ASSURANCE
quent suffisamment les détails de la planche. Une clef zz retient l’assemblage en joint, et celle clef elle-même est maintenue en place par deux bandelettes en fer parallèles à l’axe de la roue. Ces bandelettes ne sont point figurées ici.
ASSURANCE. Un industriel évalue à une somme S le dommage que lui causerait la perle d'une propriété quelconque, bâtiment, usine, navire :
« est la chance de perte, telle que l’expérience l’a fait connaître;
q est la valeur de ce qu’il possède en dehors de la somme S ;
p est ce qu’on lui demande au total pour lui rembourser S en cas de perte. Il peut accepter ce mode d’assurance, s’il trouve que :
cl selon que q sera plus ou moins considérable qu’il ne le faut pour que cette équation soit satisfaite, il devra refuser ou accepter l’assurance.
De môme soit q' le capital de l’assureur, il pourra se livrer à cette spéculation, s’il trouve
Elle lui sera avantageuse, si son capital s’élève à une somme q1 plus forte que ne l’exige celte équation, et désavantageuse dans le cas contraire.
Soient S = 10000 fr. le dommage que causerait à un maître de forges l’incendie d’une charbonnière; a = ^ la chance que le feu la détruise; q— 5043 fr. la valeur de ce qu’il possède indépendamment de S; p — 800 fr., ce qu’on lui demande pour lui rembourser 10000 fr. en cas de perte. L’équation (1) est exactement satisfaite, et il doit accepter l’assurance. De son côté, l’assureur ne doit pas se livrer à cette spéculation , s’il possède moins de 142*3 fr.
11 faudrait qu’il possédât 29878 francs pour ne demander que 600 fr. d’assurances au lieu de 800 , les risques demeurant les mêmes; et le maître de forges aurait tort de rejeter l’offre, tant que son bien q ne s’élèverait pas à 20478 fr. (Voyez BernouiUi , Laplace , Lacroix .)
ASTRONOMIE. Nous ne saurions avoir la prétention de résumer cette vaste science; nous nous proposons seulement de réunir ici les notions indispensables aux ingénieurs, et les données numériques dont ils font un fréquent emploi.
Solbil. Etoile autour de laquelle la terre et les planètes connues
sont emportées d’un mouvement commun dirigé pour toutes dans le même sens. Les taches dont la surface du soleil est couverte ont fait découvrir en lui un mouvement de rotation, qui s’accomplit en 25 jours { autour d’un axe, dont l’équateur est incliné de 7° 20' sur le plan de l’orbite que décrit le centre de la terre autour de lui, dans le sens môme de la rotation de cet astre. Il résulte de ce mouvement de translation de la terre, et de sa rotation propre, que celle du soleil sur son axe parait, à un observateur terrestre, s’accomplir en 27 jours a.
L’angle sous lequel le diamètre du soleil nous apparaîtrait, si nous nous transportions au centre de la terre, varierait, suivant les saisons, de 31' 31'' à 32' 35 '. 6 ; ce qui indique que les distances de la terre au soleil varient elles-mêmes aux diverses époques de l’année. A la distance moyenne, le rayon du soleil soutend un arc de 16' 1'', tandis que le rayon terrestre, vu du soleil, ne soutendrait qu’un angle de 8". 5776. Cette distance moyenne est d’environ 38 millions de lieues vulgaires; elle varie de même que les angles soutendus par le diamètre solaire. Elle est de 33925512 lieues de 2280 toises à son minimum , et de 35085432 de ces lieues à son maximum.
Cette distance minimum correspond à l’hiver de notre hémisphère, et l’autre à notre été; de sorte que la terre, pendant l’été de nos climats, est d’un million de lieues environ plus éloignée du soleil que pendant notre hiver.
