PARALLÈLES

MÉUIDIENS.

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Projection polaire (fig. 4, planche XXVI). L’œil est placé au pôle P' diamétralement opposé à celui P, qui est ici le centre de la carte, et le plan de perspective est celui même de l’équateur A 0 BQ.

Méridiens. Les perspectives des méridiens sont toutes des lignes droites MM', diamètres du cercle AO BQ dont elles divisent la circonférence comme les degrés de longitude divisent l’équateur.

Parallèles. A N étant la latitude d’un parallèle quelconque, tirez ON, celte droite déterminera sur AB un point n. P n est le rayon du cercle perspectif du parallèle dont la latitude est A N ; ainsi des autres qui sont tous des cercles dont le centre est au pôle P.

Faisant I) — o dans l’équation générale (3), on a pour le rayon p du parallèle dont la latitude est Z

p = tang. i A = tang. (43» — i l ), et * = o.

Les valeurs que prend p de 5° en 5» sont comprises dans la colonne des valeurs de £ pour les méridiens dans le tableau précédent.

La planche I est une application de la projection polaire.

Ce mode de projection dilatant les espaces à mesure qu’on s’avance du centre 1* vers la circonférence A O BQ de la carte, Dclorgna a remédié à cet inconvénient par la méthode suivante, qui conserve aux contours leurs étendues superficielles, mais qui altère encore un peu les rapports de distance cl de configuration.

Projection de Delorgna (fig. I, planche XXVII \ Delorgna est parti de ce principe, savoir : que les régions d’égales étendues devaient être représentées sur la carte par des espaces égaux. En conséquence, pour construire une projection polaire d’après ce principe, il conçoit l'hémisphère Al’D partagé en demi-fuseaux par des plans menés par son axe CP, et sur le centre du grand cercle perpendiculaire à cet axe, il en décrit un autre de rayon r, tel qu’on ait

R étant le rayon de l’hémisphère à représenter, h la hauteur Pc d’une calotte dont la surface 2 v R h doit être représentée par le cercle équivalent tt r1, on a donc en général pour le rayon d’un parallèle

r’ = 2RA,

C’est-à-dire que ce rayon est moyen proportionnel entre le diamètre de la sphère et la (lèche B A, cl dès lors ce rayon n’est autre chose que la corde de l’arc terrestre qui mesure la distance polaire. Ainsi A'C== AP est le rayon de la projection de l’hémisphère APD.

Tous les autres parallèles sont des cercles concentriques au cercle de rayon A'C, décrits d’un rayon égal à la corde du complément de la latitude. Les méridiens sont les rayons du cercle A'C qui termine la carte.

En général, p étant le rayon d’un parallèle, l sa latitude et r le rayon A'C de la mappemonde, on a

p = r y/t sin. (45° — J /).

Il résulte de cette construction que les régions d’égale étendue sont représentées par des espaces égaux; que les quadrilatères formés par les méridiens et les parallèles qui terminent une zone sont égaux et rectangles comme sur la sphère. On remarque que les distances de deux points ne peuvent pas se mesurer exactement par la droite qui joint ces deux points sur la projection.

Projection anglaise (fig. 2, planche XXVII). Les cartes anglaises sont souvent construites d’après un mode de projection purement conventionnel et qui n’a plus rien de commun avec la perspective.

11 consiste à partager le rayon de l’èquatcur CQ, celui du pèle CP et l’arc PQ en un même nombre de parties égales. Les parallèles sont alors des arcs de cercle assujettis à passer par les trois points de même dénomination 30, 30, 30, 60, 60, 60, et dont les centres se trouvent tous sur l’axe P' P suffisamment prolongé. Les méridiens sont également des arcs de cercle passant tous par les pèles P' et P, et par leurs longitudes 30 , 60, 90..., et dont les centres sont tous situés sur la droite OQ qui représente l’équateur, ou sur son prolongement.

r étant le rayon de la mappemonde, p le rayon d’un méridien, ^

la fraction de r à laquelle correspond le point de CO ou CQ par laquelle passe ce méridien, on a

Ainsi, dans la ligure 2, le rayon pdu parallèle qui passe à 50° de

longitude, aurait pour valeur, a cause de - = — , n ==-

fi yu o

p — To + 18 -

Pour les parallèles, on aurait, en faisant les distances Cil = £ et CD=y> ? exprimant encore le rayon du parallèle.

