X={AM Y = | PM

Segment elliptique. Il est à partir du centre de l’ellipse à une dis-

tance X =

•pi (corde)* segment.

Les centres de gravité des segments de toutes les ellipses qui ont même demi-grand axe a, lorsque les limites sont les mêmes perpendiculaires aux x, coïncident avec celui du segment circulaire de rayon a.

Secteur elliptique. Son centre de gravité est le même que celui de l’arc de cercle qui a | a pour rayon; a étant le demi-grand axe.

Aire de la cycloïde entière c'icc' (rot/, fig. p. 238). Son centre de gravité se trouve aux sept douzièmes du diamètre AB = d du cercle générateur, en parlant du sommet A, sur l’axe de symétrie A x.

Aire de la demi-cgcloïde BACB. x, cl y, étant les distances aux axes coordonnées dont l’origine est À, ou a

Surfaces du cône, du cône tronqué , du cylindre droit. Les centres de gravité de ces surfaces sont à la même distance de l’origine des x (l’axe des x étant celui de révolution), que les centres de gravité du triangle, du trapèze et du parallélogramme rectangle générateurs de ces surfaces. Ainsi, le centre de gravité de la surface convexe du rône est sur l’axe à y de cet axe, en partant de la base, etc.

Surface sphérique. Le centre de gravité d’une portion de la surface d’une sphère, renfermée entre deux plans parallèles, est sur le milieu de la droite qui joint les centres des deux cercles entre lesquels celte portion de surface est comprise.

Calotte sphérique. Le centre de gravité est au milieu de la flèche de la calotte.

Yolcmks. — Volume d’un corps solide quelconque. On peut le diviser par la pensée en diverses parties dont les poids et les centres de gravité respectifs seront connus.

Soient p' p" p'"... les poids respectifs des diverses parties du corps dont la somme forme son poids total P;

Les distances des centres des parties I , de même indice aux plans coordonnés j es

Enfin, X, Y, Z, les distances respectives à ces mêmes plans du centre de gravité du corps P, on a

„ ï (px)

Sfp)

ï désignant une somme de termes de même forme , et par exemple I (px), la somme des moments des poids p' p” p'", par rapport au plan desyx, et - (p) = P, la somme des poids partiels ou le poids total.

On voit donc, en général, que pour avoir la distance du centre de gravité d'un corps à un plan, il faut multiplier le poids de chacune de ses parties par leurs distances respectives à ce plan , faire la somme de ces produits , et, enfin, la diviser par le poids total du corps.

Si le corps est homogène, on peut substituer les volumes aux poids, puisqu'ils sont alors proportionnels ; si le corps est formé de molécules réunies dans un même plan, il suffit de prendre les moments par rapport à des axes tracés dans ce plan.

On rappelle que la somme des moments , par rapport à tel plan ou tel axe, ou tel point que ce soit qui passe par le centre de gravité, est toujours =xéro.

l.e corps étant homogène, on peut employer la formule de Thomas

/ xz

I xy

Simpson, donnée pins haut, niais en désignant alors par y, y ^yr..yn non plus des lignes,. mais bien les aires des sections faites dans le solide par une suite de plans parallèles passant par lès points de division d'un axe quelconque mené dans ce solide, et partagé en un nombre pair de parties égales à h. Cette méthode est celle à laquelle il faut le plus souvent recourir dans la pratique; l’approximation qu'elle fournit suffit à la détermination des centres de gravité des marteaux de forges, etc.

Le corps étant homogène, et de révolution, la même méthode s’applique encore, en désignant alors par y, ya... yu les ordonnées de la courbe génératrice, h étant toujours la distance commune de ces ordonnées; mais l’expression du volume du solide devenant alors

k étant le rapport 3.14159 du diamètre à la circonférence, on a, pour la distance du centre de gravité, à partir de la première ordonnée,

/>[0.ylt-j- l X *y,*-j-2X 2 ;/3a +.... + (>— 1) y,,*] y ,s + *yS + 2!/35+----+ yà‘

Toutes les valeurs données ci-dessus supposent les corps homogènes ou les volumes proportionnels aux poids.

Volume d'un prisme quelconque à hases parallèles. On cherche les centres de gravité des aires des deux bases, on les réunit par une droite; le centre de gravité du prisme est au milieu de cette droite.

Volume de pyramide quelconque. Son centre de gravité est situé aux trois quarts de la droite menée du sommet de la pyramide au centre de gravité de sa base, à partir du sommet de la pyramide.

Le centre de gravité d’une pyramide triangulaire est le même que celui de quatre poids égaux, situés aux quatre sommets de la pyramide.

