J) F V, AD
menant alors une droite indéfinie AG par A et F, puis d’un point quelconque de AG des perpendiculaires G B, GC aux axes de rotation AB, AC, on formera ainsi deux triangles rectangles. La rotation de ces triangles autour de leurs axes respectifs AB, AC engendrerait deux cônes droits qui sc conduiraient mutuellement par l’adhérence de leurs surfaces convexes comme les cylindres du premier cas, c’està-dire qu’ils rouleraient l’une sur l’autre sans glissement, et que leurs vitesses angulaires seraient dans un rapport constant et égal au rapport inverse de deux rayons quelconques de contact, et par conséquent dans le rapport inverse des rayons II, , R2 des bases de chacun des cônes.
En effet les triangles de la figure donnent facilement
DF sin DAF sin DAF BG R, V,
AD sin AFD sin FAC CG R, V,
Angles au sommet. Cette relation donnerait immédiatement la -valeur des demi-angles DAF = a, F AC = (6 — a) aux sommets des cônes, en fonction de l’angle connu BAC = ô des axes et du rapport
donné — des vitesses angulaires, car de
sin DAF sin a V,
sin FAC sin (0 — a) V,
l’on déduit la relation
sin 0
tang % =
ÿj + cos 0
Lorsque l’angle 0 des axes est droit, on a simplement
tang a = —
Dans la pratique, on limite les cônes roulants A B , AC (fig. 8) à deux troncs d’épaisseur suffisante B6, Ce en contact suivant une partie G a de leur commune génératrice que l’on peut évidemment prendre à une distance quelconque A a de l’intersection A des axes sans que le rapport déterminé des vitesses angulaires en soit altéré. La distance A a, ou ce qui revient au même la grandeur des rayons moyens R,, Ra, se détermine donc par des considérations d’emplacement, de résistance, etc. On oppose ordinairement aux troncs B4, Ce, deux autres troncs de cônes dont les sommets sont situés à la fois sur les directions des axes respectifs AB', AC' et sur une perpendiculaire B' GC' à la génératrice commune AG menée par le point de contact G des plus grandes bases.
3e Cas. Si les axes de rotation Au, B b (6g. 9, pl. LU) ne sont pas compris dans un même plan, où s'ils ne peuvent se rencontrer , le moyen le plus simple et le plus exact de transmettre le mouvement, par contact, de l’un à l’autre, consiste à joindre par une droite CD des points convenables mais arbitraires CD de la direction des axes; à disposer suivant cette droite un troisième axe CD qui donne ainsi naissance à deux systèmes analogues à celui du 2e cas. On monte sur l’axe CD une roue doublement conique EF, et Ya v V, étant les vitesses angulaires respectives des axes A a, CD, B b, on a évidemment :
V2Ra = ür2; ^, = ¥,8,
v, rjR,
relation qui montre que, dans le cas où les rayons r, , r2 des troncs de la pièce intermédiaire EF sont égaux, les axes B A, A a se transmettent leurs vitesses angulaires suivant le rapport inverse de leurs rayons, de sorte que
comme si EF n’existait pas , et comme si leurs cônes roulaient immédiatement l’un sur l’autre.
Engrenages. L’adhérence des surfaces cylindriques ou coniques des systèmes précédents est généralement trop faible pour transmettre le travail de l’une des roues à l’autre, et il devient presque toujours indispensable d’armer chacune de ces surfaces de saillies ou dents (fig. 1 , pl. LIU) séparées par des creux dans lesquels s’engagent les saillies ou dents de l’autre roue. C’est à ce système de transmission qu’on a donné le nom d'engrenage.
