CARREAU. — CARTES

CARREAU. — Pierre de taille dont la dimension la plus longue est posée en parement. On ne doit guère donner aux carrcnwxunc longueur plus grande que trois fois leur hauteur, et une largeur plus grande que deux fois celte même hauteur : à moins que la pierre ne soit très dure.

Dans l’appareil dit par carreaux et boutisses, et qui par sa disposition forme une très bonne liaison entre une maçonnerie en pierres de taille cl celle en moellon qui constitue l'entre-deux des murs, le carreau et la boutissc se succèdent alternativement et forment ainsi une épaisseur inégale d’appareil.

CARTES (tracé des). Planches XXVI et XXVII. — L’impossibilité d’exécuter des globes assez grands pour montrer les détails de la géographie, la difficulté de les transporter, lors même qu’ils ont des dimensions peu satisfaisantes, a donné naissance à l’art de représenter, sur des plans, l’ensemble ou les diverses parties de la surface terrestre.

Celle surface n’étant point développable , c’est-à dire ne pouvant s’appliquer sur un plan sans déchirure ni duplicalure, il a fallu recourir à certains modes de représentation, tous plus ou moins infidèles, parmi lesquels on choisit ceux qui allèrent le moins les rapports de distance, d’étendue ou de configuration, suivant l’objet qu’on a en vue.

Considérés dans toute leur généralité, les modes de représentation se réduisent à deux.

Le premier consiste à supposer l’œil en un point déterminé, à disposer entre l’œil et la région à représenter un plan, cl à laisser sur ce plan la trace des rayons visuels menés de l’œil aux ^divers points à représenter; on a ainsi une véritable perspective. Les cartes tracées par celte première méthode, sont dites en projection stéréographique.

Le second consiste à projeter, suivant certaines lois, lcs'points de la surface ou de la région terrestre sur des surfaces développables, puis à développer ces dernières surfaces sur un plan. Les cartes ainsi construites sont dites en projection par développement.

La difficulté matérielle de projeter sur une carte tous les points d’un pays est évidente. On se borne donc aux projections des méridiens et des parallèles qu’on multiplie, d’ailleurs, avec le degré d’exactitude qu’on désire obtenir. C’est donc uniquement de la projection des méridiens et des parallèles que nous avons à nous occuper ici, quel que soit le mode de représentation qu’on adopte. Enfin, dans tout ce qui va suivre, on supposera la terre parfaitement sphérique.

Projections stéréographiques. Définition et propriétés générales.

Dans la projection stérêographique, on suppose le plus souvent ( fig . 1 , planche XXVI) que le plan de projection AB passe par le cen* tre de la sphère, et que l’œil ou le point de vue O est placé à la surface terrestre, à l’extrémité du rayon mené perpendiculairement à ce plan de projection. Dans cette hypothèse, on démontre que :

1° les projections des cercles de la sphère, l’œil étant à la surface, sont elles-mêmes des cercles, propriété qui était) connuc“dès le temps de Ptolémée;

2° La perspective de l’angle de deux courbes quelconques ne diffère point de l’angle lui-même, en sorte que les quadrilatères sphériques rectangles compris entre les méridiens et les parallèles sont représentés par des quadrilatères curvilignes rectangles aussi;

3° Les portions infiniment petites du globe prennent, dans rette projection, une ligure semblable à celles qu'elles ont. Mais celle similitude n’a lieu que par rapport aux espaces très petits.

Nous donnons ici, d’après MM. Puissant et L rancœur,’ les équations générales qui expriment les relations entre un cercle quelconque et sa perspective dans la projection stérêographique.

Soient (fig. 1 , planche XXVI)

A =z P N = P N' = distance à son pôle d’un cercle quelconque N N',

D= PQ = distance du pôle de ce même cercle au point Q diamétralement opposé à l’œil O,

p = ni — n'i = rayon de cercle n'n qui est lui-même la perspective du cercle N'N,

a = Ci la distance du centre C de la carte au centre i du cercle n'n perspectif de N'N,

€ =Cn 1 les distances du centre de la carte aux points nn' per- C' =: Cn' j spectifs de N et N’.

Faisant CO = l, on a facilement

C = tang. { (D — A) £' = lang. ± (D -f A) .... (I)

sin. D sin D

cos. I) -|- cos A 2 cos. J (D-j-i) cos. j (D — A)‘

sin. A sin. A

cos. D-f-cos. A 2 cos. s (D-f-A). cos. { (I) — A)‘

a sin. D

p siti. A

Projection sur l'horison (fig. 2). On prend ici pour tableau perspectif le plan du grand cercle de la sphère, mené parallèlement à

l’horison du lieu Q. L’œil est à la surface et en un point O, antipode du lieu Q.

