En mettant celle équation sous la forme

P«[«»±P. »in.«pi]±Wp,sin.y,=pW,[6»in.O— fc sin. 0 — (p, sin. <?, + p, siu. <p,)

on voit que l’équilibre exigerait que P, fût infini pour toutes les positions qui donnent

. „ P, »'»>•?.+ Pi »*"•?. ,-4aX

sin. U = t t.12;

de sorte que, en y faisant abstraction des forces d’inertie, le système présenterait autant de points morts qu’il y a de positions du bras pour lesquelles l’équation (12) est satisfaite. Or, dans une révolution complète, sin. '1 prenant quatre fois toutes les valeurs comprises entre 0 et 1, comméra quatre fois avec la valeur de la fraction qui forme le second membre, et il y a dès lors quatre points morts dans une révolution entière, fait qui parait n’avoir point échappe aux praticiens, et que la théorie de M. Moseley met en évidence pour la première fois. On voit même que la valeur de P, étant, sinon inlinie, du moins excessivement grande entre les deux points morts supérieurs et les deux points morts inférieurs, toute position de la manivelle entre ces limites respectives ou voisine de ces limites peut être, en pratique, et abstraction faite des forces d’inertie, considérée comme correspondante à un point mort.

8. Equations du travail. Pour obtenir le rapport entre les travaux simultanés T,, T? de P, , P2 appelons toujours d 0 l’are élémentaire de rayon un décrit par le bras b de la manivelle, «2 d 0 sera le chemin décrit dans le môme temps par le point d’application de P2 dont le travail élémentaire deviendra dT2 = P2 a2 d li ; multiplions par a2dÛ les deux membres de l’équation (10), intégrons celte équation entre les limites 0 = it — « et 0 = 0, il vient :

P, [2 b cos.e — (TT — 2 6) (p2 sin.tp2 -f p, sin.<p, )] = = [ 1 ± T, ± W P, sin . ?l (* - 2 0)

± W, [2 b cos. 0 — (n — 2 0) p2 sin. tp2]. .

Remarquant que 2 b cos. 0 est le chemin décrit par le point d’application de P, dans la direction de cette force pendant que le bras

tmsse de l’angle 9 à l’angle it — 0, de sorte que P, 2 b cos. 0 est e travail T, dépensé sur le bouton c, pendant la duree du travail résistant T, leur

2, il vient après avoir substitué à la place de P, sa va-

= îiséc.0.

2 6 cos. O 2 6

et en réduisant T

[, (:e) aie.e 1

= ri±£i^i]T,±W (ü — 2 S) p, Sin.f, qr \V, [2ô cos. 0 — p,sin. a, (n — 2 0)].

les signes supérieurs correspondant toujours au cas où la manivelle descend, et les signes inférieurs au cas où elle monte.

9. Cette équation (15) qui parait d’abord fort compliquée, est en môme temps très-générale, et elle se simplifie beaucoup, ainsi qu’on va le voir, dans toutes les applications pratiques. Ainsi, ajoutons les deux valeurs qu’elle embrasse sous ses doubles signes, faisons Td -}- Tm = la somme des travaux de P, pendant la descente et pendant la montée de la manivelle, et tm les travaux respectifs de P2 pendant cette même descente et cette même montée, il vient pour une révolution complète

e) séc. 0 + j =

(T.+ TJ

Pi ?.

équation qui suppose toujours que P, et Pa agissent verticalement, et que dans chaque demi-révolution Pt ne travaille qu’en décrivant l’arc (tt — 2 0).

10. Si la machine est à double effet tà — /,„= 0 et le dernier terme disparait. Si (ce qui est le cas le plus ordinaire) la force P, travaille , en outre , constamment , 0 devient 0 et faisant alors l'd Tm = T* = travail moteur et tA tm = T# = travail résistant, on obtient, pour un nombre quelconque de révolutions complètes, l’expression simple

* /Pl *»“•?! + p! »in-9i)

Tm !1

d’où, en négligeant les puissances supérieures de sin. (p, sin .