Ainsi, pour £ r= - r, on a

Y = r sin. *0° = 0.6128 r, cl p = 1 .578 r.

On construit une projection polaire sur le même principe (fig. 3). Les méridiens y sont représentés par des diamètres également inclinés l’un sur l’autre, et les parallèles par des cercles concentriques avec la mappemonde, également distants entre eux et divisant, dèslors, tous les rayons en parties égales.

La projection anglaise altère moins le rapport des surfaces que Fa projection sléréographique.

Projection orthographique (fig. *, planche XXVII). Ce mode de

projection est de peu d’usage en géographie. Les lignes projetantes, au lieu de concourir en un point déterminé, comme dans les projections précédentes, sont parallèles entre elles et perpendiculaires au tableau perspectif; ou, en d’autres termes, le point de vue et le tableau sont supposés à une distance infinie l’un de l’autre.

Les méridiens et les parallèles s’y trouvent en général représentés par des ellipses, excepté dans les projections polaires, où les méridiens sont des droites et les parallèles des cercles concentriques.

La fig. 4, pl. XXVII est un exemple de projection orthographique sur le méridien.

Tous les parallèles sont des lignes droites, les méridiens sont des ellipses dont le demi-grand axe est le rayon de la mappemonde, et dont le demi-petit axe est le cosinus de l’arc qui mesure la longitude sur le cercle décrit avec le rayon de la mappemonde.

Ainsi, en partageant l’arc OP en neuf parties égales et menant par chacun des points de division des cordes parallèles au diamètre O Q, on aura les parallèles de 10 en 10 degrés. Abaissant ensuite de chacun des points de division du quart de cercle OP des perpendiculaires 30 30, 60 60, elles détermineront en même temps les deux petits axes C 30, C 60, des méridiens P 30 P', P 60 P', P 150 P', P 120 P' et ainsi des autres.

On peut d’ailleurs obtenir facilement tant de points que l’on voudra des ellipses méridiennes. Pour avoir, par exemple, le point N où le méridien qui a pour longitude 60° rencontre le parallèle dont la latitude est 30°, on décrirait sur le parallèle 30 n, comme diamètre, un cercle sur lequel on prendrait un arc, 30 N', égal en degrés à la longitude; du point N', on mènerait la perpendiculaire N' N qui détermine le point N de rencontre du parallèle de 30° latitude, avec le méridien qui compte 60° de longitude, on obtiendrait ainsi quatre points de l’ellipse outre les quatre sommets et les deux axes.

Projections par développement. On ne pourrait appliquer aucune des projections précédentes aux cartes particulières, en isolant et agrandissant la portion de mappemonde qu’elles comprennent. Il en résulterait du moins des déformations qui altéreraient d’une manière trop sensible les rapports de distance, de configuration ou d’étendue, surtout vers les bords de la carte, et c’est aux projections par développement qu’il faut alors recourir. La plus simple d’entre elles est la suivante.

Projection conique {fig. 5, planche XXVII). Imaginez un cône tronqué tangent au parallèle moyen de la carte, développez ce cône sur un plan en un secteur circulaire, vous aurez alors la projection conique proprement dite de la zône sphérique à représenter. Remarquons que le parallèle moyen conservera dans le développement, la longueur qu’il a réellement sur lo globe , mais que les autres parafai)

lèles, tant au-dessus qu'au-dessous de lui, excéderont toujours leurs correspondants.

Soient D et d les nombres de degrés respectifs de longitude et de latitude que la carte doit embrasser, l la latitude du parallèle moyen, S l’angle au sommet du secteur circulaire exprimé en degrés,

On a, le rayon de la sphère étant I,

S = D sin. I

S A = rayon qui du centre S servira à tracer le parallèle moyen = cos. I.

Longueur développée du parallèle moyen,

, it ü co*. I it S co*. I

Ainsi, on tracera un angle d’un nombre S de degrés; sur l’un des côtés de l’angle, on portera, à partir de S, la valeur ci-dessus de SA, et l’on décrira du centre S avec SA pour rayon le parallèle moyen AB. Sur SM, on portera les distances AM=Am =

, et les arcs de cercle décrits de S avec les rayons SM, Sm, seront

les parallèles extrêmes de la carte. En partageant ensuite A M et Am en autant de parties égales qu’on voudra, on décrira du centre S, par les points de division ainsi obtenus, les autres parallèles de la carte.

