DES PLANS QUELCONQUES

Lorsque trois forces d’intensités P, P', P" agissant sur un même pointA (fig. 7) dans des directions relatives PAP', PAP", P'AP", sont représentées en grandeur et en direction par les droites AP, AP', AP", leur résultante R est en grandeur et en direction la diagonale AR du parallélipipède dont ces trois forces sont les côtés adjacents A P, A P', A P'' ; l’on a donc :

R* = P*-f- P'* ■+■ P',s-f 2 PP' cos PAP' -f 2 PP" cos PA P” 4- 2 P' P" cos P'AP".

Il en serait de même des chemins simultanément décrits ou des vitesses simultanées du point A (18).

(38 . Les cosinus devenant zéro lorsque les angles des forces sont droits, on a alors

et la résultante en grandeur et en direction est la diagonale du parallélipipède rectangle construit sur les trois forces.

C’est à ce dernier cas que l’on a coutume de ramener le problème général :

(39). Etant donné un nombre quelconque de forces P, P', P", P’"... appliquées à un même point A et situées dans des plans quelconques, déterminer leur résultante R en intensité et en direction.

Par un point quelconque O de l’espace , imaginez trois axds in-

définis X'OX, Y' O Y, Z'OZ perpendiculaires entre eux, ot chacun au plan des deux autres.

Par le point A. d’application de toutes les forces , imaginez un autre système d’axes parallèles aux premiers. Projetez chacune des forces P, P', P", P"' sur le second système d’axes, vous aurez en général trois projections pour chaque force. Portez toutes ces projections bout à bout et à la suite les unes des autres, en ayant égard au sens des composantes (31), sur les axes correspondant dans l’espace. La somme des projections sur chacun des trois axes sera le côté du parallélipipèdc rectangle dont la diagonale représentera en intensité et en direction la résultante R de toutes les forces P, P', P", P'"..., etc.

(40) Solution par le calcul. Soient :

R, P, P', P", P"'... la résultante et les forces;

les angles respectifs formés par chacune d’elles avec...

et soient X, Y, Z la somme de leurs composantes suivaut chaque axe, on a :

X = R cos a = P cos « -j- P* cos a' -}- P" cos a" -J- P ” cos a"' -|- . . .

T — R cos (3 = P cos b P' cos b' -f- P" cos b" -f- P"' cosi " -|- . . .

1— R cos V — P cos c -j- P' cos c -f- P” cos c" -f- P'" cosc'"

P = X2-|- Y1 -f-Z2 pour déterminer l’intensité de la résultante;

os a = cos ^ = - cos y = - pour déterminer sa di-

rction.

Il faut qu on ait toujours

cos* a -j- cos 1 jü -}- cosJ y= 1 •

(41) . Si le calcul donnait disjonctivement zéro pour l’une ou liutrc des valeurs X, ou Y, ou Z, c’est que le cosinus de l’angle fnné par la résultante avec l’axe correspondant serait nul. Cet aglc serait donc droit.

Par exemple, si l’on trouvait pour Y et Z des valeurs qui ne fussot pas nulles, et qu’on eût en même temps X = 0 , il en résultera cos a= 0 , 90.

.a résultante R serait située dans un plan perpendiculaire à l’axe deX.

)e même si l’on trouvait à la fois X=ü,Y=0ctZ = une valer qui ne fût pas nulle, on en conclurait que la résultante est prpendiculaire au plan XO Y ou parallèle à* Taxe U Z.

(l’axe OX l’axe O Y (l’axe O Z

(42) . Condition d’équilibre. Que si au contraire on trouvait simultanément :

on en conclurait que les forces données P, I*', P", P"'... se font équilibre d’elles-mémcs.

Réciproquement on déduira les conditions d’équilibre du système des forces P, P’, P", P"... en résolvant les trois équations suivantes qui doivent avoir lieu à la fois:

X = Oj Y=0, Z =0.

(43) . Observations. Dans les formules ci-dessus on prend toujours les forces positivement, quant aux cosinus ils seront positifs lorsque la force correspondante tend à augmenter les coordonnées positives comptées sur l’axe avec lequel l’angle est formé, ils sont négatifs dans le cas contraire.

