 ;

2° La moindre rapidité de l'accroissement a lieu vers le milieu de la progression, de sorte que si les longueurs étaient regardées comme des abscisses, et les différences de tension correspondantes comme des ordonnées, la courbe menée par les extrémités de celles-ci s’infléchirait en son milieu vers l'axe des abscisses (*);

(*) Dans le beau mémoire qu’il a consacré au compte rendu de ces expériences, M. d’.Juèiiisson recherche avec une sorte d’inquiétude, et sans jnrvenir à l’assigner, la cause de ce fait étrange qui s’est constamment reproduit dans toutes ses séries. On se demande s’il ne s’est pas manifesté ici un phénomène purement acoustique]? Les tuyaux de M. i'Aulmitson étaient en fer-blanc et par conséquent très minces; or on sait que des tuyaux longs et très minces manifestent une telle tendance à octavier qu’il est très difficile de leur faire rendre le ton fondamental qui serait en rapport avec leur dimension. S’il en a été ainsi les couches d’air situées vers le milieu de la longueur du tuyau pendant la vibration souore sont, entre tontes, celles qui ont dû éprouver la

602 ECOULEMENT.

3° Elle esl très sensiblement proportionnelle aux carrés des vitesses moyennes u de l’air dans le tuyau ;

4° Elle est en raison à peu près inverse du diamètre D des tuyaux.

Supposant l’accroissement (T1 — t') proportionnel à la longueur L parce qu’il en est à peu près ainsi, appelant d le diamètre de la buse à l’extrémité aval du tuyau près de laquelle lYxcès de tension sur celle de l’atmosphère est t', on a d’après M. d'AitAumon

, L rfk

Ldk+ 42 Dÿ

on ferait d= D dans ces formules, si au lieu d’étre terminée par une buse, la conduite était entièrement ouverte à son extrémité.

Influence des coudes dans les conduites d'air. L’augmentation de tension (T’ — <') que les coudes produisent en amont n’a pu être évaluée par M. d’Àuiimson. On lui doit cependant les observations suivantes :

Cette augmentation de tension est toujours considérable.

Sept angles de 45° ont réduit la dépense qui avait lieu sous t' aux trois quarts de la valeur qu’elle aurait eue sous l’excès de tension T'.

(T' — t') n’augmente pas proportionnellement au nombre des angles; cette différence diminue mémo quelquefois avec le nombre des angles. Ainsi, il a vu 15 angles réduire un peu moins la dépense que 7 angles de même grandeur.

Influence des étranglements. Aucune expérience n’a été faite, à ma connaissance du moins, sur les effets des étranglements. On en tiendra compte en assimilant les gaz aux liquides, et appliquant aux premiers les formules qu’on a trouvées pour les derniers en ayant égard aux observations qui suivent.

Application aux gaz des formules données pour les liquides. Lorsque les excès de tension que nous avons désignés par T, t, T' l’ seront mesurés par des colonnes de mercure dont les hauteurs ne dépasseront pas 0m.12 à 0“.15, on pourra appliquer aux gaz toutes les formules qui ont été données pour les liquides ; 1 ° en y substituant les

moindre variation de, densité par rapport h celles qui tes précédaient et les suivaient, et les manomètres placés vers le milieu de la conduite ont dit accuser les moindres variations de tension.

ECOULEMENT. 603

coef6cicn(s m m' qui conviennent aux fluides élastiques; 2° donnant à H les valeurs relatives à ces fluides exprimées en fonction de la pression à laquelle ils sont soumis, et de leur température 0 ; 3° égalant à zéro dans les termes qui expriment la résistance des parois, le coefficient a qui pour les liquides multiplie la première puissance de la vitesse; 4° donnant au coefficient jâ qui multiplie le carré de la vitesse, la valeur ji = 0.00315 qui résulte d'un ,grand nombre d’expériences; 5° remplaçant les termes P'pqui expriment les pressions superficielles exercées sur les liquides par ceux D(é-{-T) D (6 -f-/) qui expriment les mêmes pressions par mètre carré exercées sur les gaz; 6° négligeant les termes ±2 g H relatifs au travail de la gravité, à moins que (ainsi qu’il arrive dans les questions d’aérage de mines, de ventilation). In différence de niveau ± H entre les orifices d’entrée et de sortie ne soit très considérable.

Cet article n’est, au fond, qu’un résuméde la 6e section descahiers lithographiés de M. Poncelet, que mon illustre maître m’a autorise à prendre pour base de mon travail. — Je dois aussi quelques détails assez importantsà V Hydraulique et aux mémoires de M. d'Aubuisson, à la Mécanique de M. Coriolis, et aux notes de M. Navier.

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