Le diamètre absolu du soleil est d’environ 109.93 diamètres terrestres ou 315000 lieues. Le volume de cet astre est 1395324 fois celui de la terre; toutefois sa masse n’est à celle de la terre que dans un rapport moindre, qui est celui de 354936 à 1 . En tenant compte de ces accroissements de niasse et de rayon, on trouve, en négligeant les effets de la force centrifuge, qu’un corps qui pèse 1 kilogramme à la surface de la terre pèserait environ 29 kilog. 5 à la surface du soleil, et les corps graves y parcourent à peu près 145 mètres dans la première seconde de leur chute.
Indépendamment de son mouvement de rotation sur son axe, le soleil est animé d’un mouvement de translation dans l’espace. Il s’avance, en emportant la terre et tout le cortège des planètes, vers un point de l’espace situé dans la constellation dllercule ( planche I) ; de sorte qu’il n’existe point, dans toute celte partie de l’univers sur laquelle nous possédons quelques données, une seule molécule de matière qui soit en repos.
La densité moyenne de la matière du soleil est environ 1 . 4, ou le quart de celle de la terre.
Terre. Autour du soleil se meut la terre (pl. III, fig. 4), suivant une ellipse , dont le soleil occupe un des foyers. Animée comme lui d’un douhlc mouvement de rotation autour d’uu axe et d’un mouvement de translation, elle accomplit le premier uniformément
en 23 h. 56' 4" ou un jour sidéral , et le second en une année ou environ 365 jours J, c’est-à-dire qu’elle fait environ 365 tours J sur elle-même, dans l’intervalle de deux, passages au même point de son orbite. Cette translation et celte rotation s’opèrent dans le même sens, c’est-à-dire de l’occident vers l’orient, de sorte qu’un spectateur qui, séparé de la terre, marcherait en la suivant, la tête tournée vers l’extrémité supérieure de son axe de rotation aurait sans cesse le soleil à sa gauche, et qu’un point quelconque de la surface terrestre, en tournant, passerait toujours de la gauche vers la droite de cet observateur.
Ce double mouvement de rotation et de translation appartient au reste non-seulement au soleil, à la terre, mais encore à toutes les autres planètes, à leurs satellites, peut-être même aux étoiles; cl l’on ne doit pas s’en étonner, car ce double mouvement est le plus général parmi ceux que prennent les corps libres qui se meuvent en vertu d’impulsions primitives quelconques.
On sait, en effet, que « quel que soit le nombre des impulsions « différentes qu’un corps libre ait pu recevoir en tant de points et « suivant telles directions qu’on voudra dans l’espace , ces forces « sont toujours réductibles à un moment résultant qui fait tourner « le corps autour de son centre de gravité, et à une résultante uni- « que appliquée à ce môme centre de gravité, et qui transporte « toutes les parties du corps, suivant des directions parallèles entre « elles. »
Pour que les planètes ne tournassent pas sur elles-mêmes, il aurait fallu que toutes les impulsions primitives se fussent réduites pour chacune d’elles à une seule force, passant exactement par leur centre de gravité; et pour quelles n'eussent d’autre mouvement que leur mouvement de rotation, il aurait fallu que toutes les impulsions transportées au centre de gravité, s’y fissent exactement équilibre, et que de toutes les forces appliquées, il ne résultât qu’un seul couple. Ce qui présente un second cas particulier aussi invraisemblable que le précédent. (Poiusot, noie sur le double mouvement des corps cèles les.)
Ce mouvement de transport ou de translation des planètes s'infléchit, comme nous l’avons dit, suivant des ellipses dont le soleil occupe un des foyers, et ce, par l’effet de I’attbaction réciproque de la masse solaire et des masses respectives des planètes.
Kepler a démontré que dans ce mouvement les aires décrites autour du centre solaire par les rayons vecteurs des planètes, sont proportionnelles aux temps employés à les décrire.
Et que les carrés des temps des révolutions des planètes sont entre eux , comme les cubes des yraiuls axes de leurs orbites.
