CT

Rayon de courbure. Comme dans les autres sections coniques, on pour le rayon de courbure p au point quelconque M (fig. l), — MI étaut la valeur (15) de la normale à ce point

(normale) »

(demi-paramètre)’ J- P5

L’expression suivante du rayon de courbure p de l’ellipse ne figure point dans les ouvrages élémentaires publiés en France, v v1

étant les distances respectives (5) du point quelconque M au* foyers, on a

t/ (nul)»

faisant successivement x' — 0 et x' = a, on obtient pour les rayons dp courbure p' p" aux sommets du grand et du petit axe

L’aire A de l’ellipse est le produit des deux demi-axes par le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre

A z=z n . ab . . . (23)

Propriétés principales de l’ellipse. L’équation (1) au sommet pouvant être mise sous la forme

montre que le carré d’une ordonnée quelconque PÎSf au grand axe (fig. 1) est au produit PAX1*B des deux abscisses x' (2 a — x') comme le carré du petit axe (2 bf est au carré du grand axe ( 2 a )2. Si l’on prend le petit axe D ü' pour celui des x' et le grand axe pour celui des y , on trouve encore que le carré d’un y est au produit des distances de son pied aux sommets D, D' comme le carré du grand axe est à celui du petit axe.

Pour un autre point dont le pied de l’ordonnée y, aurait pour distances aux sommets A cl B les valeurs xt cl (2 a — x, ) on aurait encore

donc les carrés de deux ordonnées quelconques sont entre eux comme les produits des distances du pied de ces ordonnées aux deux sommets

La même proposition a lieu, mot pour mot, si l’on prend le petit axe pour celui des abscisses et le grand axe pour celui des ordonnées. •

Si du centre C d’une ellipse (fig. 2, pl. LI) et avec le rayon CA = a on décrit un cercle et qu’on compare son équation* au centre avec celle de l’ellipse, on trouve que les ordonnées s du cercle circonscrit et celles y de l’ellipse correspondantes à une même

abscisse x spot entre elles comme le grand axe 2 a et le petit axe 2 b de l’ellipse

Si l’on opère de môme, en employant b pour rayon et qu'on prenne les ordonnées s' y' parallèles au grand axe A B = 2 a, on a

Si par un point quelconque K de l'ellipse {fig. 3) on prqjonge la droite FR tirée de l’un des foyers F jusqu’à ce que son prolongement KG soit égal à la distance K f de l’autre foyer (en d'autres termes si par F et K on mène une droite FG = 2 a), enfin si du point K on mène KT" perpendiculairement à f G, KT" sera tangente d l’ellipse en K, et lv I perpendiculaire à T' T" sera normale au même point K.

On en conclut facilement que :

Les droites KF=»', K/=v qui vont d’un même point K de l’ellipse à chacun des foyers forment avec la tangente T' T" en K des jgigles égaux *

FKT' = /-RT" . . . (28)

Et l’expérience ayant appris que les rayons lumineux qui tombent snr une surface polie se réfléchissent suivant un angle de réflexion égal à celui d’incidence, on voit que les rayons émanés de l’un des foyers d’une ellipse (ou d’un ellipsoïde de révolution; se croiseront tous à l’autre foyer après la réflexion.

Si l’on mène par le point K une perpendiculaire KO à la tangente T' T", la normale Kl divisera l’angle F K/- en deux parties égales.

Deux ellipses qui ont le même centre et leurs axes dans les mêmes directions ne peuvent être ni équidistantes ni parallèles.

Il en résulte que si l’intrados d’une voûte est elliptique et que le bandeau ait une largeur constante , la courbe d’extrados ne saurait être une ellipse. Les plans de joint normaux à l’intrados ne sont donc point normaux à l’extrados.

L’expression (16) de la sous -tangente PT ne renfermant que l’#bscisse et le grand axe, on peut en conclure {fig. 2) que si l’on mène une tangente TV au cercle décrit sur le grand axe A B au point V où ce cercle est rencontré par l’ordonnée PM à l’ellipse, les tangentes VT, MT aboutiront au même point T sur l’axe, car PT sera toujours le même tant que a et a; ne varieront pas.