(44) . C forces j situées dans un mime plan, appliquées d différents points d’un corps solide. Considérons d’abord le cas où les forces sont parallèles, on pourra toujours couper leur direction commune par une droite perpendiculaire à cette direction et le problème rentrera alors dans le cas de forces parallèles appliquées pcrpcndiculaircmcnl à une même droite invariablement liée au corps.

(45) . Deux forces parallèles. S’il n’y a que deux forces parallèles P, P' de même sens (/fy. 8), on imaginera dans le corps une droi.e AB perpendiculaire à leur direction, leur résultante R sera parallèle aux forces, dirigée dans le même sens, égale à leur somme «t sa direction coupera la droite A B en deux segments réciproquement proportionnels aux intensités P, P'. On aura donc:

P x AF = P' X F B ou Pp= P>' en faisant AF = p et F B =p'.

(46) . Moment. On a donné le nom de moment par rapport à tm point F à ces produits P p, P ' p de forces PP' par les plus courtes distances/»/)' de leurs directions respectives à ce point, pris d’ailleurs arbitrairement.

On appelle aussi moment d’une force par rapport à une droite, moment par rapport à un plan, le produit de celte force par la plus courte distance de sa direction à cette droite ou à ce plan.

(47) . Lorsque trois forces P, S, P' ( fig . 8) agissant perpendiculairement à une droite la maintiennent en équilibre, l’une d’elles S est de sens contraire aux deux autres, égale à leur somme; et l’une quelconque des trois fcrccs est à l’une quelconque des deux autres

en raison réciproque des distances de leurs points d’application respectifs au point d’application de la troisième. D’où :

s ; P ; p ; : ab ; fb ; af Sp =P/j Sp = Ÿ'l -, Pp — V'p.

(48) . On tire de la dernière équation P ‘ P' * * FB ’ A F les suivantes :

P+ P': P :: FB + AF : FB = ^ ^ =p>

pi V A II pi /

P + P': P' :: FB + AF : AF = !-*? = JLL = p

relations qni donnent les segments AF =.p et F B = p', en (onction des forces et de la longueur de la droite AB =f.

(49) . Quand deux forces P, S ( fig . 8) parallèles et de sens contraires, agissent perpendiculairement à la même droite, leur résultante R' égale leur différence S — P et son point d’application est donné en général par la même relation que ci-dessus.

(50) . Couples. Toutefois, si les deux forces P, S appliquées à des points différents de la droite AB étaient égales et de sens contraires, elles formeraient ce que M. Poinsot a nommé un couple, système dont la distance a, des points d’application de P et de S, serait le bras et dont l’énergie aurait le produit P a pour mesure. Ce produit s’appelle moment du couple. Aucune force unique ne produirait sur la droite l’effet du couple Pa. Cet effet ne pourrait être produit que par un couple équivalent F q, c’est-â dire tel qu’on eût entre les moments de ces deux couples l’égalité

Fç = Pa.

Un couple équivalent à Pa et de sens contraire ferait seul équilibre à Pa ( [Voy . la Statique de M. Poinsot ).

(51) . Lorsqu’un nombre quelconque de forces parallèles P( , Pa , p ) Pv . . agissent perpendiculairement à la même droite en différents points, leur résultante R est égale à la somme algébrique des forces; et si l’on prend un point quelconque de leur plan pour origine des moments, le moment de la résultante sera égal à la somme algébrique des moments des composantes.

On a donc, en général, en ayant soin de donner des signes contraires tant aux forces qui agissent sur la droite en sens contraire, qu’aux distances Pl, p3, h l’origine des moments situés de différents côtés par rapport à celte origine.

R = I>l + Pî + P, + P4 + ...

Rr = P1pl + Pîpî + P3pJ + P4f4+...

La première équation déterminera la grandeur de la résultante R j la seconde donnera

PiJ>i + P.P. + PiP» + —

pour la plus courte distance r de la direction de celte résultante à l’axe ou origine des moments. Celte résultante est d’ailleurs parallèle aux composantes.

(52) . Si l’on trouvait zéro pour la somme algébrique des moments, sans que la somme abgébriquc des forces ou R fût ellemême = zéro, ce caractère indiquerait que r =: o, c’est-à-dire que la résultante passe par l’origine des moments.

