f- JL fl — Il
on trouve x =
x 1 2 x * \/ X' + 2 x + 1 = kl
celte équation qui ne parait pas d’abord rentrer dans la forme générale y rentre cependant, car \/x * -j- 2 x -f 1 est (x-j- i)} il vient
a*0tS x2 + 6 x — 40
686 EQUATIONS.
On aurait encore pu la résoudre en ajoutant 1 de part et d’autre, complétant le carre, extrayant la racine et transposant.
La quantité de lumière qui atteint une même surface est en raison inverse du carré de sa distance au corps lumineux, et en raison directe du pouvoir éclairant de celui-ci; cela admis, on demande en quel point de la ligne AB on doit placer un écran C pour qu’il reçoive des corps lumineux placés en A et B la même quantité de lumière. Le pouvoir éclairant de A est 1 , celui de B est 4 , la distance A B est de trois mètres.
x étant prise pour la distance de la plus faible lumière à l’écran C, 3 — x sera celle de B au même écran.
La quantité de lumière reçue de A sera dès lors — , celle reçue de
B sera — — ; ces quantités devant être égales, on a
ou (3 — x)1 = 4 x 1
l’écran doit être placé à 1 mètre de A entre A et B d’après la valeur de x' , et scs deux faces seront alors également éclairées. La solution négative x" = — 3 répond aussi au problème et signifie que si l’on compte les distances négativement ou dans l’autre sens, il existe à 3 mètres en arrière de A un point c' situé par conséquent à 6 mètres de B, où l’écran recevrait encore une même quantité de lumière de la part de A ou de B ; on voit d’ailleurs facilement que, en c la face unique, tournée vers les corps lumineux, recevrait moins de lumière que la somme des deux faces dans la situation C.
Théorèmes. L’équation générale du second degré étant mise sous la forme x1 ±px ± g = 0 , on démontre que :
1° Une équation du second degré ne peut avoir que deux racines (on appelle ainsi les nombres ou quantités que nous avons représentées par x' et x" et qui satisfont à l’équation ci-dessus) ;
2° L’une des racines étant x' l’autre x" est nécessairement — ■ x P >
3° La somme de ces deux racines étant évidemment — p et leur produit donnant — x'1 — px’ lequel = q (puisque l’on a 0 = 5+ px 1 + x11), la somme des racines de l’équation du second degré = le coefficient p du second terme pris avec un signe contraire, et le produit de ces racines = le terme connu q ;
4° Deux valeurs numériques ou quantités quelconques +- a -}-i étant données, on formera immédiatement l’équation du second dc-
EQUATIONS. 687
gré dont elles seraient les racincscn écrivant x 1 — (a -j-4) x -j- ab= 0;
5° Chercher les racines d’une équation de second degré, c’est chercher deux valeurs telles que leur somme soit — p et leur produit q ;
6° Le premier membre de l’équation du second degré
x 3 ± px ± q — o
est exactement divisible par x diminuée de chacune de ses valeurs numériques x', x".
Celte propriété s’étend aux équations de tous les degrés.
Equations qui se résolvent comme celles du second degré. Toutes les équations de la forme x5"1 -\-pxm — q dans lesquelles l'exposant de la plus haute puissance de l’inconnue est double de celui de la plus faible, se résolvent à la manière du second degré, par l’artifice suivant, soit :
x’ m + pxm = q ... (a) faisant xm = y il viendra x3 m — y3 et l’équation (a) devient alors V1 + P'J = 7
d’où l’on tire
remettant x®
et
on obtient x en extrayant la racine mUme de la quantité comprise sous Je premier radical après l’avoir évalué en nombres.
