F G RS

car — et — sont les cosinus de ces angles et ces fractions sont F D RQ

égales puisque leurs dénominateurs sont égaux et que leurs numérateurs sont chacun la différence de deux mômes lignes.

La formation de la courbe PRQ est donc toujours possible avec la condition précitée; et c’est ainsi, par exemple, que l’on trouverait ( fig . 7) que la courbe qui roulant sur une droite AB engendrerait une autre droite AP serait une spirale logarithmique QR dont P serait le pôle.

Application. Les planches LIV à LXII montrent l’application de ces diverses méthodes à la pratique, nous allons les étudier successivement avec détail.

Applications de la première solution A. Roue droite conduisant une lanterne (fig . t, pi. LIY). Le nombre de dents ou de fuseaux étant supposé connu d’avance ainsi que le pas = p, partagez les circonférences primitives décrites des rayons AT, TB en arcs égaux entre eux ed—dg — gh... =fa = fb...=p. Par les points de division b fa... de la circonférence primitive de la roue menez à droite et à gauche les arcs bl, Ifj fk, ka de l’épicycloïdc que l’on obtiendrait en faisant rouler le cercle primitif de la lanterne sur celui de la roue, et supposons d’abord qu’en chacun des points de division e, d, g, h de la circonférence de la lanterne, on ait fixé des tiges infiniment déliées perpendiculairement à son plan ; il paraîtra évident alors que, si l’on fait tourner la roue dans le sens indiqué par la flèche, la dent ak poussera la tige d dans le môme sens jusqu’à ce que cette tige d soit parvenue en un point de la circonférence où elle coïncidera avec la pointe k de la dent. Avant que les points k et d cessent d’ôtre en contact, la tige e aura rencontré la base f d'une autre dent fl et le mouvement pourra continuer ainsi indéfiniment. On voit aussi que pendant le glissement de la tige d le long de l’épicycloïde ak, la tige e glissera clle-raômc le long de kf de sorte que si, par une cause quelconque le sens du mouvement de la roue était renversé fk mènerait à l’instant la tige e comme ak menait d et aucun choc ne naîtrait dans le système. On voit enfin que le contact de la dent ak ne commence que lorsque sa base a atteint la ligne des centres, de sorte que l’action d’une dent sur la tige qu’elle conduit ne s’exerce qu’après le passage de celte ligne, ce qui prévient les arcs-boutements. Il n’en serait plus de môme si la lauterne conduisait la roue, le contact commencerait par le sommet des dents de celle-ci et l’action de la tige sur

la dent serait limitée à un arc d 'approche en deçà de la ligne des centres.

Les tiges infiniment déliées de la théorie, sont remplacées par des fuseaux cylindriques dont le diamètre est ordinairement un peu moindre que le demi-pas ou que l’épaisseur mn de la dent afin de laisser un pen de jeu.

Quant à la forme de la dent on l’obtient en prenant sur les arcs d’épicycloïdes bl If par exemple un assez grand nombre de points comme centres et décrivant de ces centres et de rayons égaux à ceux des fuseaux des arcs st, uv, xy, puis menant une courbe pq qui touche tous ces arcs sans les couper. EoGn on recoupe le sommet des dents comme nous le verrons cl l’on donne à la partie du creux intérieur au cercle primitif de la roue une forme quelconque, celle d’un arc de cercle pr par exemple, dont le diamètre égale celui du fuseau augmenté du jeu.

Cette modification pratique fait que le contact commence avant la ligne des centres à une distance égale au rayon du fuseau, et comme il ne faut pas que le contact d’une dent zo cesse avant que celle qui la suit ne soit en prise avec la dent suivante, le point o au moment où le contact cesse doit se trouver à une distance angulaire de la ligne des centres au moins égale au demi-pas. Il en résulte que dans ce système, l’arc d'approche est plus petit que la moitié de l’arc de retraite.

Crémaillère. La crémaillère ( pl . LV) peut être considérée en général comme une roue dont la circonférence primitive a un rayon infini, et de cette seule considération on déduit immédiatement la forme des dents dont elle doit être arméo.

