EQUATIONS
La méthode donnée plus haut s’applique à un nombre quelconque d’équations. Ainsi l’on peut encore résoudre les questions du genre de la suivante.
En comptant les ouvriers d’une usine 2 par 2 il en reste 1 -,
en les comptant 3 par 3 il en reste 2;
en les comptant 5 par 5 il en reste 3. Quel
est le nombre N des ouvriers?
on a N = 2 a? -}- 1 N = 3 y -{- 2 N = 5 z -{- 3 ou éliminant N
on résoudra (a) comme si elle était seule, on trouvera : y = 2 t — 1 x = 3 l — 1
substituant cette valeur dey dans(A) cllcdeviendra — 5 (c)
Résolvant c on en déduira z = u -j- f r = 5u-|-4 et remontant aux valeurs de s, y et x, on aura
ct l’une des équations proposées N = 2x 1 donnera N = 30 u -j- 23
la plus petite valeur que puisse avoir N correspond à u = o,- on a alors N = 23.
Enfin si l’on avait une équation à trois inconnues ax + by -f- cz = d
on pourrait faire z = 1 et chercher toutes les solutions possibles, puis z = 2 ct agir de même, et ainsi de suite pour chaque hypothèse faite sur s.
Ou bien encore suivre la méthode suivante :
1° Faire passer cz dans le second membre, ce qui donne ax -j. by — d — cz;
2<> Faire d — cz — c' ;
3° Traiter l’équation ax + by = c' par la méthode donnée, jusqu’à ce qu’on parvienne à l’équation dans laquelle l’une des inconnues n’a pour coefficient que l’unité;
4° Remonter aux valeurs de x et de y après avoir remis d — cz à la place de c' , et o étant par hypothèse la dernière des inconnues auxiliaires, on prendra « cl z arbitrairement, mais de manière cependant qu’il n’en résulte pour zr et y que des valeurs positives.
Di<
j by GooqL
EQUATIONS. 683
L’équation 5x-f-8y+7i = 80 conduirait ainsi à y = 100 — 1 i z — 5 t> x = 8 d 21 z — 150
Equations du second degré. En mettant un problème en équation et cherchant à résoudre celle-ci, on se trouve souvent conduit à des expressions dans lesquelles l’inconnue se trouve élevée à la seconde puissance. L’équation est dite du second degré lorsque la plus haute puissance de l’inconnue est la seconde.
wx’ + p = n, m*! -f- px =zq sont des équations du second degré.
Les équations de la première forme mx1 -\-p=zn se résoudront en isolant le carré de l’inconnue, puis tirant la racine carrée de chaque membre; on aurait donc :
ou x — \/a en faisant - — - = A
toutefois on devra affecter le radical yX du double signe ± de sorte que la valeur générale de x sera =fc j/X ce qui est fondé sur ce que ( — ^X) X ( — \/X) = A tout aussi bien que [/K X \/X.
On affecterait de même du double signe ±r le radical du second degré des quantités négatives, ainsi l’équation x’ -f- A = 0 donnerait X1 — — A X = ± y/— X
Lorsqu’une équation conduit à une valeur imaginaire de l’inconnue = ±: i/~a, on en peut conclure en général que le problème est impossible; cependant ( voy . imaginaires) on ne doit point négliger ces expressions dans le cours des calculs, parce qu’en se combinant cntr’clles, l’impossibilité ou l’absurdité apparente du problème disparaît quelquefois.
On demande de construire un triangle rectangle dont on donne l’hypothènuseA, et dont les côtés de l’angle droit sont égaux. On sait (géométrie) que l’on a alors
Si au lieu de supposer les côtés égaux, on avait donné pour condition qu’ils fussent entre eux comme les nombres m : n -, x étant l’un et sj l’autre, on aurait eu
nx
68 i EQUATIONS.
Equations à deux termes. Il est facile de voir que l'on résoudra de la même manière toutes les équations où il n’entre qu’une seule puissance de l’inconnue, quelle que soit celte puissance; on les appelle équations a deux termes parce qu’elles peuvent toujours être réduites à cet état.
Comme ci-dessus, on dégagera la puissance de l’inconnue et l’on tirera la racine du degré marqué par l’exposant de l’inconnue ;
ax — q donne x = - x — YV fi
ax‘ -} - bx* z= ak b2 — a' b1 devient (a b) x* =z a' b* (a — b ) I 5/ a* 6* (a — b)
Si l’exposant n est impair, x n’a qu’une seule valeur réelle, les autres sont imaginaires;
Si en outre le second membre de l’équation q est négatif, x a une valeur négative;
Si l’exposant n est pair, x a deux valeurs , l’une positive, l’autre négative.
Ces valeurs peuvent être toutes deux réelles, ou toutes deux imaginaires. Ce dernier cas a lieu si le second membre q a le signe — . (Voyez plus loin équations en général.)
2» degré, cas général. Si l’équation contient non-seulement la seconde puissance de l’inconnue, mais encore la première, alors :
1° On passera dans un seul membre tous les termes qui contiennent £ ou x1, cl les quantités connues dans l’autre;
2U Si le terme qui contient x 2 est négatif, on changera les signes de tous les termes dans les deux membres pour le rendre positif;
3° On débarrassera x * de ses multiplicateurs ou de ses diviseurs en divisant ou multipliant tous les autres termes de l'équation par ces multiplicateurs ou diviseurs de x*.
Cela fait l’équation aura pris la forme générale
x1±px = ±q ... (a) (
pour la résoudre, on ajoutera aux deux membres le carré de la moitié du coefficient de x, ce qui donnera
*' + = ±ï-f ÏP1
EQUATIONS. 685
or, dans cet état, le premier membre est évidemment un carré ; C'est celui (x -f- ’ p)5 si p avait le signe -f- C’est celui ( x — i p)1 si p avait le signe — dans l’équation (a).
On a dès lors :
(x±\py = ±?4-ipî d’où
X — V P — — |/ ± q + ï P* a- = =F 1 p rt V fp'ïEi
telle est l’expression générale de la valeur de x dans l’équation du second degré, d’où l’on voit (pour toutes les hypothèses que l’on puisse faire sur les signes de p et de q ) que
les équations de la forme x2 -J- px — q x1 + px = — q .
x 1 — p x — q x 1 — px — — q .
donneront pour x
La valeur de x = la moitié du coefficient du second terme pris avec un signe contraire ± la racine du carré de cette moitié ajouté au terme connu.
On pourra s’exercer sur les exemples suivants dans lesquels x' et x" désignent les deux volumes de x.
on trouve x — —
li — 2x