C'est quelquefois l’inconnue élevée à la plus faible puissance qu’il convient mieux d’égaler à une autre inconnue auxiliaire. Ainsi, soit à résoudre n
on fait x2 = y ; l’équation devient :
y2 — 2 ay = c d'où y = x'2 — a ± |/‘a* +1
et enfin x = a ± — l^a ± (a1 -f c)ï j"
Equations à deux inconnues qui passent le premier degré. On appelle ainsi celles où non-seulement l’une des inconnues passe le premier degré, mais encore celles où quelques-unes de ces inconnues sont mul-
«88 EQUATIONS.
tipliécs entre elles, et leur degré s'estime par la somme des exposants des inconnues dans un même terme.
Cas de deux équations et deux inconnues. Règle. L’une des inconnues étant au premier degré dans l’une des équations , prenez la valeur de cette inconnue comme si tout le reste était connu, puis substituez cette valeur dans l’autre équation et vous avez une nouvelle équation qui ne renfermera plus qu’une inconnue. Soient :
x -J- y — 12 et xy — 35
on prend x = 12 — y qu’on substitue dans l’autre équation qui devient alors 12 y — y* — 35 d’où l’on tire
y = 6 ± 1 et y' = 5 y” = 7 et par conséquent x' — 7 x" — 5
Si dans l’équation la moins élevée, l’une des deux inconnues ne passe pas le second degré; prenez dans celle-ci la valeur du carré de l’inconnue la moins élevée. Substituez-la dans l’autre à la place du carré de cette môme inconnue et de scs puissances. Continuez de substituer jusqu’à ce que cette inconnue ne se trouve plus qu’au premier degré. Tirez de cette dernière équation la valeur de cette môme inconnue et substituez-la dans l’équation la moins élevée.
Soient : a;1 4- 3 y1 = 6 x . . . (a)
on aurait successivement x'1 — 6 x — 3 y 2 substituant dans (6) il viendra 2 (6 a; — 3 y1) x — 3yî=8 oul2xl — 6yJa: — Sy^r^S, et comme il y a encore a:5 dans celle-ci on substitue de nouveau sa valeur 6 x — 3 y’ il vient :
(72 — 6 y s) x — 39 y1 = 8 ou x n’est plus qu’au premier degré.
on en tire
on substitue celle valeur dans (o) il vient :
(39 ys + 8) 1 + 3 y» (72 - 6 y1)’ = (234 y 1 + 48) (72 — 6 y*)
qui, ne contenant plus qu’une inconnue, rentre dans un des cas généraux.
Au reste l’examen attentif des équations indique souvent la marche qui conduit le plus promptement à leurs résolutions.
Soit
— -j = 12 et x — y = 2
la forme de la première équation montre qu’elle peut être traitée
EQUATIONS. 689
comme une équation du second degré à une seule inconnue - — a. On en tire immédiatement : y
- = — î ± 4 d’où x' = + 2 y x" — — 6 y
substituant successivement ces deux valeurs de x dans x — y — 2 il vient y' = 2 y" = — ’ d’où revenant
on trouve a-' = 4 x" —
et même x"' = — i x" — — 12
Soient a; 5 1/ 1 — 5 = 4 xy. . (a)
on tirera de (a) xy — — 2 ± 3 xy — 5 ou — 1 substituant la première de ces valeurs dans (A) on a | \ y '
d’où y = 1 et x = 5
substituant la seconde valeur de xy dans (A) il vient — j = î y*
y — — J/7 J et * = p 5 , etc.
Soit encore :
x* ( fi 351
(x' ~ij« ' x' — 4 25 x *
On trouvera par les méthodes x — dt 3 ou :fc p f-’
Trouver deux nombres x, y , tels que leur somme x + y , leur produit xy et la différence de leurs carrés x'1 — y1 soient égaux.
On a d’abord x -f y — x1 — y1 = {x + y) (x — ;/) divisant par x + y il vient 1 = x — y x = y -f 1 donc la somme x + y = 2 y + 1 le produit xy = !/2 + V
et y’ + y — 2 y + I donne y1 — y = t y = 1 5
Equations exponentielles. L’équation de la forme a1 == c se résout par rapport à x au moyen des logarithmes, et l’on a évidemment
log c
* iog « = los c * — ï^ra
pour résoudre l’équation Ac = d par rapport à s on ferait d’abord
. loe <4
c' — x d’où b* — d x — — = c
log b
690 EQUATIONS,
prenant de nouveau les logarithmes, on a
« log c =
— log. log A
log. log d — log. log b
et z = ;
log c
pour obtenir le logarithme du logarithme de d, on considère log d comme un nombre ordinaire.
