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ÉCIlOlJIll un métal, c’csl le ballrcou le lamiuer à froid pour le rendre plus roule, plus dense et plus élastique. — Il perd ces qualités lorsqu’on le fait recuire.

ELLIPSE ( fig . 1 , />/. 1.1), courbe telle que la somme des distances

MF -f-Mfd’un point quelconque M de son périmètre à deux points fixes F, f est constante.

Définitions et notations. Les points fixes F, f sont les foyers de l’ellipse; AB est son grand axe =z MF-j- M/= 2 «; D D' = 2 b son petit axe ; A, B, D, D' sont les sommets des axes; C est le centre de l’ellipse; CF = C/ son excentricité -=c ; K K' double de l’ordonnée qui passe par un foyer f est le paramètre p de l’ellipse ; toute droite MM'" terminée de part et d’autre au périmètre et qui passe en môme temps par le centre C est un des diamètres de l’ellipse; si par le point M'" on menait une tangente à la courbe, puis par le centre C un diamètre M' M" parallèle à cette tangente, M' M" serait le diamètre conjugué de MM'".

Equations. L’origine des coordonnées étant au sommet A , on a facilement pour l’équation de la courre

a* y"1 = b* (2 ax' — x'J) ... (I)

L’origine étant au centre C, l’équation devient

aiyi -j- b7 x1 — a’i1 ou ~ -|- — = t . . . (2)

Il y a entre les abscisses x' comptées du sommet A et les abscisses® comptées du centre C la relation

La distance d’un foyer au centre ou l’excentricité c= CF —Cf est en fonction des demi-axes

Les distances », »’, des foyers f F à un point quelconque M de l’ellipse dont l’abscisse est x ou les rayons vecteurs de ce point sont respectivement

de sorte que si l’on désigne par z, z', les distances d’un môme foyer f aux sommets A et B du grand axe, on a

et comme (a — c) (o -f- c) = u5 — c’ on conclut de l’équation (4) i* = sa' ; h~ y TT' ... (7)

c’est-à-dire que le demi-petit axe est moyenne proportionnelle entre les deux distances d’un même foyer aux deux sommets À et B.

Le paramètre p = R K ' a pour valeur générale 2 6' 2 6.26 ^ a 2 a

il est une troisième proportionnelle au grand et au petit axe. Si l’on introduit celle valeur du paramètre p dans les équations (1 et 2) de l’ellipse, l’équation au sommet A devient

aX' “ • • ’ (®)

et celle au centre C

Equation polaire. La mécanique et l’astronomie exigent souvent que l’on rapporte l’ellipse à scs coordonnées polaires (fig. l). Soit alors v le rayon vecteur conduit d’un point M quelconque au foyer f situé du côté des x positifs; 8 l’angle \f M compris entre l’axe des X et la direction de e ; v' le rayon vecteur FM mené de l’autre foyer F au point M, c l’excentricité = y a* — 6* , e le rapport de cette excentricité au demi-grand axe, on a

a -(- c cos 0 1 -f- « cos 0

le pôle étant en / et les arcs comptés à partir du sommet voisin B. Si l’origine était à l’autre foyer F et que l’on continuât à compter les arcs 8 dans le même sens , il faudrait changer e en — e dans la valeur ci -dessus.

En désignant par s la distance f A — a-\-ae du foyer f au sommet A de la courbe le plus éloigné de ce point (6) on met souvent l’équation ci-dessus sous la forme

| cos 0

e SK

Normales, tangentes {fig . 1). Pour un point quelconque M dont x' ou x est l’abscisse, suivant que l’on compte les abscisses du sommet A ou du centre C, on a {Voyez Courbes)

sous-normale = PI = - (o — x’) = — x. . . (14)

normale = MI

sous-langcule = PT —

2 ai1

tangente = MT

Si à la sous-tangente TP on ajoute CP ou (n — x'), on a pour la distance du centre C au point T ou la tangente de M rencontre le grand axe