Quant aux méridiens, ce sont des droites parlant du sommet S, qui passent par des points également distants pris sur M N.

Ce mode de projection s’emploie surtout lorsque les parallèles qui bordent la zone sont peu distants l’un de l’autre; lorsque celte distance est plus considérable, il vaut mieux faire passer le cône à développer par les parallèles extrêmes (fig. 6, planche XXVII). Les élémens du cène à développer sont alors, savoir ;

Son angle O au sommet qui a pour mesure la demi-somme des la-

titudes extrêmes ou

lat. A + lat. H

Les rayons OB, OA des secteurs de développement qui forment les génératrices des cônes OBé, OA a, et qui sont respectivement

qb co». (lat. B)

sin. J (lat. A -f- lat. U)

q A co*. (lat. A)

sin. { ( lat. A lat. H)'

Projection de Flamsteed (fig . 7, planche XXVII). Tracer une verticale AM ; elle représentera le méridien du milieu de la carte. Porte* sur celto droite, à l’échelle convenable, des divisions Ma, ah, bc, cd,

proportionnelles à la longueur des arcs de méridiens. Far les points M, a, b, c, d, tirez des parallèles. À droite et à gauche de AM, et sur chacun des parallèles, portez, à l’échelle adoptée, des distances égales Mp—p q — M'/>' = p' q -, ao — on — a o' — o' n', etc., chacune étant proportionnelle n la longueur des degrés de parallèle. Par les points usxop, vtynq , etc., faites passer des courbes, vous aurez ainsi le canevas d’une carte d’après la projection de Flams- * teed.

La longueur du degré de l’équateur étant pris pour unité, la longueur d’un degré de parallèle, dont la latitude est /, est évidemment le cosinus de /. ( Voyez la table des sinus naturels).

Ce mode de projection n’altère point les distances mesurées dans le sens des parallèles; il représente, par des quadrilatères équivalents, chaque quadrilatère correspondant formé sur la surface du globe par deux méridiens et deux parallèles quelconques mais il altère considérablement la configuration des parties situées vers les limites de la carte, par l’obliquité qu’y prennent les méridiens à l’égard des parallèles. En sorte que les quadrilatères sphériques rectangles y sont représentés par des trapèzes mixtilignes dont les aires sont égales à la vérité, mais dont les angles sont très inégaux. La projection suivante remédie à ce défaut ; c’est la plus usitée en France. Au reste, dans celle-ci comme dans celle qui suit, les distances ne peuvent être mesurées avec rigueur que le long des méririens et des parallèles.

Projection de Flamsteed modifiée, projection française ou du dépôt de la guerre {fig. 8, planche XXVII).

Sur une verticale OX, portez le développement PX du méridien principal rectifié; d’un point U, pris sur celte droite, et d’un rayon égal à la tangente de la colatitudo du parallèle moyen, décrivez la portion de circonférence BAG qui deviendra la projection de ce parallèle. Tous les autres parallèles sont concentriques à celui-ci; on les obtient donc en décrivant du point O, comme centre, des arcs de cercle passant par des points D, X... autant éloignés du moyen parallèle qu’ils le sont en effet sur le méridien principal rectifié.

Portez alors sur chacun de ces parallèles à l’est et à l’ouest du méridien principal, les valeurs réelles des degrés de longitude qui sont, comme l’on sait, proportionnelles aux cosinus des latitudes des parallèles. Faites alors passer des courbes Pm G M, PGIK, PG'I'K',

Pm' BM', par chaque série de points correspondants, et vous obtiendrez ainsi autant de méridiens.

Dans le cas particulier de la France, où le moyen parallèle est celui qui correspond au 45e degré de latitude, la cotangcnte qui devient le rayon du développement de ce (parallèle est égale au rayon de la terre = 6366 198 mètres Le tracé d’une carte de France, à l’échelle du millionième, exigerait donc un compas dont les brsn-

cbcs pussent s'ouvrir de 6m.36. Afin de remédier à l’impossibilité de l’emploi d’aussi grands rayons, on calcule, pour chaque parallèle, la position sur le plan de projection d’une suite de points également espacés et assez rapproches pour que le petit arc, compris entre deux points consécutifs, puisse, sans erreur sensible, être considéré comme une droite. On rapporte celte position à deux coordonnées rectangles dont l’une, l’axe des X, est le méridien principal, et l’autre, celui des Y, est une perpendiculaire à ce méridien passant * par le point O, centre commun du développement des parallèles. De là le problème suivant :

Etant données, la longitude * à partir du méridien principal et la latitude l d’un lieu quelconque m, trouver les coordonnées rectangles x = OE, y = En» de ce point.