C’est par la résolution d’équations exponentielles que Hulton a essayé de déterminer la puissance de la vitesse à laquelle la résistance est proportionnelle, lorsque des sphères ou boulets se meuvent dans l’air ;
Soit V V' deux vitesses, R R' les résistances que les boulets éprouvent à se mouvoir dans l’air à ces deux vitesses, x étant la puissance inconnue de la vitesse à laquelle R et R' sont proportionnelles ; on a
OU
\vj ’
IX'y
ou encore 1 — )
d’où
log R'
’T = lôgV'
— log R
— log V
En calculant ainsi x pour un grand nombre de vitesses V V' V" X"' ... et les résistances R R' R" R’" ... correspondantes données par de nombreuses expériences il a trouvé des exposants x x' x" x'" ... très différents, et il en a conclu en particulier, contrairement à l’hypothèse des géomètres, que les résistances éprouvées par les boulets n’étaient nullement proportionnelles aux carrés des vitesses (Voij. Résistances des fluides,.
Si l’on demandait de trouver l’arc x du cercle dont le développement est égal à sou cosinus, un se trouverait conduit à l’équation
x — eos x
qui ne pourrait être résolue par les méthodes précédentes; on aurait alors recours à la rc/jlc de fausse position (Voyez F.ussr rosrrroji).
Des équations en tjénèral. Si l’on fait passer tous les termes d’une équation dans un seul membre et que l’on ordonne les puissanres de l’inconnue, quel que soit le degré n de celte équation, elle prendra la forme
x -{- P.r — Q x -fRï -J- ... -j- T.r -j-Y = o ... (A)
Si n est une des valeurs qui satisfont à l’equation, celte équation
EQUATIONS. 691
est divisible exactement par (a- — a) et si « n’est pas une racine, l’équation ne peut se diviser exactement par (a: — a).
h, c , d, ... étant d’autres valeurs qui satisfont à l’équation, elle sera encore divisible exactement par (x — b , par (a: — c). par (x — d), par ...
x pouvant recevoir toutes les valeurs x — a, x — b, x ■=. c , x — d ...
on a x — a~o,x — b ■=: o , x c ~o , x — </— o.
Et si a , b, c, d , sont les seules valeurs et toutes les valeurs qui satisfassent à l'équation, cette équation peut être considérée comme le produit fait des binômes (x — a), (x — b ), x — c), (x — d). Cela posé, on démontre :
que toute équation d’un degré quelconque peut être ainsi considérée comme formée du produit d’autant de facteurs binômes simples qu'il y a d’unités dans le plus haut exposant de l’inconnue. Ces binômes ont tous pour premier terme la lettre x qui représente la valeur géuérale de l’inconnue, et pour seconds termes les valeurs particulières de celte inconnue qui toutes satisfont à l’équation proposée ou sont les racines de l’équation, chacune étant prise avec un signe contraire.
Le nombre des racines d’une équatiou est donc égal au nombre d’unités contenues dans le plus haut exposant de l’inconnue. Ces racines peuvent être d’ailleurs positives ou négatives; les unes réelles, les autres imaginaires, et l’on remarque que dans toute équation :
le coefficient P du second ternie pris avec un signe contraire est égal à la somme de toutes les racines
Le coefficient Q du troisième = la somme des produits des racines multipliées entre elles deux à deux;
Q — a b ad - J- ... ;
Le coefficient R du quatrième terme pris avec un signe contraire — la somme des produits des racines inullipliécscutr’elles trois à trois
El ainsi de suite en observant de changer le signe des coefficients îles termes de rang pair, quels que soient les différents signes des termes de l’équation, de sorte que le coefficient du m'*0”’ terme = la somme des produits des racines multipliées entre elles
Le dernier terme U de l’équation = le produit abc.d .. de toutes |cs racines, mais en signe contraire si le degré n est impair;
69 i EQUATION du temps.