Doue, toutes les tangentes aux points correspondants de toutes les

ellipses décrites sur un môme grand axe AB se rencontrent au môme point T.

La droite TC (fig . 6) menée par le sommet T d’un angle lit' circonscrit à une ellipse et par le centre C de cette courbe divise la corde de contact tl’ en deux parties égales.

Le sommet d’un angle droit dont les côtés seraient constamment tangents à une ellipse décrirait un cercle.

Si des foyers d’une ellipse, on conduit des perpendiculaires à une tangente à ta courbe, le produit de ces perpendiculaires sera égal au carré du demi-petit axe.

Les ordonnées n à un diamètre quelconque OE (fig. 4) jouissent de propriétés semblables à celles des ordonnées aux axes AB=2a, DD' = 2 b. Ainsi l’équation de l’ellipse par rapport à deux diamètres conjugués quelconques OE, NS est semblable à celle que l’on a à l’égard des deux axes principaux; prenant l’origine au centre C, faisant OE = 2 R, NS =: 2 r, Cm = m; mn = n on a pour l’6-v quation au centre ^

On démontre facilement à l’aide de cette équation, que ;

Tous les diamètres de l’ellipse se coupent au centre en deux parties égales.

Chaque diamètre EO de l’ellipse coupe en deux parties égales les parallèles à la tangente ET" qui passe par son origine E.

La tangente à l’extrémité N ou S du diamètre NS est parallèle au diamètre EO.

Les ordonnées n au diamètre EO sont celles du cercle qui aurait EO pour diamètre, mais diminuées ou augmentées 'dans le rapport de R à r et inclinées sous un angle égal à celui des diamètres conjugues.

Si l’on veut savoir en quel point de l’ellipse les deux diamètres conjugués peuvent être égaux, on fera

Les parallélogrammes T T' T" T"' (fig. 4) construits sur les diamètres conjugués sont équivalents au rectangle des axes; a étant l'angle compris entre les deux diamètres conjugués 2 R, 2 r, on a donc

R r sin a = ab. . . (31)

La somme des carrés de deux demi -diamètres ou rayons conju-

gués R , r est constante et égale à la somme des carrés des deux demi- axes

ajoutant d’une part celle relation (3-2) avec la précédente (31), retranchant d’autre part la première équation de la dernière, on obtient les valeurs suivantes

a -f- b ~ y R* -j- r* -|- 2 R r sin a

« — b — y II* r’ — 2 R r siu a

qui donnent les axes d’une ellipse, lorsque l’on connaît deux diamètres conjugués et l’angle qu’ils forment entre eux , car on en tire immédiatement

2 a — y R* -j- r* -f- 2 R r sin a l/R* -f- r* — 2 R r sin a

2 b = J/ R* -f- r’ -|- 2 R r sin a — y' R1 -|- r* — 2 R r sin a

Si dans un cercle on fait rouler un autre cercle d’un diamètre moitié moindre, un point quelconque pris dans le plan de ce dernier décrit, dans son mouvement, une ellipse dont les demi-axes sont égaux, l’un à la plus grande et l’autre à la plus petite distance de ce point à la circonlérencc du cercle roulant.

Tracés, Les demi-axes a et b étant connus, on peut tracer l’ellipse par l’un des moyens suivants, savoir :

Par points, en calculant d’après les relations (1 ou 2) et construisant les valeurs de y correspondantes à des valeurs de x ou x1 que l’on sc donne à volonté.