I.c plan de l’ellipse décrite par la terre eu particulier a reçu le nom d'écliptique. Nous avons donné ci-dessus les grandeurs appro-
chées de ses demi-axes. L’axe de rolalion de la lcrrc forme un angle à très peu près constant avec le plan de l’écliptique et égal aujourd'hui à 66° 32' 23. "64. Le plan perpendiculaire à l’axe de rotation forme donc avec l’écliptique un angle dièdre de 23° 27' 36. "36. C’est ce dernier angle qu’on nomme obliquité de l’écliptique. Il diminue d’environ 48" par siècle, et c’est h son invariabilité presque complète, à la constance de cette inclinaison de l’axe terrestre, à celte propriété de rester parallèle à lui-méme dans toutes les positions de la terre autour du soleil qu’est duc la succession des saisons, sur laquelle nous reviendrons tout à l’heure.
Figure de la terre. Ainsi que le remarque l’illustre auteur de la Mécanique céleste : « Le penchant naturel à l’esprit humain de sup- « poser aux objets la forme qu’il conçoit le plus aisément, le porta « à donner une forme sphérique à notre planète. » Cette hypothèse n’a point été confirmée par les mesures directes; on peut l’admettre dans une exposition générale; il faut, au contraire, la rejeter toutes les fois que l’on recherche des résultats exacts. On donné alors, ou mieux on prête à la terre une forme qui se rapproche un peu plus de sa forme réelle, qu’on assipaile, en pareil cas, à celle d’un ellipsoïde engendré par la révolution d’nnc demi-ellipse ( pl . HT, fig. 3) autour de son petit axe />/>', dont la direction coïncide avec son axe de rotation.
Admettons cependant, pour un instant, que la terre ait une forme assez sensiblement sphérique, et nommons (pl. III, f>9- 2).
Pôles terrestres , les points p p', où l’axe de rotation P P' perce la surface ;
Equateur terrestre, le grand cercle E'oE 180, dont le plan est perpendiculaire à l’axe P P’ ;
Méridien terrestre, tout grand cercle pop', p M p1 perpendiculaire au plan de l’équateur, cl passant dès lors nécessairement par les pôles pp. On voit qu’il y aura autant de méridiens qu’on peut imaginer de points dans la circonférence de l’équateur. Parmi tous ces méridiens, choisissons celui qui passe par l’observatoire
tle Paris, et marquons d’un zéro o le point où il coupe la circonférence de l’équateur, et 180° l’autre extrémité du diamètre qui passe par ce point. Nous aurons ainsi ce qu’on nomme notre premier méridien, ou mieux le méridien zéro. Cela posé ,
L’angle dièdre o C E, compris entre le plan de ce méridien zéro et celui du méridien qui passe par un point quelconque M, est la longitude de ce lieu ;
L’angle plan E C M, formé dans le plan du méridien d’un point quelconque M par le rayon C E de l’équateur et le rayon C M qui aboutit au point M , est la latitude du point M. On démontre que cet angle /rzzlahaulcur du pôle céleste P au-dessus de l’horizon T T‘ J u point M.
La longitude d’un lieu est dite orientale ou occidentale, suivant que, par rapport au méridien zéro, ce lieu est situé du côté où le soleil se lève ou du côté où il sc couche. Elle se compte de o à 180° dans l’un ou dans l’autre sens.
La latitude d’un lieu est australe ou boréale , suivant que ce lieu est situé, par rapport à notre observatoire, au-dessous ou au-dessus du plan de l’équaicur E' o E. Elle s’estime aussi en degrés, minutes, secondes, depuis o, qui est la latitude do l’équaicur, jusq’â 90°, qui est la latitude de chaque pôle p ou p' .
Si, par chacun des points de division du méridien, on mène des plans parallèles à l’équateur, la surface sphérique sc trouvera coupée par des cercles, tels que MNM', qu’on nomme parallèles.
Tous les points d’un même hémisphère, situés sur un même parallèle, ont donc même latitude de même dénomination; tous les points situés sur un même méridien, et d’un même côté de l’axe terrestre, ont même longitude.