Si dans une équation telle que a;5 — 19 x-f- 30 = 0; le second terme ( ici celui en x2 ) manque , c’est qu’il y a nécessairement des racines positives et des racines négatives, et que la somme des unes égale la somme des autres:
Si le troisième terme manque, la somme des produits des racines positives combinées avec les négatives se réduit à 0, etc. ;
Si le dernier terme manque, l’une des racines = 0 ; alors on peut abaisser l'équation en divisant les deux membres par x — 0 ;
ainsi x* -f- ax’ -f- bx‘ -f- ex = 0,
devient, en divisant par x,
x 3 4- ox2 -J- bx -j- c == 0 j
Les valeurs de l’inconnue se trouvent parmi les div iseurs du dernier terme, de sorte que, en substituant dans l’équation à la place de x, chaque diviseur du dernier terme, d’abord avec le signe -j- ensuite avec le signe — , on sera sûr d’avoir une des racines lorsque la substitution d’un de ces diviseurs rendra la somme de tous les termes = 0 ; ainsi -f- b substitué pour x dans
x’ — (a —J— 6 —f- c) or’ —J— ( ab -(- ac -f- bc ) x — abc = 0, rend effectivement le premier membre = 0 ; donc -(- b est une racine ,
— b n’aurait pas réussi.
En divisant chaque coefficient négatif de l’équation (A) par la somme des coefficients positifs qui lo précèdent , prenant la plus grande des fractions ainsi obtenues et y ajoutant l’unité, on obtient une limite supérieure des racines.
Quand deux valeurs mises pour x dans l’équation A donnent des résultats de signes contraires, cette équation a , entre ces limites, 1, 3, 5 ... ou un nombre impair de racines interposées; et deux quantités qui, substituées, donnent des résultats de même signe, n’interceptent aucune racine ou en comprennent un nombre pair.
EQUATIONS des lignes. Voyez Courbes, droites.
ÉQUATION DU TEMPS. On est convenu d'appeler ainsi l’excès de l’heure moyenne sur l’heure vraie (voy. Astronomie, p. 89); on a donc :
équation du temps = heure moyenne — heure vraie.
U équation du temps est toujours exprimée en temps moyen.
Elle est positive ou négative, suivant que le soleil vrai retarde ou avance sur le soleil moyen.
La Connaissance des temps et l’Annuaire des longitudes donnent, pour tous les jours de l’année, le temps moyen au midi vrai , on peut en déduire l'équation du temps pour le midi vrai de chaque jour en observant que : temps moyen à midi vrai = équation du temps à midi vrai , si le temps moyen à midi de la table surpasse 0“, 0', 0".
Si, au contraire, le temps moyen à midi vrai de la table est audessous de j-2 heures, on a :
équation du temps à midi vrai= 12h — temps moyen à midi vrai.
L’équation du temps ainsi obtenue pour le midi vrai de chaque jour, on l’aura pour une autre heure h du temps vrai à Paris, en prenant la différence d entre l’équation du temps pour le midi vrai qui précédé h et pour le midi qui la suit, eu calculant le quatrième terme x de la proportion
puis ajoutant x algébriquement à l’équation du temps qui correspond au midi vrai qui précède h.
Celte méthode ne peut entraîner qu’à des erreurs insignifiantes.
ÉQUILIBRE ( pl . LXIII). On dit que des forces se font équilibre lorsque, appliquées à un corps ou à un point matériel, elles laissent ce corps ou ce point à l’état de repos ou de mouvement dans lequel il se trouvait avant leur application. L’idée A'équilibre n’implique doue pas nécessairement l’idée de repos que le langage vulgaire lui attribue; elle n’exclut pas celle du mouvement.