Soit par exemple a — 10, b — 6 , prenons x’— 4 il vient pour la valeur correspondante de y en partant de l’équation (1) au sommet

V ~ ± To |/ 2 X 10 X 4 — 16 =± 4.8

Le double signe indique pour le point x' — 4 deux ordonnées, l’uno inférieure et l’autre supérieure, égales chacune à 4.8. Si l’on eût employé l'équation (2) au centre, x eût représenté

et pour le même point, x étant négatif, on aurait eu comme cidessus .

y — ± il l/tOO - 36 = ±: *-8

Autre tracé. On peut encore décrire du centre C ( fig 2) un cercle sur le grand axe 2 a, diviser sa circonférence en parties qu'il est plus simple de prendre égales, abaisser de chaque point de division V des çrdonnées ou sinus j=V1’ sur le grand axe, puis prendre pour la valeur des ordonnées correspondantes 1*M de l’ellipse, ou les y en vertu de la relation (26)

On pourrait opérer de même en prenant le petit axe 2 CD pour diamètre, les ordonnées y' de l’ellipse parallèles au graud axe deviendraient alors (27)

On obtient ainsi un nombre indéfini de points de l’ellipse par lesquels on fait ensuite passer une courbe continue, ou que l’on réunit par des droites lorsque l’ellipse est très graude. Les tables données à l’article sinus facilitent beaucoup l’application de celte méthode aux grandes épures.

Le tracé suivant est préférable sur le papier (fig. Si). Sur une droite ca portez le demi-grand axe a de c en a et le demi-petitaxe h de c en b ; lirez les perpendiculaires indéfinies AB, DD'; sur les cèles des angles droits formés par ces perpendiculaires, faites mouvoir la droite ac de telle sorte que ses points ab soient constamment sur les axes et le point c de la droite fournira autant de points c c' c" de l’ellipse que cette droite prendra de positions différentes; on fera alors passer une courbe continue par les points c c' c" DA.

mnp étant l’une des positions quelconques de la droite cba, les triangles semblables Cm», pno donnent

Cn : no mn : np d’où l’on tire Cn n o : n o m n n p : np oui: y/ b ' — y* a : b et

a> p — Px1 -f «y

expression qui est l’équation (2) de l’ellipse au centre.

Compas à ellipse. La démonstration ci-dessus justifie le principe d’après lequel est construit le compas à ellipse ordinaire (fig. 5) et qui permet de tracer cette courbe avec continuité. L’instrument se compose essentiellement de deux coulisses AB, DD’ dans lesquelles glissent avec aisance deux coulisseaux ab assujettis avec des vis dans la fente d’une alidade abc, le pointe de l’alidade porte une douille munie d’un crayon ou d’un pinceau chargé d’encre de Chine. On

dispose les coulisseaux et l’alidade de manière à avoir «c=:a=demigrand a\c et bc = b=z demi-petit axe.

Etant donnés les deux demi-axes a b, trouver les foyers F (. c étant la distance d’un lover au centre, on a (4)

CF j=z Cf — c = y o» — t'

On peut encore de l'extrémité D du petit axe (fig. 1) et, avec un rayon égal au demi-grand axe a, recouper le grand axe par un arc deccrclc<jui donnera ainsi F et f.

Les foyers F f étant connus, on peut les faire servir au tracé de l’ellipse (fig. 1).

Sur le papier , on prendra une ouverture quelconque de compas FM < grand axe 2 «; de l’un des foyers, F par exemple, on décrira un arc de cercle; de l’autre foyer f avec une ouverture de compas f M =^2a — FM on décrira un second arc qui recoupera le premier en deux points M M’ qui appartiennent à l’ellipse dont on trouvera ainsi tant de points qu’on voudra.

Sur le terrain, on fixe deux piquets aux foyers F f, on enfile sur ces points fixes les extrémités d’une ficelle terminées chacune par une boucle qui tourne librement sur les piquets; on donne à la ficelle une longueur égale au grand axe, puis avec un traçoir qu’on fait glisser en même temps qu’il maintient les ficelles également tendues, on trace les courbes. Ce procédé réussit assez bien sur le papier en remplaçant les piquets, la ficelle et le traçoir par des aiguilles, un fil de soie et un crayon.

Lorsque les axes d’une ellipse sont peu différents l’un de l’autre, on remplace cette courbe par celle dite anse de panier; mais il importe de remarquer que l’anse de panier ne jouit point des propriétés géométriques de l’ellipse.

