MASSE

De nombreuses observations ont constaté depuis plus de vingt ans l'exactitude pratique de celle théorie. ( Voyez Ve section du Cours de machines lithographié de M. Poncelet.)

MASSE. Lorsque nous voulons obtenir soit l’accélération o, soit la vitesse t>, soit l’accroissement de vitesse dv qu’une force E supposée constante imprimera à un corps d’un poids connu P , nous nous demandons, en fait, 1° quelle accélération g, quelle vitesse jxtou quel accroissement de vitesse g X dt.ee môme corps supposé libre recevrait soit en une seconde, soit dans le temps t , soit seulement dans l’élément du temps dt de l’action de son propre poids, puis 2“ les expériences de Galilée nous ayant démontré la grande loi de la proportionnalité entre les forces et les vitesses (p. 778), nous cherchons, parfois sans en avoir conscience, le quatrième terme des proportions :

p d’où ÿ=|f=ï

P ; jXf.'.F:» d’où v = | F t = ^ t

P : g\dt\ '.F \dv d’où d v = | Fd<= ? dt

et, ainsi que nous l’avons fait remarquer (p. 784), c’est la nécessité de rapporter les circonstances d’un mouvement quelconque aux mesures absolues que nous donne seule la chute des graves (p. 338) qui introduit dans toutes ces proportions et expressions l'inévitable

rapport P * g ou quotient - = M.

Ce rapport ou quotient du poids P d’un corps divisé par la vitesse g = 9.8088 qu’il acquerrait après être tombé librement dans le vide au bout d’une seconde , nous le désignons par M, et nous l’appelons la masse du corps dont le poids est P.

Un même corps, suivant qu’il occupe une latitude ou une autre, ou qu’il est porté sur une môme verticale en deux points différents, a en effet deux poids différents PP', mais les vitesses g, g' qui correspondent à ces deux points variant elles-môme comme ces poids, il en résulte que sa masse M reste constante, et que l’on a

La masse n’est donc pour nous rien autre chose qu’un pur rapport ou quotient dérivant de proportions analogues à celles qui ont été posées ci-dessus. Et nous ne savons pas ni n’avons heureusement aucun besoin de savoir si, comme le veulent les physiciens et les

MASTICS et LUTS. 1127

métaphysiciens, la masse M = - d’un corps de poids P est en effet la quantité de matière dont il se compose.

MASTICS et LUTS. 1. Je réunis sous ce titre les composés plastiques dont on revêt les surfaces et les joints qui doivent s’opposer au passage des liquides, des gaz, des vapeurs et parfois de l’humidité ou du calorique. L'adhésivité dont jouissent la plupart de ces composés permet encore de les employer pour réunir ou souder entre elles certaines matières homogènes ou hétérogènes, telles que la pierre à la pierre, le verre au métal, etc., etc.

2. Lut ordinaire. Celui qui sert surtout à recouvrir les bouchons de liège des appareils de chimie, se compose de farine de graine de lin broyée dans un mortier avec la quantité de colle d’amidon suffisante pour former une pâte bien homogène. On en applique une petite couche sur les bouchons, et on la recouvre de quelques bandes de papier Joseph trempées, pour plus de sûreté, dans la colle forte.

3. Cavendish broyait des amandes dans un mortier et les incorporait dans de la colle forte légère. Ce lut résisté à la pression d'une colonne d’eau d’environ 0m.10.

4. Lut à la chaux. On l’emploie non-seulement pour fermer les joints des appareils, mais aussi pour le raccommodage des vases de verre et de terre.

Ou le prépare en malaxant rapidement de la chaux vive en poudre fine avec un blanc d’oeuf délayé dans son volume d’eau. Quelquefois, on remplace le blanc d’œuf par une dissolution de colle forte assez légère pour demeurer liquide à froid.

Il faut employer ce lut à l’instant même où l’on vient de le préparer, car il durcit très-promptement.

On enlève assez facilement ce lut après l’avoir entortillé pendant quelque temps avec des chiffons humides, auxquels on peut ajouter au besoin un peu d’acide hydrochlorique.

5. Lut gras. Ce lut est le meilleur que l’on connaisse pour assurer les joints des appareils dislillatoircs. Il résiste à un assez haut degré de chaleur ; il est peu pénétrablc aux acides et aux liqueurs spiritueuscs. Il adhère avec force aux métaux, au grès, au verre, pourvu que ces substances soient parfaitement sèches.

