On démontre que

Dans le système vulgaire donllabase est dix, si deux nombres sont décuples l’un de l’autre, leurs logarithmes ont mêmes parties décimales.

14. La différence entre les logarithmes de deux nombres consécutifs est d’autant plus petite que ces nombres sont plus grands. Il en résulte que, bien que les logarithmes ne soient pas proportionnels aux nombres, on peut, sans erreur sensible, supposer cette proportionnalité pour de grands nombres et dans une petite étendue ; ce qui autorise l’emploi des parties proportionnelles des tables.

15. Dans tout système de logarithmes, celui de la base « est un. En effet, l’équation fondamentale al=: y peut être écrite a'°*,T = y, puisque x — log. y. Or si on y suppose y = a, il vient a10*-” — a , équation qui ne peut avoir lieu qu’à la condition log. a= 1.

16. Dans tout système de logarithmes, le logarithme de un est zéro ; car l’équation ci-dessus pour le cas de y — t devient a10* l— 1 , et elle ne peut être satisfaite qu’à la condition log. 1 = 0 , ou a" — 1 .

17. Une série de nombres en progression par quotient étant donnée, leurs logarithmes forment une progression par différence

18. Soil s le logarithme d’un nombre n dans le système dont la base est e, on a ? — n-, on demande le logarithme .r de ce même nombre n dans le système dont la base est a , et pour lequel un a dès lors o1 = n. Désignant les logarithmes du premier système par log. hyp., et ceux du second par log., il vient

n— al — e?; x log. a = *log. e;

h>g. r log- O

.1 — b>g. n = log. hyp. n X

log-o

log. a

i . i log. n

log. hyp. « = log. n x y

!og.«

19. Les logarithmes népériens, naturels ou hyperboliques Jog.U\p.) ayant été calculés dans un système dont la base

et le logarithme de ce nombre e dans le système dont la base a~ 10 étaut log. e = 0.4342944819

ou a, en remarquant que log. a = log. base = 1 les relations numériques suivantes qui permettent de passer du logarithme hyperbolique d'un nombre n à son logarithme vulgaire (log.) et réciproquement

log. hyp. u =2.30258092994 X log. n — —

log. « = 0.4342944819. . . X log- hyp. ti = m log. hyp. n

Comme on compare tous les systèmes de logarithmes au système népérien ou hyperbolique, on a appelé le facteur constant ci-dessu>