Tangentes, normales. Pour conduire une tangente et une normale à la courbe en un point donné K {fig. 3), menez d’un foyer F et par le point K la droite F KG = 2 a=grand axe, ou faites KG = /"K distance de K à l’autre foyer /. Joignez / G et menez KT" perpendiculaire à f G. On peut aussi diviser l’angle /KG en deux parties égales, la bisectrice T' T" sera dans les deux cas tangente en K à l’ellipse.

La droite Kl perpendiculaire en K à la tangente Tf T1' est normale à la courbe en K.

Rayon et centre de courbure. Nous avons donné ci-dessus les valeurs générales (20, 21) des rayons de courbure de l’ellipse. Voici un procédé graphique pour déterminer les centres et rayons de courbure des sections coniques. Ce procédé fort peu connu est attribué à Keil, géomètre anglais, mort en 1718.

K (fig. 3)élant le point dont on veut obtenir le rayon decourtturep, on mène une normale indéfinie KO par co point, puis du même point K et par le foyer voisin f on conduit une droite quelconque KQ. Par le point l où la normale rencontre le grand axe, ou mène une perpendiculaire IQ à cette normale, puis par le point Q où cette perpendiculaire rencontre K fQ, on élève une perpendiculaire QO à celte droite, le point O où elle rencontre la normale est le centre de courbure ; OK est le rayon de courbure p du point K.

Par un point extérieur T (fi g. 6, pl. LI) mener des tangentes à l’ellipse. Du point T comme centre et de sa distance T F au foyer voisin F comme rayon, décrivez un arc t F o; recoupez cet afc en t et o de l’autre foyer f comme centre, et d’un rayon égal au grand axe. Menez les droites fi, fo; ces droites détermineront par leurs intersections t, t' avec l’arc elliptique des points t, t' qui appartiennent aùx tangentes Tf, T/' menées du point donné T.

Mener d l'ellipse (lig. 6) une tangente parallèle à ithe droite donnée MN. Du foyer voisin f menez une perpendiculaire indéfinic/Â à la droite donnée MN; de l’autre foyer F comme centre et d’un rayon = grand axe, recoupez cette perpendiculaire en A; tirez FA, l’intcr- «eclion I de cétte droite avec l’ellipse est le point de contact Je la tangente parallèle à M N, tangente qui passe aussi par le milieu m de fX. Le problème a évidemment une autre solution et il y a une autre tangente opposée qui satisfait à la question.

ENGRENAGES. Le fond de cet article appartient presque en entier à M.' Robert Wdhs , professeur à l’Université de Cambridge , et il forme une des parties les plus importantes de scs Principles of Mechanism , auxquels j’ai déjà emprunté l’article Bibu.k. Cet ouvrage n’ayant pas encore été traduit, je me suis trouvé obligé d’entrer dans des développements hors de proportion avec l’étendue de mon Aide-Mémoire ; j’espère toutefois que l’importance pratique du sujet, que les points de vue nouveaux sous lesquels M. Willis l’a souvent envisagé, excuseront une prolixité que j’aurais évitée s’il m’eût été permis de renvoyer le lecteur à l’ouvrage original.

L’ordre que j’ai suivi dans cette exposition est le suivant :

1° Considérations préliminaires sur le roulement et le glissement et sur les vitesses angulaires simultanées des pièces tournantes qui se conduisent par contact immédiat;

2° On en déduit des théorèmes généraux et les conditions auxquelles lesiystémes tournants doivent satisfaire;

3° On se trouve ainsi conduit à cinq solutions théoriques du problème des engrenages;

4° On montre l’application successive à la pratique de chacune de ces solutions ;

5° On remplace les tracés rigoureux par un tracé à l’aide d'arcs de cercle, fondé sur les principes qui ont été développés.