L est la latitude du moyen parallèle de la carte,

R le rayon de la sphère, 9 l’angle qui correspond à la longitude * sur le parallèle qui a l pour latitude,

L'on a facilement

ï = Omcos. 9 y=Omsin. 9

Om = OD = OA — AD — R colang. L — a

en appelant d le développement de l’arc l — L du méridien compris entre le moyen parallèle et le parallèle du point m. Cet arc sera évalué en mètres, en comptant 111111". lit.... par degré ( voyez Astronomie ).

Pour déterminer 9, on remarque qu’un arc quelconque de parallèle est, dans son développement, représenté par un arc de même longueur, mais de rayon différent. Il en résulte que les nombres de degrés embrassés par chacun de ces arcs, sont en raison inverse des rayons. On a donc

R colang. L — d : R cos. I * : 9,

a R cos. I R cotang. L — d

x — ( R cotang. L — d) cos. 9 , y = (R cotang. L — d)sin. 9.

Résumons les propriétés générales de ce mode de projection :

1° Sur le méridien rectiligne de la carte et sur les parallèles, les longueurs sont les mêmes que sur le globe ;

3» Tous les méridiens coupent à angles droits le parallèle moyen -,

3° La projection française s'identifie absolument avec la projection de Flamsteed proprement dite, lorsque l’on prend l’cquateur pour le parallèle moyen;

4° Les projections des aires du sphéroïde sont dans les mêmes rapports que ces aires.

Cartes plates. Ces cartes, spécialement destinées à ia navigation, ne s'emploient d’ailleurs, que pour représenter des zoues très peu étendues en latitude. Concevez un cylindre droit, dont l’axe coïncide avec l’axe de rotation du globe, et qui ait pour rayon celui du parallèle moyen de la carte; les plans indéfinis des méridiens couperont ce cylindre suivant des droites parallèles à l’axe terrestre. Les plans indéfinis des parallèles formeront, au contraire, sur la surface courbe du cylindre, des cercles parallèles cl égaux, chacun, à celui du moyen parallèle. Développez alors le cylindre sur un plan, et vous aurez le développement connu sous le nom de eurte plate. Ce mode de projection est attribué à Don Henri, infant de Portugal. On voit facilement que dans ce développement 1° les parallèles deviennent des droites parallèles entre elles et perpendiculaires aux autres droites parallèles qui représentent les méridiens; 2° les degrés de parallèles n’ont leur longueur réelle, relativement aux degrés de longitude, que sur le parallèle commun avec le cylindre et la sphère; 3° que, en dehors du parallèle moyen, les degrés de parallèle sont trop petits vers l’équateur, et trop grands vers le pôle. Malgré ces défauts, cette projection, appliquée seulement à des zones peu étendues en latitude, est fort commode pour les marins, en ce que les rumbs de vent qu’ils y tracent y sont représentés par des droites.

On suppose quelquefois les méridiens rectifiés sur les génératrices qui les représentent. Les distances mesurées sur la carte selon ces méridiens, ont alors même longueur que sur le globe.

En général , l’emploi des cartes plates est fort dangereux lorsqu’on s’en sert sous des latitudes plus grandes que celles de 7° dans la navigation hauturière; aussi n’emploie-t-on guère aujourd’hui que les cartes réduites. (Voyez ci après).