(2) . Résultante lorsque plusieurs forces agissent à la fois sur un corps ou sur un point matériel, leur action combinée peut toujours être remplacée, soit par celle d’une force unique, soit par celle d’un autre système de forces plus simple. Cette fortæ unique ou ce système de forces, capable de produire sur le corps ou sur le point matériel le même résultat que les premières forces, est la résultante ou le système résultant de celles-ci :
(3) . Composer des forces entre elles, c’est chercher la résultante ou le système résultant dont ces forces sont les composantes. Décomposer une force, c’est résoudre le problème inverse.
(4) . Il est évident que deux forces égales et directement contraires, qui agissent sur un mémo point, se font équilibre.
(5) . Doue, si l’on substitue à la résultante d’un faisceau de forces appliquées à un point matériel, et en son poiut d’application une force égale et directement contraire , l’équilibre naîtra dans le sj stème.
Le problème de l’équilibre revient donc, en général, à celui de la composition des forces.
(6) . On considérera successivement quatre cas généraux, savoir :
A. Celui de forces situées dans un môme plan et appliquées à un môme point matériel ;
B. Celui de forces appliquées à un môme point, mais dirigées d’une manière quelconque;
C. Celui de forces appliquées à différents points d’un corps solide tous situés dans un môme plan ;
D. Enfin celui de forces appliquées à différents points d’un corps solide situés d’une manière quelconque.
(7) . Lemmrs. Dans tout système dont la forme reste complètement invariable sous l’action des forces auxquelles il est soumis, on peut prendre pour point d'application de chaque force l’un quelconque des points de sa direction, qu’on suppose lui-mèmc invariablement lié au système.
Un obstacle immuable dans un système de forme invariable , un axe fixe par exemple, ne peut détruire directement l’effet d’une force, qu’autant qu’il est situé sur un des points de la direction de celte force.
(8) . Si dans un système en équilibre on substitue à l’une des forces un obstacle immuable pris sur sa direction, l’équilibre n’est pas troublé, car cet obstacle ne réagit qu’avec l’intensité et dans la direction de la force qu’il remplace en vertu du principe d’égalité entre l'action et la réaction.
(9) . Deux forces de môme sens qui agissent dans la môme direction ont une résultante égale à leur somme cl dirigée dans le môme sens.
(10 . Deux forces qui agissent suivant une môme droite et en sens directement contraires ont une résultante dirigée dans le sens île la plus grande et égale à leur différence.
(11) . Quel que soit le nombre des forces qui agissent suivant une môme droite, leur résultante est égale à leur somme algébrique et en preud le signe/
(1 2) . A. Forces situées dans un même plan et appliquées au mime point matériel. La résultante d’un nombre quelconque, de forces qui agissent dans un môme plan est tout entière dans ce plan.
(13) . Si, à un point déjà en équilibre sous l’action des forces qui lui sont appliquées, on applique un nouveau système de forces en équilibre, on ne changera rien à l’état du point.
(14) . La résultante R [fig. 1, pl. LXIII) de deux forces quelconques F, , Fu, appliquées à un môme point matériel M , est représentée, en grandeur et en direction, par la diagonale MR du parai
lélogrammc construit sur des droites MF, , M F., proportionnelles à ces forces F', F, et prises sur leurs directions.
(15). On a donc en général :
R* = F,3 -j- l'V + 2 F', F, cos F, MF,
R = F', cos F, M R -f- F, cos F,M R
sin F, M R =
F, sin F, M F, U
sin F, MR =
F, sin F, M F, K
R. sin F, MR .. R. sin F, MK
1 “4u F, M F~ ’ 3 sin F, MF,
F, sin F, MR = F,siuF,MR
sin F, MF, sin F, MR sin F, MR
(16) . Ainsi : lorsque deux forces F, , F, appliquées à un point M sont représentées par les côtés MF, , MF, d’un triangle, leur résultante R est représentée par le double de la droite MO, menée du point d’application M au milieu 0 du troisième côté F, F’, de ce triangle.