Roulement et glissement. Soient (fig. i, pl. LII) deux pièces BD, AC qui se conduisent l’une l’autre par contact immédiat, en tournant respectivement autour de leurs centres de rotation B et A , et soit M leur point de contact à l’origine du mouvement. En passant de cette première position à celle qui est ponctuée, les points p de A et n de B sont parvenus au contact en M\ Ce mouvement n’a pu avoir lieu sans que chacun des points de l’arc Mp de l’nnedes courbes ail été successivement en contact avec l’un quelconque des points de l’arc Mn de l’autre courbe. Si la nature de ces courbes, supposées continues, est telle que les arcs M p, Mn soient inégaux, il y a eu nécessairement glissement le long d'un chemin égal à la différence des arcs; si au contraire M/> = Mn, aucun glissement n’a eu lieu et le mouvement s’est transmis par le roulement des arcs l’un sur l’autre.

Rapport des vitesses angulaires instantanées. A, B (fig. 2, pl. LII) étant toujours les centres de rotation des courbes, soient P et Q les centres de courbure ou PM, QM les rayons osculatcurs de ces courbes au point de contact M actuel. PQ sera nécessairement une droite, normale en M aux deux courbes, et égale à la somme des rayons de courbure. Si l’on suppose que, pour un mouvement infiniment petit du système, cette droite reste constante, et si l’on joint par une droite A B les centres de rotation des pièces, on aura entre les vitesses angulaires simultanées V, V2 des pièces A, B et pour la durée infiniment petite du mouvement de ces pièces la relation très simple

V, : v, :: BT : AT

T étant le point d’intersection de la ligne d’action ou de poussée PQ avec la ligne des centres de rotation A B.

En effet, soit (fig. 3, pl. LII) A/xjB la position, infiniment voisine de la première, prise par le système des droites de la figure 2 en vertu d’un mouvement infiniment petit des deux courbes; menant des centres A, B de rotation, ainsi que des nouvelles positions pq des centres P Q de courbure, des perpendiculaires AR, pm, BS, qn à la direction primitive de Id droite PQ dont la grandeur est supposée constante, on retombera ainsi dans le cas du mouvement virtuel d’une biellb PQ articulée en PQ et conduite par des bras AP, BQ. Comparant le triangle A RP au triangle infiniment petit Ppmet remarquant que pour un mouvement virtuel P p est perpendiculaire à AP, Pm à AR et que l’on a dès lors angle pPm = PAR, il vient :

P P : Pm :: AP : AR

on aurait de môme entre Qqn et BQS

Qn : Qq :: BS : BQ

enfin l’on aurait encore entre les triangles A RT, BST rectangles en S et R

AT : BT :: A R : BS

Multipliant ces proportions par ordre, remarquant que pour un mouvement virtuel Qn = Pm puisque PQ est constant, il vient

= V, : ^ = V, :: BT : AT :: BS : AR

Ai y

Ainsi les vitesses angulaires instantanées de deux courbes qui se conduisent par contact immédiat sont entre elles , réciproquement, comme les segments de la ligne des centres de rotation, déterminées par Pintersection de cette ligne avec la normale commune aux deux courbes en leur point de contact , ou réciproquement comme les perpendiculaires menées des centres de rotation à la direction de cette normale.

Déterminer rétendue du glissement. Soient toujours (fig. 4, pl. LII) A, B les centres de rotation de deux pièces quelconques qui se conduisent par contact; BM, Am la position de ces pièces à un instant quelconque du contact; MD la normale commune en leur point de contact M; Bm, Am les positions des pièces dans une situation du système infiniment voisine de la première ; m le nouveau point de contact; p, n les points des pièces A et B qui étaient au contact en M. Joignez leypoints p et n. Pour un mouvement infiniment petit, pn serait une droite perpendiculaire à la normale commune MD, elle serait la différence mp — mn des arcs qui ont passé l’un sur l’autre, et elle exprimerait l’étendue du glissement. De même, pour un mouvement initial, Mp serait une perpendiculaire à AM et Mn à BM; on a donc

pn tin p M n fin BM A sin (BAM -f- ABM)

pM siu p n M «in D M B sin D M B

On aurait de même pour l’autre pièce B

pn sin BM A

nM sin D M A

Ainsi pour chacune des pièces Parc du glissement est à Parc parcouru par le point de contact comme le sinus de la somme des angles , compris entre la ligne des centres et les rayons de contact , est au sinus de Pinclinaison de la normale en M sur le rayon de contact de l’autre pièce.