Crémaillère conduisant une lanterne (fig. 1). Lorsque la crémaillère conduit, la ligne Ta de la figure 2, planche LUI, devient une droite perpendiculaire à la ligne des centres, et abc devient une cvcloïde. Les dents de la crémaillère s’obtiendront donc (fig. 1 , pl. LV) en traçant, comme on l’a déjà vu, d’un rayon = celui du fuseau des courbes parallèles mn, op aux arcs de, c a de la cycloïdc engendrée par le roulement de la circonférence primitive de la lanterne sur la tangente X Y à celte circonférence.

La figure 1 suppose des dents en fonte à la crémaillère et des fuseaux en bois à la lanterne.

Roue conduisant une crémaillère (fig. 2, pl. LV). Lorsque c’est, au contraire, la roue qui conduit la crémaillère, cette dernière porte les fuseaux. L’arc Té de la fig. 2, planche LIII, devient une droite et abc est la développante du cercle primitif qui conduit. On est dispensé ici de tracer une courbe parallèle à la développante puisque cette courbe serait la développante elle-même dans une autre position. Il suffit donc , après avoir divisé la droite MN et la circonfc-

rence primitive AT (fig. 2 , pl. LV) en parties égales au pas, de tracer à droite et à gauche les arcs de la développante du cercle AT en laissant entre eux des creux or d’une largeur égale au diamètre des fuseaux augmenté du jeu.

Roue droite menant une lanterne intérieure {fig. 2; pl. LVI). La circonférence primitive Ta de la roue qui mène [fig. 2, pl. LUI) devient ici concave, et si le rayon des fuseaux de la lanterne est très petit, les dents de la roue sont des arcs de l’épicycloïde que l’on obtiendrait en faisant rouler le cercle primitif de la lanterne à l 'intérieur de la circonférence primitive de la roue. Dans le cas où (fig. 2, pl. LVI) les fuseaux en bois, par exemple, auraient un grand diamètre, on tracerait les épicycloïdcs internes et l’on mènerait, comme on l’a déjà vu, des courbes intérieures parallèles à ces épicycloïdes à des distances égales au rayon des fuseaux.

Pignon intérieur menant une roue (fig. 1 , pl. LVI). C’est la roue qui, dans ce système, doit porter les fuseaux, et l’on voit facilement que les dents du pignon dérivent de l’épicycloïde que l’on obtiendrait en faisant rouler le dedans de la circonférence primitive de la roue sur le dehors du cercle primitif du pignon.

Du plus petit nombre de dents et de fuseaux qu’on puisse employer dans les engrenages qui dérivent de la première solution. Supposons d’abord les fuseaux réduits à leurs axes et soient (fig. 2, pl. LIV)

AT = R, j BT = Ra; BAd = 0; ABd = <p

T, d étant les positions des centres de deux fuseaux successifs, Tda la dent du cercle primitif de rayon Rt qui conduit, dent dont la pointe d est supposée en coïncidence avec l’axe d du fuseau au moment même où l’axe du fuseau suivant T arrive à la ligne des centres. La dent qui agit en T entre donc en prise au moment où Tda cesse d’agir; or, par la nature mèmè du système, on a

arc Ta = arc T d = Ra y = 2 R, 0

et l’on voit facilement que si T Ad = 9 était plus grand que l’angle du demi-pas, la dent Tda quitterait son fuseau avantquela dent qui la suit fût en prise, ce qu’il faut absolument éviter; 9 peut donc égaler au plus l’angle du demi-pas , il pourrait sans inconvénient être sensiblement plus petit, et ne doit jamais être plus grand, d’où

2 R , 9 = ou < Ra <p; <p — ou > zJL: 8

les éléments de la figure donnent, d’ailleurs

R, sin 0 .

R, + R, sin (0 + ?) 1 °U

R. + R, s»n + -g-îj 0

équation dans laquelle il suffira d’introduire les rapports des rayons primitifs pour voir si la valeur de 0 est assez faible, lorsque les fuseaux sont réduits à leurs axes.