Dents des roues; définitions. La saillie adge et le creux chib des dents (fig . t, pl. LUI) se comptent respectivement en dehors et en dedans du cercle AB qu’on appelle cercle primitif; les cercles primitifs de deux roues qui engrènent Sont précisément ceux qui se conduiraient, en roulant l’nne sur l'autre, avec les vitesses angulaires dont les roues dentées jouissent en effet. C’est toujours sur les circonférences primitives que s’opèrent les divisions des engrenages. ac est Y épaisseur de la dent, elle se mesure sur la circonférence primitive ; ef sa longueur, mesurée suivant le rayon ; kl sa largeur, qui se mesure parallèlement à l’axe de la roue. Les parties ch, ib du contour d’une dent, intérieures au cercle primitif, sont les flancs de la dent; les parties ad, cg, extérieures au cercle primitif, en sont les faces. La face d’une dent conduit le flanc de la dent de l’autre roue* et réciproquement. Enfin a b est le pas de l’engrenage, il est toujours le mémo pour l’une et l’autre des roues qui marchent ensemble et égale pour chacune d’elles à Y épaisseur ac de sa dent, augmentée de celle de la dent de l’antre roue et du jeu qui dans les roues bien faites ne dépasse jamais tj du pas. Des longueurs égales prises sur l’une et l’autre des circonlérences primitives des deux roues qui engrènent contiennent donc chacune un même nombre de dents, et traversent dans un même temps la ligne des centres. 11 en résulte que si N, , N2 sont les nombres de tours de chacune d’elles dans un même temps , R, , B2 leurs rayons primitifs, V,, V, leurs vitesses angulaires, D, , D,
le nombre de dents dont elles sont armées, T,, T2 les durées respectives d’un même nombre de révolutions on a
Dimension* des dents, e étant l’épaisseur de la dent mesurée sur la circonférence primitive, l sa largeur, s sa longueur, P l’effort en kilogrammes exercé sur l'une d’elles, on fait habituellement, d’après M. Poncelet.
e — 0”. 00105 ; l — \ e pour dents en fonte;
e = 0m.001 31 \Z~V-, l ~ 5e... en cuivre ou bronze;
e = 0m.00183 j/"p ; l = 6e . . . en bois dur;
* = - e au plus.
Si les dents d’une roue étaient en bois et celles de l’autre roue en fonte, on donnerait à chacune l’épaisseur déterminée par les formules ci-dessus et une même largeur.
Les coefficients de y/T” supposent qu’il n’y a pas de choc. L’expérience a prouvé que, dans les machines soumises à des chocs, le bronze, à section égale, et même le bois, pourvu qu’il soit humide, résistent mieux que la fonte.
Du pas de l’engrenage. Le pas p est un arc égal à la somme des épaisseurs des deux dents qui engrènent augmentée du jeu, qui ne doit pas iui-même excéder le ^ de l’épaisseur de la dent; on a donc habituellement, lorsque les dents sont d’épaisseur égale sur chaque roue
et pour le cas des engrenages en fonte dont on fait généralement usage aujourd’hui.
Mais il est plus convenable d’exprimer ce pas p en fonction du travail T à transmettre, du nombre de dents d de la roue et du nombre «de toursqu’elle accomplit par seconde. Remarquant que cir-
conférence primitive, npd — chemin parcouru en une seconde par un point de cette circonférence, on a
d’où l’on tire en vertu de la relation ci-dessus
V nd
R,,R2 étant les rayons primitifs des deux roues qui se conduisent, p le pas qui leur est commun, c„ c, les cordes respectives de cet arc sur l’une et l’autre roue
et
seront les fractions des circonférences embrassées par le pas p sur chacune d’elles; on aura leur valeur en degrés en les multipliant par 360°, et à l’aide de la table des sinus naturels on calculera les valeurs absolues des cordes
c, = 2 R, sin J J J c2 = 2 R2 sin i c, = 2 R, sin f 28.6479 ~Y c2 = 2 R2 sin
qui servent à la division des circonférences primitives.
Tracé des dents. Supposons d’abord que les axes de rotation soient parallèles entre eux; les vitesses angulaires simultanées étant en raison inverse des segments de la ligne des centres, déterminés par l’intersection de cette ligne avec la normale commune au point de contact, il suflira que cette normale commune passe toujours par le môme point de la droite des centres pour que le rapport des vitesses angulaires demeure constant pendant toute la durée du mouvement. On satisfera à celte condiliou essentielle par l’une ou l’autre des méthodes suivantes ;
Première solution (fig. 2 pl. LUI). La distance AB des axes étant connue, divisez cette distance cft deux parties AT = R ,, TB = R5, telles que ces rayons primitifs soient dans le rapport inverse des vitesses angulaires V, , V2 qu’on veut obtenir