Tm — ( 1 “ (

P* sin. ?, + p, siu.tp,

1 1 . Ces expressions étant indépendantes du poids W de la bielle, on voit que ce poids n’a pas d’influence sur les travaux relatifs à un tour entier ; ou, plus exactement, tant que P, et P5 agiront verticalement et que l’on aura P, > (P, -{- W) l’augmentation du travail consommé par les frottements dus au poids de l’équipage pendant la descente, est compensée par la diminution qui a lieu pendant la montée.

12. Les forces P, P2 ayant des directions quelconques, mais parallèles , les formules (17) (18) seront encore applicables, si le frottement dû au poids de la manivelle peut être négligé.

1 3. La condition P, > (P2 -f- W) que ces formules supposent aura d’ailleurs lieu pour toutes les positions possibles de la manivelle, si elle a lieu pour sa position horizontale, position qui, en négligeant ici les frottements, fournit cllc-mémc la relation

P, b — P, Uj ou

elle sera donc toujours satisfaite si l’on a

P*>P*“ + W ou ^j1

ce qui exige que le bras de levier aa de la résistance soit plus grand que la longueur b de la manivelle, et d’autant plus grand que le premier membre de la dernière inégalité excédera plus W. Ces conditions étant généralement réalisées dans la pratique, nous renverrons à l’ouvrage de M. Moseleij pour l’examen du cas où P, serait <Pj4-\V, remarquant toutefois que, même alors, l’équation (15) serait encore vraie, mais seulement pendant la descente.

14. Si le système menait un volant, comme dans les machines à vapeur à double effet et à balancier, on aurait, en appelantQle poids de ce volant, p le rayon de son axe, <p l'angle du frottement de cet axe, E le chemin total décrit par le piston de la machine pendant

un temps quelconque

pour le nombre de coups de piston accom-

)lis dans le môme temps, 26 étant nécessairement la longueur de a course.

2^pQtang.<p X 7^ ="QE^tang. Ÿ (21)

serait donc le travail du frottement du volant, et dès lors, pour ce môme temps que l’on suppose comprendre un nombre quelconque de révolutions complètes, on aurait

P. »>'»•?. +p, üin.?,

) j Tr — tï QE ^ tang. <p. . (22)

pour la valeur du travail moteur TM qu’il faudrait dépenser sur le système, afin qu’un travail résistant T„ pût être effectué par la pièce de la machine que l’arbre de la manivelle conduit directement, et Tu et T„ étant toujours supposés parallèles.

15. Manivelle double ( planche XCI, fig. 2). Ce système bien connu sc retrouve surtout dans les machines des bateaux à vapeur, dont l’arbre moteur porte deux coudes dont les plans forment un angle droit et auxquels deux bielles, assez longues pour être considérées comme conservant sensiblement les positions verticales et parallèles, impriment le mouvement de rotation qui sc transmet directement aux roues.

16. Etudions d’abord la période pendant laquelle les deux bielles agissent chacune avec un effort P, d’un même côté du centre C. Au moment où la manivelle la plus élevée forme avec la verticale supérieure un angle G, la seconde inclinée de ^ sur la première formera, avec Ço , l’angle h -f- ~ , dont le sinus = cos. 0. Conservant

les notations déjà employées, cherchons le bras de levier bt de la puissance 2 P, qui aurait uu moment égal à la somme des moments des efforts P, -j- P, appliqués en B et E.

Remarquant que l’on peut multiplier un terme quelconque par

• = |/2X COS. - = y 2 X sin. r, il vient

bt = -(sin. 0 -j- cos. G) = ^sin. G cos. j -(- cos. G sin. ^

sin.

c’est la valeur (8) de a, , à cela près que la longueur b du bras de la manivelle y est divisée par J/ •Tel que 0 y est remplacé par

Donc, en faisant ces substitutions dans l'équation (10) et

multiplant tousses termes par 2, on obtiendra l’équation des efforts dans le système à mauivellc double, qui devient ainsi, pour cette période, identique avec celle relative à une manivelle simple dont le bras aurait même longueur divisée par J/ 2 , et dont la direction couperait toujours en deux parties égales l’angle droit mobile BCE. Mais cette équation n’a lieu qu’autant que les deux bras sont à la fois d’un môme côté de la verticale, c’est-à-dire autant que l’angle 0, compris entre la verticale et le bras moyen imaginaire a pour limite

inférieure - , et pour limite supérieure it — j = - «, limites dont

la différence est