Soit par exemple R, = R2, il vient

1 — ou 2 sin 9 = sin 3 9 = 3 sin 0 — 4 sin 5 9

2 siu 3 0

sin 9 = i = 0.50000 9 = 30<>; 2 9 = 60°

valeur qui montre que six dents et six axes satisferont exactement à la condition que le sommet de l'une des dents soit en coïncidence avec l’axe qu’elle conduit au moment où la dent suivante commence à agir. Ainsi tout nombre plus grand que six peut être admis, et il y aurait interruption si l’on employait un nombre inférieur.

Si l’on avait R, = 2 R, , il viendrait

2 sin 0 sin 0

3 siu 2 0 2 sin 0 eus 0

cos 9 = - = 0.75000; 9 = 410.26';

angle qui correspond à quatre dents et une fraction. On ne pourrait donc pas employer ici moins de cinq dents et dix axes.

On parviendrait de même aux résultats suivants :

Une lanterne à quatre axes peut être conduite par une roue d’un nombre quelconque de dents plus grand que seize; mais une lanterne à trois axes ne pourrait être convenablement conduite par une roue d’un nombre de dents même infini , c’est-à-dire par une crémaillère.

Cinq axes peuvent être conduits par un nombre quelconque de dents plus grand que dix.

Six est le moindre nombre qui puisse être admis lorsque les dents et les axes sont en nombre égal.

Cinq dents conduiront une lanterne d’un nombre quelconque d’axes plus grand que huit, et quatre dents à la roue exigeraient au moins douze axes à la lanterne; — trois dents suffiraient juste pour conduire une crémaillère à fuseaux (axes) et par conséquent ne conduiraient pas une roue.

d’où

On rappelle que dans tous ces systèmes c’est toujours la roue conduite qui reçoit les fuseaux.

Rentrons maintenant dans la pratique en restituant aux fuseaux un diamètre réel = 2 p = 2 cq {fig. 3, pi LVI). Soit pqs une dent dérivée des épicycloïdes T k, ka ; si elle abandonne son fuseau au moment où la dent suivante attaque le sien, le centre T de ce dernier fuseau coïncide nécessairement avec le point T de la ligne des centres, et la droite Te qui joint alors les centres des fuseaux T, c, est normale à l’épicycloïde ak, passe nécessairement par le point T, nécessairement aussi par le point de contact q de la dent et du fuseau c ; enfin ce point q est l’extrémité de la dent. Cela posé, soient :

TBc = angle du pas sur la lanterne = <p;

B A q = angle du demi-pas à la roue 0 ;

AT=:Ri; BT=Ra; cq= p = rayon du fuseau ;

on a facilement :

sin c,m C09(l+°)

cm == cq. - = p — : — - — — —

gin cm q sin (<p -j- 0)

sin B A m sin A m B

B m ÂB

B c — cm

R, — cm

sin 6

2 P sin (? + 0)

sin (<p -f— 0) R , -j- R ,

équation d’où l’on éliminerait 6 par la relation (1).

Mais soit k le rapport du diamètre du fuseau au pas, on aura

substituant cette valeur de p et réduisant, il vient

s,n *)--£- sw m v

substituant dans cette équation et pour chaque cas particulier la va-

z cos

leur de <p et celle du rapport des rayons primitifs , on en déduira en fonction du pas, le diamètre que devrait recevoir le fuseau pour, qu'une dent entrât en prise précisément au moment où la dent précédente abandonnerait son fuseau. Il conviendra toujours dans la pratique de diminuer ce diamètre en augmentant la dent.

Une valeur négative trouvée pour k indique une impossibilité; une valeur = zéro réduit le diamètre du fuseau à un point; enfin, il paraîtra évident que pour appliquer la formule ci-dessus aux engrenages internet (fig. 1 et 2, pi. LV1) il suffira de donner à R, , R, des signes contraires en prenant en outre les différences des angles 0 et <p au lieu de leurs sommes.

Les tables suivantes dispenseront au reste de tout calcul; elles expriment en fraction du pas, le diamètre du fuseau qui permet strictement l’entrée en prise au moment où les dents précédentes se quittent. Le signe — y indique les cas impossibles, le signe -(- dénote un diamètre plus grand que le demi-pas, et par conséquent tous les cas affectés de ce signe sont applicables à la pratique.