Si l’on applique au centre de gravité de la pyramide triangulaire des forces représentées en grandeur et en direction par les droites qui vont de ce point aux quatre sommets, ces quatre forces sont en équilibre.

Volume du cône. Le centre de gravité du volume d’un cône est comme celui de la pyramide sur Ta droite qui joint le sommet du cône au centre de gravité de la. base, au quart de celte droite, à partir de la base ou aux trois quarts, à partir du sommet.

Volume du cône tronqué parallèlement. R étant le rayon de la grande base, r celui de la petite hase, h la distance de ces bases, et X

la distance du centre de gravité à partir du rentre de la petite base,

on a

x = ;ax

3R» + 2Rr + r»

~R* + ltr + r1'

Volume de pyramide régulière tronquée parallèlement. On a la même valeur que ci-dessus, en désignant par U et r les côtés des deux bases.

Solide de révolution. Ils ont leur centre de gravité placé sur l’axe de révolution, à une distance de l’origine de cet axe, donnée par

J x y* d x -f- C Jy'dx + \) ’

C et D étant les constantes qui doivent compléter l’intégrale.

Appelant a le demi-axe ou le rayon, et comptant les distances à partir du sommet des solides, on trouve, en appliquant la formule ci-dessus, savoir :

Pour le segment sphérique

Pour la sphère entière

c’est-à-dire que le centre de gravité se confond avec le centre de figure.

Pour la demi-sphère

Le secteur sphérique

Le segment parabolique

Tronc de paraboloïde , dont h est la hauteur, R et r les rayons des bases; la distance du centre de gravité au centre de la base de rayon r est

le solide engendré par la révolution d’une hyperbole

le segment ellipsoïdal, dont la base est perpendiculaire à l’axe

On remarque que le centre de gravité de tous les segments d’ellipsoïde formés par les mêmes plans perpendiculaires aux x, coïncident, pourvu que le demi-axe a, dirigé selon les x, soit le même. Ce centre est donc aussi le même que pour la sphère de rayon a.

Pour le demi-ellipsoïde j on a donc j a.

Propriétés géométriques du centre de gravité. La mesure d’une surface ou d’un solide de révolution peut être obtenue en multipliant la courbe ou la surface génératrice par l’arc de cercle que son centre de gravité a décrit autour de l’axe de révolution.

La somme des surfaces ou des solides de révolution engendrés par plusieurs courbes ou surfaces génératrices, situées dans un même plan et tournant autour d’un axe commun, est égale à la somme des courbes ou surfaces génératrices, multipliée par l’arc de cercle qu’a décrit leur centre dç gravité commun.

L'nc surface plane, qui sc meut perpendiculairement à une courbe à simple ou double courbure, de manière que son centre de gravité soit toujours sur celte courbe, engendre un solide égal à la surface génératrice multipliée par la longueur de la ligne que le centre de gravité a parcourue.

Les centres de gravité de deux systèmes semblables quelconques sont des points homologues.

Si pour un système quelconque de molécules on forme la somme des produits do chaque masse élémentaire par le carré de sa distance à un point fixe, celle somme sera minimum si le point fixe est le centre de gravité du système.

Propriétés mécaniques du centre de gravité. Le centre de gravité d’un corps solide sc meut comme le ferait un point matériel isolé, ayant un poids égal au poids total du système et qui serait soumis à toutes les forces extérieures transportées en ce point parallèlement à elles-mêmes.

Dans tout système de corps libres dans l’espace, le centre de gravité sc meut comme un point matériel libre, qui, ayant la masse totale du système, serait soumis à toutes les forces extérieures qui agissent sur le système.

Lorsqu’il y a des chocs dus à des corps extérieurs au système, le centre de gravité prend un changement brusque de vitesse, comme le ferait un point matériel qui, ayant la masse totale du système, recevrait directement les quantités de mouvement ducs à ces chocs.

Dans le cas particulier où il n’y a aucune force extérieure au système mobile et où il n’y a que des actions mutuelles des molécules entre elles, le centre de gravité sc meut d’un mouvement uniforme et rectiligne, comme un point matériel qui n’est soumis à aucune force et conserve ainsi sa quantité de mouvement. Lorsqu’il y a des

chocs entre les corps moines qui font partie du système, ils n’altérent en rien le mouvement du centre de gravité, qui so fera comme si les chocs n’avaient pas lieu. C’est ce dernier énoncé qurest connu sous le nom de Principe de te conservation du mouvement du centre de gravité. (Voyez, pour les démonstrations, la Mécanique de Coriolis, page 111.)