(17) . Deux forces concourantes F, , F’, et leur résultante R sont entre elles comme les sinus des angles formés par les directions des deux autres.
(t8). Ce que l'on a dit de la composition de deux forces et de leur résultante s’applique encore aux vitesses simultanées dont serait animé un point matériel M , en ce sens que si MF', , MF, représentaient ces vitesses en grandeur et eu direction, la vitesse réelle de ce point serait encore représentée en grandeur et eu direction par la diagonale Mll du parallélogramme construit sur ces vitesses.
(19). Il eu serait de même des chemins MF,, MF, que le point M parcourrait simultanément; de telle sorte, par exemple, que si le poiut M placé sur un bateau s'avançait de M vers F, en une seconde, taudis que le bateau s’avancerait lui-inémc de M vers F, dans le même temps, le point M aurait réellement parcouru la diagonale MR dans l’espace.
(JO . Si l’on substituait a la résultante R des F, , F, une force S = — R qui lui rat égale et directement contraire , l’équilibre aurait évidemment lieu dans le système entre S , F, et F’, et chacune de ces trois forces serait égale et directement contraire à la résultante des deux autres.
(31). Et comme le sinus d’un angle = celui de son supplément, on peut dire que lorsque trois forces S, F’,, F’,, situées dans un mcMiic plan et appliquées à un même point, sont en équilibre, eha-
cune d’elles peut être représentée par le sinus de l'angie formé par la direction des deux autres.
(22) . Les rapports de ces trois forces F,, F2, R ou F,, F2,S pourront donc être représentés par ceux des côtés d’un triangle M/’R ( fig . 2) ou M /S (fig. 3) dont les côtés sont parallèles à la direction des forces. La fig. 2 se rapportant au cas de deux forces F,; F'2 et de leur résultante R, et la fig. 3 au cas de trois forces F, , F,, S qui se font équilibre. La résultante R a sa flèche dirigée du point d’application; la force S, qui lui ferait équilibre, a sa flèche tournée vers ce point.
(23) . Si sur chacune des directions des côtés de ces triangles on élevait des perpendiculaires, on formerait ainsi de nouveaux triangles dont les côtés seraient encore dans les mômes rapports de grandeur que les trois forces.
( 24). Dans le ras où les deux composants F, , F3 , seraient égaux, F, = F, donnerait sin F, M R = sin F2 M R , la résultante R diviserait l’angle des forces F, M F, en deux parties égales, et l’on aurait
R = F \ » (i 4. cos F, M FV — 2 F cos F, MR
La résultante de deux forces croit lorsque l’angle de leurs directions diminue. Cet angle devenant zéro ou 180° on retombe sur les cas 9 et 10.
(25) . Quand l'angle F, M Fa des deux forces F, Fa est droit
cos F, MF, = o sin F, M Fa = 1 ; cos F2 M R = sin F', M R et l’on a simplement
R = F, cos F, M R F, sin F, M R sin F, M R = ~* } sin F, MR — cos F, M R — ^
F, = R cos F, M R ; F, = R sin F, M R F,5 tang F, 5111= Fy taug F, M R
(26) . Donc si l’on décompose une force R appliquée à un point matériel en deux composantes rectangulaires entre elles, chaque composante est le produit de la force R par le cosinus de l’angle compris entre la direction de R et celle de la composante.
(27) . M. Poncelet a démontré (Radicaux) que lorsque l’on sait d’avance que F, est plus grand que F,2, on a toujours, pour le ras ci-dessus et avec une approximation qui suffit à la pratique,
(28) . Résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point et situées dans un même plan. Composez deux des forces entre elles F, F, par les méthodes ci-dessus, vous obtiendrez leur résultante R„, que vous composerez à son tour avec une troisième force F3 , ce qui donnera une nouvelle résultante R,,3 , qui, composée à son tour avec la quatrième force F, ... et ainsi de suite, donnera la résultante générale R,,34 ... en grandeur et en direction. Ce problème peut être résolu par le tracé suivant.