Projection de Cassini. Ce mode de projection est celui adopté pour les cartes connues sous le nom de cartes de Cassini -, on en prendra une idée suffisamment claire, en imaginant un cylindre tangent à la sphère suivant le méridien principal (celui de Paris); puis, par les divisions de l’équateur des plans indéfinis, parallèles à ce méridien, et enfin des grands cercles passant par les divisions du méridien, et qui ont dés lors leur diamètre commun situé dans le plan de l’équateur. Développant le cylindre et le méridien principal dans un sens, et les grands cercles qui passent par les divisions du méridien dans le sens perpendiculaire, il en résulte que les distances mesurées sur le méri-

loogle

(lien rectiligne de Paris et celles mesurées suivant des droites perpendiculaires à ce méridien, y sont absolument les mêmes que sururi globe semblable au sphéroïde terrestre et supposé construit à l’cchellc de cette carte; ou voit en même temps que les grands cercles perpendiculaires au méridien qui, sur la sphère, convergent tous les uns vers les autres et se coupent tous aux pôles de ce méridien, deviennent parallèles entre eux sur la carte où le méridien est rectifié. Les portions déterminées par deux cercles perpendiculaires au méridien sont donc représentées par des rectangles de même longueur, mais plus larges vers leurs extrémités, et les distances prises en dehors des méridiens et des parallèles, ainsi que les aires, sont d'autant plus altérées qu’elles sont prises plus loin du méridien de Paris. Cependant, pour les cartes de France en particulier, l’étendue en longitude n’est pas assez grande pour que la convergence des perpendiculaires au méridien sur le globe, puisse causer des erreurs importantes par rapport aux usages ordinaires des cartes. Pour bien saisir ce défaut de la projection de Cassini, on peut encore remarquer, avec M. Lacroix, que, si par un alignement dirigé au moyen de piquets verticaux et perpendiculaires au méridien de Paris, on marque une suite de points, ces points appartiendront au grand cercle que détermine le plan vertical mené par l'Observatoire de Paris, perpendiculairement au méridien, et que le parallèle de Paris se sépare bientôt de ce cercle qu’il ne fait que toucher au point où il coupe le méridien.

Sur les cartes de Cassini, les parallèles à la méridienne et à la perpendiculaire de l’Observatoire sont tracés 6 60000 toises les unes des autres.

Caries réduites. Dans ces caries, spécialement destinées aux navigateurs, les méridiens sont parallèles entre eux, comme dans les caries plates, c'est-à-dire que les degrés des parallèles sont partout égaux aux degrés de l’équateur. Toutefois, afin de conserver entre les degrés de parallèle et ceux du méridien le même rapport que celui qui existe sur le globe, on fait croître les degrés de méridien suivant la même loi qui doit exister dans le décroissement des degrés de parallèle. Ainsi, les minutes des parallèles sur la terre étant aux minutes de l'équateur, comme les cosinus des latitudes de ces parallèles sont à l’unité, ou comme l’unité est ù la sécante de la latitude, si l’on fait la minute de parallèle constante, il faudra, pour conserver le rapport indiqué, faire la minute de méridien égale à la minute d’équateur multipliée par la sécante de la latitude du parallèle.

Ainsi, m’" représentant respectivement la première,

la seconde, la troisième minute croissante et m la minute de l’équateur, on aura successivement,

w'==msec. 1' m"=m sec. 2' m'" — m sec. 3’ ..

Plus exactement, si (Mr) représente la partie du méridien rectiligne comprise depuis l’équateur jusqu’au parallèle dont la latitude vraie est représentée par L", on doit avoir en difTérentiant

d (Mr) : dL" :: 1 : cos. L", d’où d (Mr) = ^*' , qui donne par l’intégration.

(Mr)=log. tang. ( i ir -j- 1 L" ).

S’il, ne s’agissait que d’avoir une partie (Mr)' de l’échelle des latitudes croissantes, correspondante à la différence L" — L' des latitudes vraies, alors, ajoutant une constante à l’équation précédente, en observant que, quand (Mr)' — o, on a L = L', d’où

constante = — log. (ang. G vt -j- £ L’) ,

on aurait complètement

(Mr)' =

tang. [jw-f jL»]\ ‘«"g- +

Au reste, on trouvera, dans la table ci-contre, toutes les valeurs nécessaires pour construire une carte réduite.

On comprendra la nécessité ou plutôt la commodité, pour l’usage de la navigation , de cartes où les méridiens et les parallèles soient disposés parallèlement entre eux, si l’on remarque 1° que par suite de l’emploi de la boussole, la direction de la route d’un navire, tant qu’elle est constante, fait un même angle avec chaque méridien qu’elle rencontre; 2° que pour représenter sur la carte, la route qu’on a suivie, ou qu’on veut suivre, il faudrait, si les méridiens n’étaient pas parallèles, y tracer une courbe, qui rendrait le problème de la réduction des routes fort compliqué. ( Voy . Loxodromiqub.)