Donc, si un corps solide est en mouvement et qu’il soit brisé par une explosion intérieure, la direction et la vitesse du centre de gravite de toutes ses parties seront, après cette explosion, les mômes que la direction et la vitesse du centre de gravité qui auraient eu lieu sans l’explosion.

Lorsqu’un corps, entièrement libre, est soumis à des forces dont la résultante R ne passe pas par le centre de gravité, le corps prend un double mouvement; 1° son centre de gravité prend le môme mouvement de translation que si toutes les forces du système étaient transportées en ce point parallèlement à elles-mêmes; 2° le corps tourne autour du centre de gravité, et le mouvement de rotation est celui qui aurait lieu, si le centre de gravité, étant absolument fixe, les forces restaient les mômes.

On peut remarquer en effet que l’on ne change rien à l’état du corps en appliquant au centre de gravité G, deux forces R' R" contraires, égales et parallèles à R; maison pourra considérer actuellement une force R” qui produit la translation , un couple (R — R') qui produit la rotation.

On courrait le risque de faire des applications très erronées de ce principes, si l’on négligeait de compter les forces d’i.XERTiB parmi celles qui agissent sur le système.

Si l’on suppose que toutes les molécules égales d’un corps de ligure quelconque soient attirées vers un même point par des forces proportionnelles à leurs distances à ce point , et qu’il y ait équilibre, ce point sera nécessairement le ccutre de gravité.

Réciproquement, si le point vers lequel toutes les molécules sont attirées proportionnellement à leurs distances, est le ccutre de gravité du corps, il y aura équilibre, cl le corps ne pourra prendre aucun mouvement en vertu de ces attractions.

C’est le cas de la terre, dont les molécules intérieures pèsent vers le centre, en raison des simples distances. ( Voyez attraction.)

Si la verticale qui passe par le centre de gravité d’un corps quel • conque tombe dans le polygone formé par les lignes qui réunissent

les points extrêmes par lesquels ce corps s’appuie sur une surface, le corps ne sera point renversé. Si cette verticale tombe en dehors du polygone, le corps sera renversé, à moins qu’il ne roule, ou que le glissement de la base sur la surface ne puisse s’opérer.

Un solide homogène formé d’un hémisphère surmonte d’un cône dont la section formerait un Jriangle équilatéral ayant pour côté le diamètre de l’hémisphère demeurerait sur un plan horizontal dans toutes les positions qu'on voudrait lui donner; car la verticale, passant par le point d’appui sur le plan, passerait toujours par le centre de gravité du système. On trouverait facilement que le lieu de ce centre de gravité est le centre môme de l’hémisphère.

CENTRE DE GIRATION. Point d’un corps tournant autour d’un axe fixe, auquel il faudrait condenser la masse totale M du corps tournant, pour que le moment d’iNEtmE S (pIm) = I, par rapport à cet axe restât le même. kt étant la distance du centre de giration à l’axe fixe, on a, par définition,

Mv=ï(f-») = l/à’

et comme en général, I étant le moment d’inertie par rapport à l’axe parallèle au premier et qui passe par le centre de gravité du corps, et A la distance de ces deux axes, on a

Il en résulte

k est le rayon principal de giration ou celui qui se rapporte à l’axe qui passe par le centre de gravité.

On voit donc que le carré du rayon de giration, par rapport à un axe quelconque, égale le carré du rayon principal, pris par rapport à un axe parallèle au premier, plus le carré de la distance des axes.

La forcb vive d’un corps qui tourne autour d’un axe a donc aussi pour expression le produit du carré de la vitesse angulaire u> par la masse du corps et par le carré du rayon de giration pris par rapport à l’axe fixe. Elle est

w’MVzziio1!,.

Je donne ici les valeurs de quelques rayons de giration : les distances sont toujours comptées à partir de l’axe fixe.

Ligne droite ou cylindre d’un très petit diamètre et de longueur l tournant autour de son extrémité, kt = l \/\ = 0.57735 l.

Levier droit dont les bras sont B et b, A, = |// 3,^3^- Circonférence de cercle tournant autour de son diamètre 2 r,

*=rl/î-

Plan du cercle autour de son diamètre, A = | r.

Cylindre plein tournant autour de son axe de figure, r étant le rayon de la base, A = ^r j/ 2 — T \^\ = 0.707 i 07. r.

Cylindre évidé intérieurement, tournant autour de son axe. R étant le rayon extérieur et r le rayon intérieur, k =

Cône plein dont la hauteur = h et le rayon de la base = r.

S’il tourne aulour de son axe k = r = 0.54772. r.