(29) . Solution graphique. (/ ig . 5). Soit M le point d’application
des forces représentées en grandeur et en direction par M F, , MF», MFj.MF,, ...j par l’extrémité F, de la première force MF, , menez F, f2 parallèle et égale à MF, et dirigée dans le même sens ; par le point ainsi déterminé, menez/, f3 parallèle et égale à MF3 et dirigée daus le même sens et ainsi de suite jusqu’à laderniére force
MF4 , dont la grandeur et le sens sont représentés par la droite qui va de f3 à fv La droite qui joint le point M au point ^ représente, en grandeur et en direction, la résultante /,R = M ft du système. T.e sens de son action est toujours indiqué par la flèche qui marcherait du point d'application M vers le point déterminé fK. Donc la force MS, qui produirait l’équilibre du système, serait égale à M/4 et dirigée en sens inverse.
(30) . Et si la force M S avait fait partie du premier système., ce système eût été en équilibre de lui même et le polygone MF,/,/j/4M se fût lermé.
Donc, lorsqu’un nombre quelconque de forces, agissant sur un môme point M, peut être représenté en grandeur, direction et sens par les côtés d’un polygone qui se ferme de lui -même, le point M est en équilibre.
(51). Méthode des coordonnées rectangulaires. Celte méthode est surtout employée dans les traités de mécanique rationnelle ; nous en rappelons le principe.
Soient (fig. 6) F, F,F3 ... des forces situées dans un môme plan , appliquées à même point matériel M et représentées, en grandeur, direction et sens, par les droites MF,, MF,, MF3; menez par le point M deux droites perpendiculaires entre elles M x, , My3 , mais dirigées, d’ailleurs, d’une manière quelconque. Des extrémités F’,, F,, F j de chacune des forces, abaissez, sur les coordonnées Mx, , Mt/3 les perpendiculaires
Par un point O quelconque du plan des forces, menez deux axes OX, OXr, respectivement parallèles a M x, , M y3 ; portez bout à. bout, sur ces axes, les longueurs
Ox, — Mx,, x, x, — M.r, ; x, x3 = Mx, ...
O»/, = VI y, , y, y, = M y,, y, y3 = My, ...
en observant le sens des composantes et remarquant que, s’il existait dans le système une force dirigée comme M F, , elles fournirait des composantes Mar4, My4 , qui devraient être portées de x3 en xA et de y3 en y4 , en sens inverse des premières ; nous ferons ici abstraction de cette dernière force.
Complétant le parallélogramme 0#3y3R, on aurait OR. en grandeur, direction et sens, pour la résultante des forces MF,, MF,, MF3, appliquées au point matériel M, supposé transporté en O.
Il est évident que l’on produirait l'équilibre dans le système, si l’on substituait à OR une force égale et directement contraire OS, qui passerait dès lors dans l’angle X,OY,.
Si l’on décomposait celle force OS suivant OX* et OY‘, sa composante, suivant OXl, serait visiblement égale et de signe contraire à la somme des composantes des forces suivant O X, et sa composante suivant O Y,, égale et de signe contraire à la somme des composantes F,, F2, F3, suivant O Y.
(32) . On peut conclure.de là que l’équilibre ne peut exister de lui-méme entre toutes les forces appliquées à un point matériel dans un même plan, qu’autanlque la somme algébrique des composantes, suivant chacun des axes, est nulle d’clle-mémc.
