IJ
0 = ^ ou 6, 4 1
Substituant donc dans la double équation (13) y à 0; à b ,
multipliant tous ses termes par 2 et faisant la somme de ses deux valeurs, en appelant t.2 le travail résistant relatif à une seule manivelle, il vient
(p2 sin. tpa -f- p, sin.<p,
équation dans laquelle 4 12 est le travail transmis à la résistance pendant la montée et la descente, mais seulement durant les périodes où les deux manivelles sont à la fois d'un même côté quelconque de la verticale. A ce travail partiel il faut donc ajouter, pour avoir celui qui est relatif à une révolution entière, les travaux accomplis pendant que le bras moyen imaginaire parcourt les deux quadrant pour lesquels la verticale du centre passe entre les deux bras réels.
Or, dans cette situation des bras réels, les efforts P, et P, en tant qu’ils se transmettent à l’axe central C, sont parallèles et de sens contraires, de sorte que cet axe n’est plus soumis qu’à la pression toujours positive -J- 2 (P2 -}- W). L’équation des moments pendant cette période devient ainsi, en appelant 0, l’angle formé par la direction du bras moyen avec la verticale
sin. 6,— p, sin. <p2
= 2Pî[aJ-f-p, sin.cp,]
-(-2 W p, sin. ?l q: 2 W, p= sin. 0, — p2 sin. <?2 (25)
1° multipliant tous scs termes para^/O, — 2° intégrant d’abord TZ 3
entre 0, = ~ cl (J, = o; puis entre 0, = n et 0, = - tz ou mieux
prenant deux fois l’intégrale cuire les premières limites qui est la même que pour les deux autres, on parvient à une équation dont on divisera tous les termes par «2 —J— p, sin. <p, ; 3° eu négligeant dans cette équation les produits de sin.®, par sin.s2 et les puissances supérieures de chacune de ces quantités, ce qui permet de
considérer le multiplicateur — : comme sensiblement
, elle se simplifiera, en conservant le double
signe ± à son dernier terme; 4° faisant la somme des deux valeurs qu’elle implique, afin d’ajouter le cas do la descente à celui de la
montée, et y introduisant à la place de cos. sa valeur t~~ , le
terme à double signe disparaîtra. 5° Ajoutant alors à l’équation (2 1) celle
•IP, |i(v/2-l)-6Pi^Ii(|/2-l)-^ptsi„.?2 } =
8f2 -j- 2 r W p, sin. tp, (26)
à laquelle on parvient, et dans laquelle 8 /2 exprime le travail total de la résistance pendant les périodes où les bras réels ne 'sont pas du même côté de la verticale, on obtient une équation résultante que pour abréger je ne reproduis pas. 6° Appelant T\, le travail moteur des forces 2 P, pendant une révolution complète du bras moyen, T‘r le travail résistant pendant la môme période, remarquant que
2P.Xjit = T'„ d’où 07)
substituant cette valeur de 4P, dans l’équation résultante, il vient enfin pour l’équation du travail daDS ce système pendant une révolution complète
/2?,sin.os + Plsin.?n )
l b Jj
= T‘h+ 2 « Wp, sin. ?, (58) (*) ,
17. Celte formule suppose que les puissances et les résistances travaillent verticalement. Toutefois, si le frottement dù aux poids des bielles et des manivelles pouvait être négligé, et dès lors W supposé = 0, l'équation (28) s'appliquerait encore au cas où les forces auraient des directions quelconques, pourvu qu’elles fussent parallèles.
Si l'on divise cette équation par le coefficient de T'*, on a, en négligeant les termes en sin. ?, sin. ?2 qui ont plus d’une dimension
L , iyl-i)
Pi . r.
2p18in.ç,-|-p|sin.ol\
+ 2 AV p, sin.?, (29)
18. Cas des bielles courtes. La bielle / est parfois tellement courte par rapport au bras b de la manivelle qu’il n’est plus possible de négliger son obliquité, et do la considérer comme agissant suivant une direction constante. Tel serait le cas dans le système de la
(*) J’ai vérifié ces longs calculs avec quelque soin, cl j’ai clé conduit à introduire dans le dernier terme de cette équation le facteur 2, qui m’a paru omis dans l’équation de M. Moseley.
figure 3, planche XCI. Nous supposerons, pour fixer les idées, que le bras de la manivelle b reçoit son mouvement de rolalion continu d'une bielle courte / directement articulée en À sur la tige du piston d’une machine à vapeur, lige qui se meut elle-même d'un mouvement rectiligne alternatif et dont l’articulation A est guidée par une glissière courant dans des coulisses rectilignes fixes. Cette combinaison sc retrouve dans les locomotives et dans un grand nombre de machines fixes modernes.
19. Faisons (P abord abstraction des frottements du guide; appelons P2 Pcljbrt dirigé suivant l’asc de la bielle que le bouton oppose à la rotation du bras de la manivelle à un instant quelconque du mouvement, P, l’effort de la tige du piston à ce même instant, h la distance, a ce même instant, de l’articulation A au centre C de la manivelle, fi l'angle BAC = inclinaison de la bielle sur la verticale h, et 0 l’angle du bras de la manivelle avec CA — h. Le triangle ABC donne (Géom., B. 3-2) les relations :
P = IP + b* — 2 M cos. 6
h=:b cos. 0 ûlV P — A1 sin.1 0 —b cos. 0 -{- î cos. fi .
car Bm = / sin. fi = b sin. G \
d’où sin.[î=y sin.ü et coi.fi— l — -sin.'O j on a donc en différentiant
dh = — (b sin. 0 t/0 -j- /sin. fi d [ï) (32)
Or — dh et bd 0 sont évidemment les chemins élémentaires simultanément décrits par les points A et B, et nous savons par le théorème de B ilhs (p. 128) que ces chemins sont entre eux réciproquement comme les cosinus des angles de la bielle avec les directions respectives du mouvement; on aura donc, en faisant BF taugentc eu B
— Ah
ftrf»
eus. F BO
sin.OBC
sin.(O-fp) |
cos. [3
cos. P