Long

Long.

infini.

Ouvrages à consulter : Lacroix, Introduction à la géographie; Puissant, Topographie ; Francobur, Géodésie; Salnbuvb, Cours de Topographie et de Géodésie, le Mémorial du dépôt de la guerre.

CENTRES. ( Centre de gravité. ) — Point unique par lequel

Sasse la résultante de tous les efforts exercés sur chaque molécule ’un corps, par l’action de la pesanteur, quelle que soit la position de ce corps.

Pour trouver le centre de gravité d’un corps, il suffit souvent, en pratique, de suspendre le corps dans deux positions successives différentes, à l’aide de fils verticaux appliqués tour à tour en deux points différents : le lieu d’intersection du prolongement des fils est le centre de gravité du corps.

Le centre de gravité de tout corps homogène symétrique, par rapport à un axe ou à un plan est contenu dans cet axe ou dans ce plan. Si le corps est symétrique par rapport à deux axes, le centre de gravité est à l’intersection des axes.

La recherche du centre de gravité d’un corps ou d’un système d’un corps est basée sur ce théorème : le moment de la résultante est égal à la somme des moments des composantes. Peut-être môme estil plus exact de définir le centre de gravité d’un corps, en disant que c’est un point géométrique tel que sa distance à un plan quelcon-

3ue multipliée par le poids du corps, est égale à la somme des prouits des poids de chaque élément par la distance de cet élément au mémo plan.

Le centre de gravité G, de deux poids P, P2 est situé sur la droite P, Pj qui réunit leurs centres de gravité respectifs à une distanccPiG,deP„ teliequ’on ait entre les moments pris par rapport à G„ l’égalité

p^ïï; X P, = p7g> X P,= [P71\ - P, G,] x P*>

a. • pT -P' p.xp-

d ou Pt «i — - p ipp —

La droite P, P, est ainsi partagée par le point G, en deux parties P, G,, G,Pa qui sont en raison inverse des poids P, P,.

Pour trois poids, on aurait P, G, comme ci-dessus, et l’on obtiendrait facilement

— PjX G, Pt — P, +P. + P;

5»' les trois poids étaient égaux, il viendrait et de plus, dans ce cas,

pTgT=:;Fp,.

Pour quatre poids, on aurait comme ci-dessus P, G, et G. G„ on obtiendrait ensuite

GjG3 =

P.XG P,

et l’hypothèse de l'égalité entre les quatre poids conduit à

ccr=Kpn

G, G^fGTPTT

TïX=\ïjÇ-

486 centre de gravité.

Celui d’un nombre quelconque de poids P, P2 P3 P4 s’obtiendra en cherchant, comme ci-dessus, le centre de gravité G, des deux poids P, Pj. On pourra supposer alors que P, — sont réunis en G,, et l’on cherchera le centre commun de gravité G2 de P, P2 et P3. Supposant encore ces trois derniers poids réunis en G2, on cherchera à son tour le centre commun G2 de P4 et des trois poids

P. + Pi+P*

réunies en Ga et ainsi de suite.

Lignes. — Ligne droite. Son centre de gravité est visiblement au milieu de la droite supposée matérielle.

Contour d'un polygone rectiligne quelconque. Soit c' c’’ c1" la

longueur des côtés successifs de ce polygone, , , y ni" lps dis-

tances respectives des milieux des côtés c’ c" c"’... à deux axes tracés où l’on voudra dans le plan de ce polygone, X et Y les distances à ces mêmes axes du centre de gravité du polygone, on aurait

si le polygone est régulier , le centre de gravité se confond avec le centre de figure.

Arc de courbe plane, s étant la longueur développée de l’arc de courbe, et X Y les distances respectives de son centre de gravité à l’axe des y et à celui des x, on a en général

x ,f*d> y J y rf»

On tire de l’équation de la courbe les valeurs de d s cl de * en fonction de x et y, et substituant ces valeurs dans les formules cidessus, on obtient les valeurs de X et Y par l’intégration. On sait qu’on a, en général, ds = y/ (dx1 -j-dy1); voy. coirbes. On appliquera ces formules à la détermination du centre de gravité d’un arc de cercle.