S’il tourne autour de son sommet, A, =

Si, tournant autour de son sommet, la hauteur A=r=rayon de la base, l’angle au sommet est droit et A, l-r V' 3 ” 0.86602 r.

Sphère. La surface sphérique tournant autour de son diamètre,

Le volume, tournant autour de son diamètre, k = r \ / -, ou approximativement, A = ^ r.

Si l’on voulait concentrer matériellement la masse d’un corps tournant aux points qu’on a nommés centres de giration, il faudrait ou répartir cette masse uniformément sur une circonférence dont le centre serait l’axe de rotation et le rayon = kt, ou la disposer symétriquement en des points isolés de cette circonférence.

Centkk d’oscillation. — Un corps pesant, dont toutes les parties sont invariablement liées entre elles, est suspendu à un axe fixe horizontal, et dès lors, le plan qui passerait par l’axe fixe et le centre de gravité du corps est vertical. Si l’on écarte le centre de gravité de sa position primitive d’une quantité angulaire = Ô, et qu'on abandonne ensuite le corps ù la seule action de la gravité, il oscillera de part et d’autre de cette position, et l’équation des forces vives fournit immédiatement la relation

t.*1 I, = 2 MgX D(cos. 1 — cos. 6)

2Mg.D (cos. a— cos. 0)

M étant la masse du corps, D la distance de son centre de gravité à l’axe de rotation, I, le mombnt d’inbrtie de masse du corps par rapport au même axe, i» la vitesse angulaire du système au moment ou le plan qui passe par l’axe fixe et le centre de gravité fait un angle a avec sa première position verticale, après avoir décrit un arc (Q — depuis son point de départ.

Rompons maintenant les liaisons entre les molécules du corps oscillant; mais supposons chacune d’elles attachée à l’axe fixe, dans la situation qu’elle occupait d’abord, par des fils sans pesanteur , la théorie du pbndlle enseigne que ces molécules prendront alors des vitesses angulaires différentes de celle dont elles jouissaient dans le premier système; ces vitesses angulaires seront plus grandes pour les molécules comprises entre le centre de gravité et l’axe, moins grandes, au contraire, pour celles qui sont situées au delà du centre de gravité par rapport à cet axe. Ces vitesses seront aussi moins grandes pour les molécules qui seront moins écartées de la verticale que le centre de gravité, et plus grandes pour celles qui seront plus écartées. Il y a donc nécessairement entre toutes ces molécules animées de vitesses angulaires plus grandes et plus petites que celle w du premier système, un élément au moins qui a conserve celte vitesse u). C est précisément celui qu’on appelle le centre d’oscillation.

Ce centre d’oscillation est nécessairement compris dans le plan qui contient l’axe de rotation et le centre de gravité du système; car si, à un instant quelconque, il était plus ou moins écarté de la verticale que ce plan, on voit que sa vitesse angulaire ne saurait être celle du système, ce qui est contraire à la définition.

Soit maintenant L la distance à l’axe de rotation de ce point matériel dm, l’équation des forces vives donnera encore

w2 L1 dm = 2 g dm X L (cos. a — cos. <t)

2 g (cos. a — cos. 0)

égalant cette valeur de w à celle qu’on a trouvée ci-dessus, il vient :

mxd

AJ+ü*

Tous les points du système qui satisfont à cette équation seront des centres d’oscillation. Ainsi, le centre d’oscillation, ou plutôt la ligne d’oscillation, est située dans le plan qui passe par le centre de gravite du système et par l’axe de rotation à une distance L de cet axe, que

l’on obtient en divisant le moment d’inertie de masse par rapport à l’axe de suspension par le produit de la masse du corps et de la distance du centre de gravité à l’axe fixe. On appelle proprement centre d’oscillation le point de la ligne d’oscillation situé sur le prolongement de la perpendiculaire menée du contre de gravité à l'axe de rotation, et le point où cette même perpendiculaire rencontre l’axe de rotation est nommé point ou centre de suspension.

S Lorsqu’on fait passer l’axe fixe par le centre d’oscillation,

1 le centre de suspension devient le lieu du nouveau centre d’oscillation, et rien n’est changé dans le système, ce qu’on exprime souvent en disant que les centres de suspension et d’oscillation sont réciproques.

Soit en effet S le point de suspension, G le centre de gravité, Ole centre d’oscillation; faisons SG D, OG =3, S O

‘ 'G étant L, et k le rayon principal de giration, on a :

L = D + ir = D+s’

donc

Suspendons maintenant le corps par le point O, et soit / son rayon d’oscillation, on a encore,

l='o + j, ou/=£ + D,

qui n'est autre chose que la valeur L du premier rayon d'oscillation.