(53) . Au contraire, si la somme algébrique des forces ou R était zéro sans que la somme algébrique des moments fût = zéro, c’est qu’il y aurait un couple (50) dans le système des forces données.

(54) Conditions de l'équilibre. Pour que l’équilibre ait lieu dans un système de forces P,, P2, P3, P4 ... parallèles entre elles et toutes situées dans un même plan, il faut et il suffit que la résultante R des forces soit nulle ainsi que le moment Rr de celte résultante; ce qui exige qu'on ait à la fois les deux équations suivantes satisfaites :

R = Pi + P2 + P3 + l\... = o Rr=P,p, + P2pa + P sp3 + ... = 0

La première assure l’équilibre du corps quant à la translation et la seconde quant à la rotation.

(55) Si les forces P, P', P", P'" ... sont dirigées d’une manière quelconque (lîg. 9) sans cesser d’étre dans le même plan, on prendra dans ce plan un point .M quelconque pour origine des moments; on conduira par ce point deux axes MX, MY que, pour plus de simplicité, on fera perpendiculaires entre eux; puis :

1° On décomposera chacune des forces parallèlement aux deux axes;

2° On fera la somme des moments par rapport au point M et prenant a, a! , a", a"1 ... a pour les angles respectifs formés par les forces et leur résultante R avec l’axe des X, cl X, Y pour les sommes algébriques des composantes suivant chaque axe , on aura

1* cos n P' cos n- + P" cos a'1 -j- I”" cos a1" -f- ... = R cos a = X

P sin o -J- P‘ sin n1 -)- P" sin a" -f- P"' sin a"’ -p ... = lt sin a = Y IV r l> -f P>' -f V 'p" -)- -j-

coso. = -; sin n ~ — ; langa:=-

La grandeur et le sens de la résultante ( fig . 9) sont les mômes que si toutes les forces avaient été transportées parallèlement à ellesmêmes en un point quelconque de leur plan et appliquées à ce point; sa situation est donnée par la valeur de r que l’on tire de la dernière équation et qui mesure la distance de sa direction à l’origine M des moments. Ou eût pu prendre pour celle origine tout autre point du plan.

Dans ces formules les forces ont toujours le signe -f-, mais on fait les cosinus et les sinus positifs 'quand les forces tendent à augmenter les coordonnées positives; ils sont négatifs dans le cas contraire. Quant aux distances p, p\p" ,p"‘ on leur donne des signes contraires pour les forces qui tendent à faire tourner le corps en sens contraire autour de l’axe des moments.

Si R n’étant pas nulle on trouvait r = 0, c’est que la résultante passerait par l’origine des moments.

Si alors cette origine était un point matériel immuable, un axe fixe par exemple, l’équilibre aurait évidemment lieu dans le système en vertu de la réaction de ce point fixe; quelles que soient d’ailleurs les valeurs qu’on trouverait pour X et Y.

(56) . Condition de l'équilibre. En général on produirait l’équilibre dans le système en y introduisant uno force S égale, directement contraire à la résultante R cl appliquée au môme point.

L’équilibre aurait lieu de lui-mème entre les forces P, P', P", P"... si l'on avait à la fois

X — 0 Y = 0 et R r = 0 ,

les deux premières équations ayant lieu simultanément, l'équilibre du système est assuré quant à la translation du corps dans le [dan; la troisième assure l’équilibre quant à la rotation dans le môme plan.

(57) . Applications diverses. Soit ( fig . 10) A B un axe fixe auquel est assujetti un corps solide de telle sorte qu’il ne pourrait se mouvoir qu’en tournant autour de cet axe. Supposons d’abord que des forces parallèles à l’axe soient appliquées au corps solide.

Si ces forces se font équilibre l’axe ne supportera aucun effort.

Si elles ne se font pas équilibre, cet équilibre ne pourra naître qu’en vertu des efforts qui auront lieu contre l’axe. Dans ce cas les forces auront une résultante R égale à leur somme algébrique.

Si celle résultante se confond avec l’axe À B, son unique effet esl de tirer le corps dans le sens de l’axe, el si un obstacle fixe D s'oppose à ce mouvement, l’obstacle souffre une pression = R.