Axe. L'axe P P' de la terre fait avec l’horizontale AB un anglo PCA = l = la latitude du lieu. PQ est la colalitudc — 90* — /. Du point O, menez les droites OP OP', elles détermineront sur AB les lieux p p' de la projection dos pôles.

Parallèles. Les parallèles sont des cercles dont les traces sont toutes perpendiculaires à PP'. Soit NN' la trace de l’un de ces cercles, menez de l’œil O les droites ON ON', elles détermineront, sur AB, le diamètre perspectif mi’ du parallèle NN'. Le centre de ce cercle est au milieu » de ce diamètre; on obtiendrait de même tous les autres parallèles et notamment l’équateur EA1 dont la perspective Q k O passe par les points Q et O.

Remarquant que / étant la latitude d’un parallèle, on a D=:90 — I, on déduit des équations générales ci-dessus les valeurs suivantes, qui permettent de calculer le rayon p de la projection de chaque parallèle, l’abscisse a de son centre, ainsi que la distance £, on a

cos. I

sin. / -f- cos. A sil). A

1 sin. / -f- cos- A C = lang. (45» — [l — J A).

Méridiens. Ils passent tous par les projections p p' des pôles, de sorte que l'axe pp' est une corde qui leur est commune. Sur le milieu F de pp‘, élevez une perpendiculaire indéfinie, elle contiendra les centres de tous les méridiens. Pour déterminer les centres de chacun d’eux, faites en p un angle 0 = Bp IP égal à la différence des longitudes du méridien à tracer et du méridien A p B qui passe par le milieu de l’hémisphère. Au point p menez p II perpendiculaire h p IP, H est le centre et 11 p le rayon du méridien : p II' est une tangente à ce méridien. On peut même réduire l’opération en menant immédiatement p II, faisant avec A p B, au point p, un angle B p II, complément de celui de Q qui est compris entre le méridien cherché et le méridien A p B du milieu de l’hémisphère. Chaque centre H, ainsi déterminé, a son correspondant h de l’autre côté de AB, à une distance FA = FH.

On a d’ailleurs, pour la distance de F au centre de la carte C,

C F — cot. D = tang. I.

On obtiendrait de la même manière tout autre méridien.

Projection sur le méridien (fig. 3, pl. XXVI ). On suppose ici que

l'oeil est placé au centre de l’hémisphère opposé à celui qu’on veut représenter, à Pinterseclion de l’équateur et du méridien qui divise cet hémisphère en deux parties égales.

Parallèles. PP' est l’axe des pèles, l’équateur est projeté selon le diamètre OQ. QN nu ON' étant la latitude / du parallèle qu’on veut tracer, lirez NO N'O, ces droites déterminent sur l’axe les poi nts M et M' dont la distance est le diamètre de la perspective N M N' du parallèle; test le centre de ce cercle perspectif, et l’on a

Mi=;-MM'=(>.

Faisant D = 90° dans les équations générales, il vient d’ailleurs

p = tang. A = cot. I = rayon du cercle perspectif,

a =: — - — = = distance du centre de la carte C au

cos. A sin. centre du cercle perspectif,

C = tang. | l = distance du centre de la carte au

point M.

La symétrie des cercles de part et d’autre de l’équateur donne à la fois les deux parallèles NMN', nmn', à la même latitude boréale et australe.

Méridiens. Pour tracer un méridien dont la longitude est 0, on prend à partir de Q un arc Qe = 0 ; on tire v C v', puis du pôle P' les cordes P' v, P v' qui coupent QO en f cl f'-, ff est le diamètre du centre P f P', le milieu de f f' est le centre de ce cercle. Un cercle symétrique de l’autre côté de la ligne des pèles a même rayon et son centre situé à même distance du point C.

Faisant dans les équations générales

A = 90° et D = 0,

il vient pour les méridiens :

C — Cf— tang. (*5° — ±8) £’ = C/' = tang.(45° + }0)

P=-10- * = P — C/=p + C/'=tang.ô.

TABLE des valeurs », de p et de C , tant en longitude qu’en latitude de 5° en 5°, le rayon de la mappemonde étant 1. Cette table est extraite de la Géodésie de M. Fbancoeur.

Z ou 0