La longitude et la latitude sont suffisantes, mais nécessaires, pour déterminer géographiquement la position d’un point à la surface terrestre supposée sphérique. Il faut une ordonnée de plus, l’altitude ou hauteur au-dessus du niveau des mers, si l’on tient compte des inégalités de la surface. On trouvera aux mots uactebr et coordonnées GÉOGRAPniQirBS un assez grand nombre de ces valeurs numériques, ainsi que quelques méthodes pour obtenir la longitude et la latitude d’un lieu, soit à terre, soit à la mer.
Il peut être utile de prévenir ici que ces mots latitude et longitude n’ont plus la même acception, lorsqu’il s’agit de poinlscélcstcs.
La latitude d’un point céleste, d’un astre, est l’arc du grand cercle compris entre le plan de Y écliptique et le centre de l’astre.
La longitude d’un point céleste ou d’un astre est l’arc d’écliptique compris entre le cercle de latitude et le point y d’intersection de l’ccliptiquc et de l’équateur (planche I). Ces coordonnées s’appellent longitude et latitude astronomiques. La longitude astronomique se compte d’occident en orient, depuis le point équinoxial v > où elle est zéro, jusqu’à 360°; la latitude se compte de o à 90°. Elle est australe ou boréale , suivant qu’elle est prise du côté du pôle austral ou du pôle boréal de l 'écliptique.
Cela posé, admettons la forme ellipsoïdale de la terre, et vérifions cette forme à l’aide des mesures directes.
Soit E p M E' (pl. III, fig. 3), la coupe de l’ellipsoïde engendré par une demi-révolution autour de son petit axe C p, passant par le centre et les pôles, et soient
a = C E le rayon du parallèle équatorial ou de l’équateur, ou le demi-grand axe;
b =C p le rayon polaire, ou le demi-petit axe;
F le foyer, cl CF l’excentricité;
e = — le rapport de l’excentricité au demi-grand axe ;
T M T' une tangente à un point quelconque M, dont
I=T'KP est la latitude, ou la hauteur du pôle au-dessus de l’horizon T T' de M ;
Et x' y’ les ordonnées rectangulaires par rapport au centre C de l’ellipse;
n = M N étant la normale de ce point qu’on appelle grande normale ;
n' = M q ce qu’on nomme la petite normale;
R son rayon vecteur CM qui, dans l’ellipsoïde, diffère en général de la normale n = M N ;
t l’angle C M N, toujours très petit, que fait le rayon vecteur R avec la verticale ou normale MN = n du point M, dont la latitude astronomique ou apparente est /,*
/' la latitude géucentrique MCE du point M, ou la hauteur du pôle pour le spectateur qui serait transporté de M au centre C de la terre, et qui aurait CM pour sa verticale;
6 = M T la tangente du point M terminée au grand axe;
e' = MK la tangente du point M terminée au petit axe;
— V aplatissement de l’ellipsoïde, et qui n’est pas, comme on
l’indique dans beaucoup d’ouvrages, la différence des demi-axes, mais qui est le rapport de cette différence au grand axe :
On a en général
et comme p ne diffère pas beaucoup de 300, on néglige souvent — et l’on a, à fort peu prés,
le carré de l’excentricité est le double de l’aplatissement.
Voici les valeurs des lignes géodésiques : on trouvera les démonstrations qui y conduisent, dans la géodésie de Puissant ou dans celle de M. Francœur, excellent résumé très utile aux ingénieurs.
: a* a cos. I
X — Pfa*4-6Mang.*0 ~ y j e.
to
6* tang. I
o(l — e*) sin. 1
V (a’ + ftHang.* /) V i— «* sin.» /
on remarque que x' est aussi le rayon du parallèle de M.
e * (1 — e*) sin.* I
rayon vecteur =R = a J/]
• 1 — e*(2 — e*) sin.’
0 |/ [ 1— e* sin.*/
1— «' sin.* /
Grande normale = n — = ■ —
cos. ( H— «»sin.*i
(l fj—
Petite normale z=.n' — - — = —
s»>- 1 V 1 — e* sin.*/