Arc de cercle M A M’. Disposez l’arc de courbe symétriquement par rapport aux axes , ce qui tend à simplifier les calculs. Pour cela, faites passer l’axe des x, AC, par le milieu A de l’arc M A M'. Soit alors AP = i, PM=y les coordonnées d’un point quelconque M, le rayon AC=r et le demi-arc AM = AM1 = s, A est l’origine des x ; on aura

x=./x^ + clY

l’équation du cercle au sommet est y7 = 2 r x — x7-, il en résulte que de devient

T d X T dx

y y'(irx — x')’

intégrant, il vient

’.fvT,

(2 rx — x* )

(»— Jf)** r —

Ainsi, G étant le centre de gravité, on a

-z: AC — — ; d’où C G = AC — AG =

c’est à dire que la distance du centre de gravité de rare de cercle au centre du cercle est au rayon , comme la corde de l’arc est à la longueur de cet arc.

Si l’arc forme une demi- circonférence , la corde est le double du rayon, et l’on a

CG = — = ——=--0.63662 X r.

it 1.57..

Si la circonférence est entière, le centre de gravité se confond avec le centre de figure ; y = o et X = r.

Arc de cycloïde M AM'. AB — d étant le diamètre du cercle générateur. le centre de gravité est au tiers de l’abscisse x = A P qui forme la flèche de l’arc, en partant du point A.

Celui de la cycloïde entière est au tiers du diamètre d — A B, quel que soit ce diamètre.

Celui de la demi-cycloïde A M C B A serait donné par \=\d Y = d(i*-!);

« étant le rapport de la circonférence au diamètre.

Chaînette suspendue d deux points de niveau. Le centre de gravité est sur la flèche à une distance G, au-dessus du point le plus bas de la chaînette donnée par

S étant la demi-longueur de la chaînette, a la demi-distance horizontale des points de suspension, H la flèche de la courbe, c la tension au point le plus bas, p le poids du mètre courant de chaîne.

Si la courbe n’est pas définie par une équation, on la partage en un grand nombre de parties assez petites pour être considérées comme des lignes droites, et pour que le centre de gravité de chacune de ces parties puisse être supposé sans erreur sensible en leur milieu. On divise successivement les sommes des moments par rapport à deux axes tracés dans le plan de la courbe par la longueur de cette courbe; les quotiens donnent les distances du centre de gravité aux deux axes.

Ceci suppose qu'on sait mesurer assez exactement la longueur d’une courbe qui n’est point définie : or, on trouvera au mot courbes une solution pratique et suffisamment exacte de ce problème.

Surpaces. — Aire tfun polygone rectiligne quelconque. On le décompose en triangles par des diagonales menées d’un des angles. On chcr-

che les centres de gravité respectifs de chacun des triangles ; on mène deux axes rectangulaires dans le plan du polygone; si x? x” x'".... y' y" y'" sont les distances aux axes des centres de gravité de chacun des triangles, et c' c" c'" leurs aires, on obtient les distances X Y du centre de gravité du polygone aux axes coordonnés par les mêmes formules que celles données ci-dessus pour le contour du polygone.

Si le polygone est régulier, le centre de gravité est au centre de figure.

Si c’est un parallélogramme, le centre de gravité est à l’intersection des diagonales.

Surface plane terminée par une courbe définie. Les coordonnées X Y du centre de gravité sont données par les formules

Ijy xdx + A

des y = '■ — ;

(y dx -(- U

( y*dx-\- A'

des x = -

2/y dx+B'

A, B, A’ R' sont les constantes qui complètent les intégrales.

Surface plane terminée par deux courbes quelconques M N , m n. Tracez dans le sens de la plus grande longueur la droite AB; partagez celte droite en un nombre pair de parties égales; élevez par chaque point de division des ordonnées perpendiculaires à AB, et terminées de part et d’autre aux deux courbes. Soit y, y7 y3 ya les

longueurs de ces ordonnées (le numéro» est nécessairement impair), h leur intervalle commun. L’aire MN mn de la surface sera exprimée par

1 H y< 4- * y* -f- 2 y* + * y» + 2 ys +■ • •• + y<> ]•

On voit que, dans la parenthèse, les ordonnées extrêmes ont le coefficient 1, les ordonnées de rang pair ont le coefficient 4 et les ordonnées intermédiaires de rang impair le coefficient 2. Si les ordonnées extrêmes ou toute autre se trouvaient nulles, il faudrait également leur donner leur numéro, et elles fourniraient un terme nul. Lorsque les courbes ne sont pas très irrégulières et qu elles ne serpentent pas trop, il suffit de prendre cinq ordonnées au plus.

