log. e = log. 2.71828. . . = ; r- — — le mo
log. hyp. 10
dule des tables ordinaires. — Le module des logarithmes hyperboliques, dont la base este, est un; et en général^ étant la base d’un
système, son module m =- : . Quelques auteurs, Borda entre
log. hyp. 6
autres, désignent au contraire, sous le nom de module d’un système, le logarithme hyperbolique de sa base; nous ne nous conformerons pas à cette dernière définition qui parait abandonnée. Les équations précédentes montrent encore que le rapport des logarithmes d'un même nombre pris dans les deux systèmes, est une quantité constante = le rapport des modules. Cette propriété est générale et s’applique à deux systèmes différents quelconques.
20. Je ne saurais, dans un livre destiné aux applications, m'arrêter sur les méthodes qui ont fourni les tables de logarithmes en usage, je me bornerai à ce sujet à reproduire les séries suivantes.
La première est duc à Mereator (année 1 688), Newton l’avail trouvée 'Je son côté; on pourra consulter au reste V Introduction d’Euler d l’analyse de l’infini.
m étant le module, u un nombre quelconque, on a :
log. (i -f i/)= m
log. (1 — - u) = m
retranchant cette équation de la précédente, il vient
log.
faisant
. = IH — ce qui donne u = — ,
il vient
série qui fait connaître le logarithme de n -f- s , lorsque l’on connaît celui de n.
Si l’on y suppose n = 1 ; z = I ; m = 1 , on trouve à cause de log. 1 = 0
log. hyp. 2 = 0 .6931 47 181 et par suite log. 2 = 0.301029996
LOGARITHMIQUE (fig. 7, planche LXXXIX) 1. Courbe dans laquelle les y sont les logarithmes des x, et dont l’équation est par conséquent
y = log. x ou aT = .r (1)
a étant la base du système, et dès lors log. a = 1.
2. Construction par points. Divisez l’axe des x en parties égales,
qui représenteront les nombres 1,2,3 10. — Prenez les loga-
rithmes correspondants dans les tables pour les porter sur les ordon nées. Faites passer une courbe par les extrémités des ordonnées comme dans la figure 7 qui représente la logarithmique vulgaire, hase = a = 10.
3. On voit que la logarithmique rencontre l'axe des x au point pour lequel xz= 1 , que sa branche 1 L est infinie, et que celle 1 r a pour asymptote la partie négative A — Y de l’axe des ordonnées, de sorte que la courbe ne passe jamais à la gauche de cet axe.
4. On appelle également logarithmique la courbe (fig. 8. même
1060 LOGARITHMIQUE. — LOIS de Kepler.
planche ) dont les x sont les logarithmes des y , et dont l’équation devient alors
x — log. y ou a1 ~ y
De même que la première, sa branche 1 L est infinie, mais c’est l'axe des x qui devient ici l'asymptote de la branche 1 z de la courbe, et l’ordonnée à l’origine = 1. Si l’on prend x = 1 , on a y = a=:la base. Dans cette fig. 8ona prisa:=e — 2.718. ,.=base des logarithmes népériens, de sorte que la courbe tracée est la logarithmique hyperbolique. Ses abscisses étant prises en progression par différence, les ordonnées correspondantes forment uno progression par quotient.
En général, les différentes espèces de logarithmiques semblablement disposées ne diffèrent entre elles qu’à raison de la base ou du module.
5. Sous-tangente. Si l’on différentie l’équation 2, et que, par les méthodes exposées au mot courbes, on cherche la valeur de la soustangente, on trouve
sous-tangente PT =
= m = module ,
c’est-à-dire que la sous-tangente est constante et égale au module pour tous les points de la logarithmique.
Cependant si l’on traite l’équation (1) par les mêmes méthodes, on trouve pour la sous-tangente une ligne transcendante
fV
x log. X m
Mais, en considérant la sous-tangente par rapport à la convexité de la courbe, et la mesurant sur l’axe desY,/îy. 7, on retombe sur une valeur algébrique, et l’on a encore
sous-tangente BT = = m — module