Exemple. On demande le plus petit nombre de dents et de fuseaux à donner au système d'une roue d’un diamètre 4 conduisant un pignon d’un diamètre 1 ?

On a ici -1 = 4, et la ligne horizontale de la table II qui corres-

pond à ce rapport montre 1° que si l’on ne donnait que quatre fuseaux au pignon et par conséquent seize dents à la roue, le diamètre du fuseau devrait être réduit à un centième du pas, dimension inapplicable; 2° qu’en donnant cinqfuscauxau pignon, et par conséquent vingt dents à la roue, le diamètre du fuseau est les 0.46., ou très voisin de la moitié du pas; donc

Six fuseaux et vingt-quatre dents;

Sept fuseaux et vingt-huit dents;

Huit fuseaux et trente-deux dents seraient autant de systèmes applicables en pratique.

Les systèmes d’engrenage que nous venons d’étudier s’exécutent le plus souvent en bois ; ils étaient d’nn emploi général autrefois et trouvent encore leur application dans les localités éloignées des fonderies où il serait d’un entretien trop coûteux de faire usage d’engrenages métalliques. Ils sont très généralement remplacés aujour-

d'hui par les systèmes suivants qui dérivent de la seconde solution et s’exécutent ordinairement en fonte.

Applications de la deuxième solution ( pl . LYII). La figure 1 représente le système de deux roues A, B dont les dents sont tracées d’après le principe de la seconde solution.

Pour chacune d’elles, A par exemple, la saillie des dents, en de* hors du cercle primitif, est formée par les arcs de l’épicycloïde qu’ou obtiendrait en faisant rouler sur ce cercle primitif une circonférence BAT d’un diamètre égal au rayon BT de l’autre roue; les flancs des dents sont des droites pq, ts allant de la circonférence vers le centre, réunies par une courbe quelconque , par un arc de cercle qrs par exemple, laissant un jeu convenable.

Observation. On peut remarquer, savoir : que les flancs et les faces s’obtenant pour chaque roue d’après le même principe, l’une ou l’autre peut indifféremment conduire ou être conduite; — que la symétrie des dents rend également indifférent le sens de la rotation; — que le lieu du contact des dents est la ligne sinueuse fe TA, de sorte que le contact a lieu sur fe T avant la ligne des centres et sur TA après le passage de cette ligne; — que pour chaque paire de dents le contact commence à la racine de la dent qui mène et se termine à sa pointe, tandis que le contraire a lieu pour la dent qui est menée ; — que, enfin, le développement d’une face quelconque Tj est toujours beaucoup plus grand que celui du flanc de l’autre dent avec lequel elle travaille.

Application aux marteaux à bascule et aux marteaux frontaux. Celte deuxième solution donne le tracé de la came qui doit soulever la queue ou la tète de l’un des marteaux ci-dessus. A étant le centre de l’arbre à came, B celui de l’axe de rotation du marteau, BT le rayon de rotation compris entre l’axe et le point de contact de la came ; sur ce rayon BT comme diamètre décrivez une circonférence ; cette circonférence en roulant sur le cercle primitif de l’arbre à cames décrirait l’épicycioïde suivant laquelle les cames devraient être taillées, pour obtenir un soulèvement uniforme.

Je n’ai point donné de figure spéciale pour ce cas sur lequel je reviendrai à l’article maktbacx. La figure 2, vue de côté, suffit au reste pour suivre le texte.

Problème. Soient ( fig . 2, pl. LVI1) B le centre d’une roue armée de palettes infiniment minces mn dirigées vers ce centre, A le centre d’une roue conductrice armée d’épicycloïdes engendrées (conformément à la seconde solution) par le roulement d’une circonférence d’un diamètre BT=rayon de la roue conduite, sur le cercle primitif AT de la roue qui mène, on demande le plus petit nombre de palettes que puisse recevoir la roue B avec la condition qu’il y ait continuité dans l’action de la roue A sur la roue B.