La distance du centre de gravité de l’aire M N m n à la première ordonnée M A m est

h [oy1-4-1.4yi4-2'2ÿ,+3.4y,-|-*.2ÿs+—H- (*»—<) y„] y,+*y.+2y,-Hy.+2yi+— -y-

Le dénominateur est la quantité comprise dans la parenthèse de a formule précédente. La parenthèse du numérateur est égale au dénominateur, dont tous les termes auraient été multipliés dans l’ordre

où ils se présentent, et successivement par 0, 1,2,3, \ (n — 1).

Le premier terme donne un produit nul ; on l’a écrit pour la régularité de la formule : celte méthode est connue sous le nom de Méthode de Thomas Simpson.

La projection sur un plan du centre de gravité d’une aire plane quelconque est le centre de gravité de la projection de cette aire.

Surface de révolution. Le centre de gravité est sur l’axe de révolution à une distance de l’origine de cet axe qu’on calcule par

j'x ydi -f-A f yds+ B

Le centre de gravité do l’aire du triangle est situé sur les droites qui joignent les sommets aux milieux des côtés qui leur sont opposés; il est donc à leur intersection G. On démontre C facilement que

DG = JDA.

Ainsi, le centre de gravité de l’aire d’un triangle est situé, à partir du sommet d’un de ses angles aux deux tiers de la droite menée du sommet de cet angle au milieu du côté opposé.

[Le centre de gravité de l’arc d’un triangle est le même que celui

de trois poids égaux situés aux sommets des trois angles de ce triangle.

Si trois forces dont les intensités et les directions seraient représentées par GC, G B, GA, sont en équilibre sur un point G, ce point G est le centre de gravité du triangle formé par les droites qui réunissent les extrémités des forces.

Lorsqu’un triangle porte sur trois pieds verticaux, si l’on décompose le triangle total ABC en trois autres triangles formés par les droites menées du centre de gravité G aux trois sommets, la charge totale P se répartit sur chacun des appuis dans le rapport des triangles opposés à chaque appui. Ainsi

BgC '

charge en A = P X

charge en B = P X ^

BjA

charge en C = P X -

Aire du quadrilatère quelconque ABCD. Menez les deux diagonales A D cl BC qui se coupent en F ; portez la partie la plus courte AF de l’une d’elles AI) sur elle-même de D en H. Joignez le point II par une droite H E au milieu E de l'autre diagonale BC, le centre de gravité G du quadrilatère sera sur la droite IiE au premier tiers EG de EH en partant du milieu de la deuxième diagonale.

Aire du trapèze. Son centre de gravité se détermine toujours facilement par la méthode donnée pour le quadrilatère quelconque; on remarque en outre que d étant la distance des milieux de ses deux bases parallèles, B la plus grande de ses bases, et b la plus petite, le centre de gravité est éloigné de cette dernière, d’une distance comptée sur la ligne d et

Celle valeur donne aussi la position du centre de gravité du on

rallélogrammc et dn triangle; en effet, dans le premier cas, on a b= B, et dans le second, b=o.

Aire du secteur de cercle MAM'C ( voy. fig. pag. 237). Tracez un rayon AC qui partage le secteur en deux parties égales; à partir du centre, prenez sur ce rayon une longueur

J corde X I rayon 2 corde X rayon

i arc 3 arc.

Aire du segment MAM'. Opérez comme ci-dessus; la distance du centre du cercle au centre de gravité est

(corde)*

aire du segment

Si le segment est un demi-cercle, la corde = 2 r = le diamètre, et la distance du centre de gravité au centre du demi-cercle devient

Centre de gravité de la surface d'un poussoir circulaire.

Soitc, la corde, r, le rayon, s, la longueur de l’arc d’extrados, c7 r2 la corde, le rayon et la longueur de l’arc d’intrados, A le centre du cercle, AG la distance à ce centre du centre de gravité mesurée sur la droite AS, qui coupe les arcs symétriquement, on a

Segment parabolique. Son centre de gravité est sur l’axe principal -A M aux trois cinquièmes de la longueur de AM, en parlant du soiv met A de la courbe.

Le centre de gravité du demi-segment A PM s’obtiendrait par deux coordonnées X et Y, dont les valeurs seraient