Le rayon d’oscillation d’un corps quelconque oscille, abstraction faite du plus grand frottement sur l’axe, comme un pbndlll simple de même longueur.

La valeur du rayon d’oscillation L ne dépendant que de D, les durées des oscillations d’un corps déterminé seront les mômes pour des centres de suspension pris à égales distances du centre de gravité.

Rayons d’oscillation.

Ligne droite ou cylindre d’un très petit diamètre dont l est la longueur, l’axe de rotation étant placé à l’extrémité môme de la droite, on a

Si le cylindre conservant partout son petit diamètre était formé d’une substance dont la densité croîtrait avec la distance à l’axe do suspension, on aurait

Le même cylindre supposé homogène, de longueur l mais ayant l’axe de rotation placé à une distance i m de son extrémité, de sorte que cet axe le divise en \m deux parties m et l — m, on a, pour la valeur générale | L' de la distance du nouvel axe de rotation au centre d’oscillation

Si l’on prend m = ÿ l, il vient L =fl ,

le centre de percussion coïncide avec l’extrémité B du cylindre, et l’on voit ainsi que les oscillations d’un cylindre de très petit diamètre s’accomplissent dans B le môme temps, soit que ce cylindre soit suspendu par

son extrémité, soit que le point de suspension soit situé à j de sa

l°LcUnombre des vibrations serait le plus grand possible, si la valeur générale de L’ était minimum. Cette condition suppose

= 5i-5'l/-J = ë' (* — l/î) =®-2113as x '■

Deux tiges AC, CB égales, d’un très petit diamètre, chacune de longueur l sont réunies au point C qui est le centre de suspension ; elles forment entre elles un angle 2 9 = ACB et oscillent dans le plan de la 6gurc. Le centre d’oscillation est sur la bisectrice CO de l’angle 2 9 à une distance CO — -J l sec. 9.

Triangle isocèle, suspendu par son sommet et oscillant perpendiculairement à son plan

h étant la hauteur du triangle.

L’aire triangulaire ci-dessus se mouvant dans son plan, m étant la moitié de la base, on a

. 3fc*+m«

Et si m=h, le triangle isocèle devient rectangle à la suspension, et l'on a, comme pour le cône,

Rectangle se mouvant dans son plan. Sa longueur est /, sa largeur 2 m, la distance d’une de ses extrémités au point de suspension, mesurée le long du milieu du rectangle, est a, on a

X'-M + jl'+jm' U — A

Si le rectangle est suspendu par un de ses angles,

L = * diagonale.

Cercle de rayon r suspendu par un point de la circonférence et se mouvant perpendiculairement à son plan

L = lr;

Si l’aire circulaire se meut dans son plan,

L =* diamètre = f r.

Secteur circulaire se mouvant dans son plan.

3 arc X rajon 4 corde

Aire elliptique. Si les axes de l’ellipse sont entre eux comme 1 et J/ 3, le point de suspension étant situé à l’extrémité du petit axe, on a, l’aire se mouvant dans son plan,

L — petit axe.

Parabole commune, suspendue par son sommet cl se mouvant perpendiculairement à son plan

L = | axe = | hauteur.

Si l’aire parabolique ci-dessus se meut dans son plan L = I axe -J- y paramètre.

Si l’aire parabolique se mouvant dans son plan est suspendue par le milieu de sa base,

L = { axe -f- J paramètre.

Si l’aire parabolique se meut dans son plan et que la base = | axe X V *2 = axe X 1-851 65, on a

cl une telle aire oscillera dans le même temps, que la suspension soit au sommet ou au milieu de la base.

Pyramide à base carrée dont la hauteur est h et le côté de la base = c, la suspension étant au sommet, et le plan du mouvement parallèle au plan vertical qui passerait par le côté de la base,

L = 5A+ih’

y „ linsolidederévolution homogène est suspendu par [ 1 son sommet V au point de suspension C à l’aide d'une

\ 0 / tige C Y dont la masse est négligeable; m est un

\ a / point quelconque de ce solide quia pourcoordonnées

\ ® ~7m Va =*ct am = y, CG = D est la distance du cen-

tre de gravité au point de suspension; CO = L est A la distance au même point du centre de percussion,

t:=3. 14161; on a en général

“ “ CXD

C est le volume du corps.

Cône. Si le solide de révolution VmM est un cône dont VA

est la hauteur et M A=r le rayon de la base, on a y = ^ x et

Si le cône est suspendu par son sommet \—o et l’on a

\Tt\ t i * i r