(33) . Solution par le calcul. On substitue facilement le calcul à ce procédé graphique. Soient, en effet (fîg . 6), a,, a2, «3 ... les angles formés par les forces MF,, MF,, MF3 avec l’axe horizontal O X , a l'angle de la résultante R avec le même axe, ou a
Mi, = 0.r, = F, cos a, ; My, = Oy, = F, sin a,
Mi, = = F, cos a2; Mya =y,ya = F, sin a,
cl ainsi de suite, d'où
F, cos a, -(- F, cos aQ -|- F, cos a3 -f- = R cos a = X
F, sia a, -j- F., sin a2 -\- F3 sin a3 -(- = R sin a = Y
cos = -; sin a—-: lang a = -
Observons que les cosinus et les sinus doivent Être positifs quand les forces tendent à augmenter les coordonnées positives, et qu’ils sont négatifs dans le cas contraire. Les forces F,, F,, F3, sont toujours positives.
(34) . La valeur de R montre encore ici que l’équilibre ne peut avoir lieu dans le système, ou, en d’autres termes, que la résultante du système ne peut être nulle qu autant que l’on a à la fois
X = o et Y — o
l’équilibre n'aurait pas lieu si une seule de ces équations était satisfaite; la résultante serait alors parallèle à l’un des axes. Ainsi :
X = R cos a = o,
R n’étant pas nulle, suppose cos a — o, ou a = 90°; c’est-à-dire que la résultante serait parallèle à l’axe des Y, ou perpendiculaire à l’axe des X.
Y = R sin a = o suppose a = o ou 180° et la résultante parallèle à l’axe des X ou perpendiculaire à celui des Y.
(35). Je crois utile de donner ici une application numérique do ces formules, dont on ne saisit pas toujours bien le sens, en remarquant que la table des sures dispense de l’emploi des logarithmes et abrège beaucoup ces calculs.
Applications numériques. Soient F,, Fa F3, ... respectivement égales à 20 , 25 et 30 kilogrammes;
Les angles Fs M F2 = 30° ; FaM F, = 28°, et F, Mx, = angle de F, avec l’axe des abscisses = 20° ;
On aura pour les angles respectifs formés par la direction de9 forces avec l’axe des X :
pour F,, a, = 20°; pour F,,, aa = 4 8°; pour F, , a, = 78°; d’où
X = R cos a = 30 X 0.2079117 -f 25 X 0.6691306 -f 20 X 0.9396926
Y = R sin a = 30 X 0.9781476 -f- 25 X 0.7*31448 + 20 X 0.3420201 X = R cos a = 41*. 759468 Y = R sin a = 54*. 76345
C’est la grandeur de la résultante. Il a fallu, pour l’obtenir, former «leux carrés en faire la somme et en extraire la racine.
L’utile théorème de M. Poncelet réduit cette recherche à deux multiplications et une addition. Comme on sait ici que Y est plus grand que X, on a :
R = 0.96 X 54.76345 + 0.40 X 41.759468, d’où
R = 69* 2 , approximation très suffisante, mais qui peut, d’ailleurs, être encore plus exacte (Voy. Radicaux).
Pour avoir la direction de là résultante, on a :
tang a = - = 1.31140203
C’est la tangente de l’angle formé par la direction de la résultante avec l’axe des X. Ce nombre répond à un angle de 52° 40' *|. En retranchant 48°, il reste 4° 40' ~ pour l’angle formé par la résultante avec la direction de Fa, en dessous de cette dernière force.
Lorsque la direction de la résultante est connue, on en obtient la grandeur, sans extraction déraciné, par la relation:
Les calculs sont un peu moins longs lorsque la direction de l’axe des X se confond avec celle de l’une des forces, avec MF,, par exemple. Les données numériques restant comme ci-dessus, on trouverait :
pour la somme Y des composa nies suivant OX, X -- 57* 971269; pour celle Y des composantes suivant OY, Y = 37*. 178233; Y
d’où - = 0.6413332 = tang 32“ 40' f j
et
sin 32° 40' fj
(36). On remarque que, lorsque des forces situées dans un même plan sont en équilibre, leurs projections sur un môme plan quelconque forment un système en équilibre.
(37). B. Forces appliquées a un même point et situées dans