Solution. La demi-circonférence TdB étant nécessairement !e lieu du contact, il faut, pour qu’il y ait strictement continuité, qu’elle contienne la pointe d de la dent épicycloïdale au moment où la racine T do la dent suivante parvient à la ligne des centres. Tirant bd et comparant alors la figure à la figure 2 de la planche LIV, on voit que si 6 était lo centre d’une lanterne et d le fuseau idéal en contact avec la dent ad, T bd serait l’angle du pas de la lanterne strictement nécessaire pour qu’il y eût continuité, or TBd cstcct angle dans la roue à palettes, et l’on a

T bd = 2 TBd

Donc le moindre nombre de palettes qui puisse travailler d'une manière continue avec un nombre donné de dents épicycloïdales est égal au double du moindre nombre de fuseaux (voyez page 629); il en résulte que :

1» Un pignon à 7 palettes peut être conduit par une roue de 56 dents

et plus;

8 16 dents

9 — 12 dents

que 10 est le moindre nombre qui puisse être employé lorsque le nombre de dents doit être égal à celui des palettes;

2° Que 9 dents pourront conduire une roue de 10 palettes et plus;

— 8 Il

3 dents conduiront une crémaillère à dents droites n’ayant point d’épaisseur. On ne peut donc pas employer moins de quatre dents pour conduire une roue à palettes ou à dents droites dirigées suivant le rayon.

On pourrait rechercher par une marche analogue les moindres nombres de dents que l’on puisse employer lorsque ces dents sont formées d’après la seconde solution (fig. 1) et l’on parviendrait h des approximations que M. Willis a préféré obtenir par des constructions graphiques faites sur une grande échelle et dont il a déduit les tables suivantes.

On y suppose l’épaisseur tu de la dent égale au creux pt et on donne les nombres limites correspondants à des arcs de retraite successivement égaux a§ pas, aux \ du pas et aux J du pas. Les deux derniers cas correspondent donc à des arcs d’approche égaux respectivement à J et j du pas.

Table du moindre nombn de doits extérieures que puisse recevoir une roue qui engrène avec des pignons donnés en supposant épaisseur xs creux-

NOMBRE

dents

pignon

donné.

Nombre DE DENTS

miuimum A LA ROUE.

si la roue conduit.

si le pignon conduit.

Arc de retraite — pas.

impossible.

crémaillère.

1 ’i SH

impossible.

Arc de retraite = -J pas.

impossible.

Arc de retraite = § pas.

Observations. Celte table montre quclorsqSc le pignon mène, il peut être plus petit que lorsqu'il est mené. Ainsi lorsque l’action commence à la ligne îles centres la plus petite roue qui puisse mener un pignon de 11 ailes à 54 dents, tandis que le même pignon peut conduire une roue de 21 dents et plus.

De môme, il n’y a qu’une crémaillère qui puisse mener un pignon de dix ailes à partir do la ligne des centres, mais ce mémo pignon peut conduire une roue de 23 dents et plus.

Aucun pignon de moins de dix ailes ne peut être mené, dans ces conditions, mais des pignons de six ailes seulement peuvent conduire des roups portant un nombre quelconque de dents plus grand que celui de la table.

Enfin les plus petits pignons égaux qui puissent convenablement marcher ensemble sont des pignons à seize ailes.

Ces limites étant géométriquement exactes, on devra toujours en pratique employer plus de dents que la table n’en indique.

Nous ne nous arrêterons pas à rechercher les plus petits nombres de dents qu’on pourrait employer lorsque, sans considérer les actions relatives avant et après la ligne des centres, on laisse aux dents des roues leurs pointes entières comme en g et x (fig. 1 ,pl. LVII) et que l’on suppose la dent égale au creux. On trouverait, dans cctto hypothèse, que : deux roues égales ne pourraient avoir moins de cinq dents;

Quatre dents marcheraient exactement avec six; et trois avec douze environ;

Deux dents ne marcheraient pas même avec une crémaillère.

Les engrenages internes diffèrent des engrenages externes en ce que, avec un pignon déterminé, l’arc d’action de la roue dentée intérieurement augmente à mesure que son propre nombre de dents est plus petit. C’est donc ici le plus grand nombre de dents qui puisse marcher avec un pignon donné qu’il s’agit de fixer. Ces limites sont indiquées dans la table suivante.