(58). Si la résultante R des forces parallèles à l'axe passe à une distance quelconque Cr de cet axe, et que au poinlB, par exemple, un obstacle s’oppose à ce que le corps glisse le long de l’axe sous l’action de la force R, cette force non-seulcinent tirera le corps dans le sens de l’axe, mais encore elle tendra à le faire tourner autour du point B d 'où naîtront, aux limites du corps que nous supposons être en A et B, des réactions p,v, perpendiculaires à l'axe outre l’effort qui a lieu en B dans le sens de l'axe.

Appelons X la réaction du point B dans le sens de l’axe, p, v les réactions perpendiculaires à l’axe aux points A et B.

On pourra faire abstraction de l’axe et considérer le corps comme libre et soumis à l’action des quatre forces X, p, v, R, toutes situées dans un même plan. Prenant un point quelconque, le point B par exemple pour origine des moments, on a, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, pour les équations d’équilibre:

X — R = 0 p — v = 0 pX A B = R xCr ou X = R p = v = R X rjj

c’est-à-dire que l'effort exercé dans le sens AB est encorc= R, que les pressions perpendiculaires à l’axe souffertes par A et B sont toujours égales, quelle que soit la position de ces points, et que l’une ou l’autre est à la force R, comme la distance de celte dernière force à l’axe est à l’intervalle AB.

(59). Voici uuc question du même genre où l'on tient compte des frottements (pi. XXIX, fig. 1) :

Soit AB la lige verticale d’un pilon de poids Q sollicitée verticalement de bas en haut par la pression P d’une came tangente en M à la surface inférieure d’un mentonnet. Cette pression donne lieu à un frottement /'P; en désignant par /’ le coefficient de ce frottement pour la came el le mentonnet. Cette force f' P peut à son tour être décomposée en deux autres forces parallèles appliquées en a et a

et donnant lieu, savoir : en a à l’effort — — cl en à à l’effort

désignant par l l’intervalle des prisons, et par

en

y la distance variable du dessous du mentonnet à la prison inférieure.

Quant à la force P, si l’on appelle x la distance de son point d’ap. plication à l’axe du pilon, elle donne lieu à des efforts égaux et de sens contraires en a et en a perpendiculairement à l’axe de la tige

cl dont lu valeur absolue est — ; on a donc définitivement pour l’cfTort total en a 1

Vx (Vy

pour l'effort en a'

p* , rv (< — »)

et si f désigne le coefficient du frottement pour la tige et les prisons, on a

d’où l'on lire

'-»») >-*r* + rrit-iy)

expression qui montre qu’il y a de l’avantage pour la puissance P à diminuer a: et à augmenter la distance / des prisons. (Voy. le Cours de Mécanique appliquée aux machines de M. Poncelet.)

(60) . I) forces appliquées d différents points d un corps solide et situées dans des plans quelconques. Ce cas général ne se présente presque jamais dans la pratique; on le ramènerait au reste aux deux cas précédents en prolongeant toutes les forces jusqu’à ce qu’elles rencontrent un même plan qu’on suppose invariablement lié au corps sur lequel les forces agissent, et prenant pour leurs points d’application ceux où elles coupent ce plan. On les décompose alors chacune, à ces points, suivant deux droites, l’une perpendiculaire au plan, l’autre qui est la projection de la force sur ce plan. Les forces données se trouvent alors remplacées par un groupe de forces parallèles entre elles et un autre groupe de forces toutes situées dans un même plan , on déterminera la résultante et les conditions d'équilibre du premier groupe, puis (C) la résultante et les conditions d'équilibre du second. Si les résultantes des deux groupes se rencontrent , on les composera en une résultante générale. Si elles ne se rencontrent pas , c’est que les forces données ne peuvent être remplacées par une résultante unique et se trouvent réduites à deux forces ayant des directions perpendiculaires entre elles.

(61) . L’équilibre ne pourra donc exister entre les forces données qu’autant qu’il existera séparément dans chacun des groupes au» les auront remplacées.

(62) . On peut encore projeter toutes les forces sur trois axes rec? angulaires, et si X, Y, Z sont les composantes d’une force F suivant chaque axe, x, y, z les coordonnées de son point d’application par