Tirant des expressions ci-dessus les deux valeurs de l’arc de glissement pn, on voit que cet arc ne peut devenir nul, pendant le mouvement, qu’à la condition d’avoir toujours

sin BMA = sin (BAM -f- ABM) = 0

Ainsi, les courbes ne peuvent se conduire par roulement, et sans glisser l une sur l’autre, qu'autant que les rayons vecteurs du point de contact coïncident avec la ligne des centres.

Or, lorsque cette condition est satisfaite, la normale commune PQ ( fig • 2) aux deux courbes coupe la ligne des centres au point de contact qui devient T, donc :

Lorsque deux courbes se conduisent, en roulant sans glisser l’une sur r autre, les vitesses angulaires sont réciproquement comme les distances du point de contact aux centres de rotation.

Si les courbes sont des développantes de cercle (fig. 5), menant B D perpendiculairement à la normale commune M D, et remarquant que pour une développante cette perpendiculaire est constante, on a en faisant BD = r= 1

BD = BM. sinDMB; sin DMB = —

BM

d’où l’on voit que le rapport

pn BM. sin BMA BN

pM r r

de l’arc du glissement pn à l’arc décrit par le rayon vecteur AM du • point de contact M croit pour la pièce A comme la perpendiculaire B N menée défaut re centre de rotation sur le prolongement de ce rayon vecteur.

Les courbes étant, savoir (fig. 6) : une épicycloÏde tournant autour du centre A et une droite tournant autour de B, l’angle DMB devient droit et le rapport

z= sin BMA = sin (BAM -f- ABM)

croit comme le sinus de BMA ou comme la distance du point de contact à la ligne des centres.

Deux cercles , ou plutôt deux cylindres (fig. 7, pl. LII), qui se conduisent mutuellement par l’adhérence de leurs surfaces convexes en tournant autour de leurs centres ou axes jouissent au contraire de la double propriété d’avoir toujours leur point de contact sur la ligne des centres et de rouler l’un sur l’autre sans glisser. Les vitesses angulaires V, , V, de chacun d’eux sont donc réciproquement comme

les rayons R2 R, de ces cercles et ces rayons étant constants le rapport des vitesses angulaires est lui-même constant. Aucune antre courbe que le cercle ne satisfait à la fois à toutes ces conditions, aucune dès lors ne conviendrait mieux à la transmission du mouvement par eontqct immédiat, si dans le cas d'efforts assez faibles les surfaces convexes des cylindres ri échappaient pas.

Quoi qu’il en soit, il convient d'étudier ce mode de transmission de mouvement dont la pratique offre d'ailleurs des applications.

Trois cas principaux sc présentent : les vitesses angulaires des deux axes étant connues ou fixées d’avance, aiusi que les situations de ces axes, le mouvement se transmettra sans glissement d’un axe à l’autre et dans un rapport constant par l’un des systèmes suivants :

1er Cas. Si les axes sont parallèles [fig. 7) on partagera leur distance AB en deux parties TA = R1, TB = R2 qui soient dans le rapport inverse des vitesses angulaires V,, V2, et l’on montera sur ces axes des tambours ou cylindres dont les surfaces convexes se* ront revêtues de cuir de buffle, de cordes plates, etc.; N, N2 étant alors les nombres de tours accomplis dans un même temps par l’une et l’autre roue, T,, T, les durées respectives d’un même nombre de révolutions pour chacune , on aura en vertu des théorèmes ci-dessus et en remarquant que des longueurs égales de chacune des circonférences traversent la ligne des centres dans un même temps

2e Cas. Si les axes de rotation ne sont pas parallèles mais sont compris dans un même plan (fig. 8) , A étant le point d’intersection de ces axes ÀB, AC, dont les vitesses angulaires doivent être respectivement V,, V2, on mènera par un point quelconquep île l’un d’eux AB et dans leur plan une parallèle indéfinie DF à Tflutre axe AC ; on prendra sur celle parallèle une distance DF telle que l’on ail