Pour le préparer, on calcine de l’argile, on la broie, on la tamise, on la met dans un mortier de fonte, et on l’incorpore peu à peu avec de l’huile siccative en la ballant avec un pilon, jusqu’à ce que le mélange bien homogène et bien ductile ait pris la consistance d’une pâte ferme. On l’applique comme le lut ordinaire (2), et on le recouvre de bandes de toiles imbibées de lut à la chaux (4).

lî. L'huile siccative s’obtient en faisant bouillir de l’huile de lin ou d’œillet, avec un seizième de son poids de litharge en poudre.

1 1 28 MASTICS cl LUTS.

On continue l'ébullition à un feu modéré jusqu’à ce que l’écume commence à roussir. On retire alors le mélange du feu. On laisse reposer l'huile et on la décante.

7. Pour luter l’extérieur des vases , c’est-à-dire les recouvrir d’une couche légère de matières propres à les garantir contre le ramollissement ou contre les effets des changements subits de température, on emploie : argile réfractaire 10 -j- argile fusible 1 -j- sable 2 -J- crottin de cheval On bat le tout avec un peu d’eau; puis on en ajoute assez pour l’amener à consistance de crème. On plonge le vase, la cornue par exemple, dans ce liquide épais; on l’y fait tourner afin de la recouvrir également ; on la tient ensuite au-dessus du feu pour sécher cette première couche, puis on la re plonge dans le mélange j pois on sèche de nouveau, et l’on replonge encore jusqu’à ce que la couche de lut ait une épaisseur convenable, soit environ cinq millimètres.

8. Pour fixer les viroles de cuivre et les garnitures métalliques, on fait fondre ensemble à la température la plus basse : cire jaune 1 -j- résine sèche (arcanson) 4 ou 5. On introduit peu à peu dans le mélange fondu 1 d’ocrc rouge en poudre fine et préalablement desséchée. On laisse pendant quelques instants la température s'élever un peu au-dessus de 100°, jusqu’à ce que la matière ne donne plus d’écume et n’éprouve plus d’agitation. On laisse refroidir en agitant continuellement afin de tenir l’ocre en suspension. Pour employer ce mastic, on le ramollit à la chaleur, et l’on chaufTc les pièces sur lesquelles on l’applique.

9. Pour sceller les robinets des fontaines , assembler et lier les tuyaux de grès , on emploie le mastic des fontainiers. On le prépare en fondant 1 de résine (arcanson du commerce) dans une marmite de fonte, ety ajoutant par petites parties, dès que la liquéfaction est complète, 2 de ciment de brique bien desséché et encore chaud. On le coule ensuite en pains sur une plaque de fer huilé. On concasse ces pains en petits morceaux ; on les refond dans un vase en fer, en agitant continuellement, mais seulement jusqu’à consistance de pâte molle. On applique le mastic à chaud sur les objets à sceller, un peu chauffés eux-mémes, et l’on repasse les joints avec un fer chaud qui les lisse.

10. Le mastic de Dihl convient surtout pour le rejointoicment des dalles, et pour enduire les pierres qui doivent recevoir des peintures. Il se compose d’huile siccative (6) et de ciment de briques, de poteries de grès, de terre à porcelaine, ou d'argile calcinée, suivant la teinte qu’on désire, eu quantité suffisante pour que le mélange prenne une consistance plastique assez forte.

Les surfaces et les joints doivent être complètement nettoyés, puis rustiques, tant pour augmenter les aspérités que pour enlever toute efflorescence ; ou y applique promptement le mastic à la trnelle, en

MASTICS et LCTS. 1129

le comprimant autant que possible et le lissant aussitôt. S’il s’opère des fissures par le dessèchement, on les rebouche avec du nouveau mastic, et on lisse en comprimant à la truelle. M. Debret qui a employé avec succès ce mastic à la chapelle de Saint-Denis, recommande de ne lui donner, en aucun cas, plus de huit à neuf millimètres d’épaisseur. Autrement, on n’obtiendrait pas une dessiccation convenable.

1 1 . Mastic des sauvages. Les sauvages de la Nouvelle-Hollande fixent, dit-on, la pierre de leurs haches avec un mastic qui, analysé en 1810 par M. Laugier, a donné : résine jaune 49 -|- sable pur 37 -f- oxyde de fer 7 -j- chaux 3.

12. Mastic des vitriers ; il peut encore servir à reboucher les fentes et les trous de cheville dans les bois et boiseries avant de les peindre. On le prépare en faisant dessécher au feu de la craie ou du blanc d'Espagne en poudre, et malaxant sur une table en marbre avec assez d’huile siccative (6) pour obtenir une pâte consistante, mais ductile.

13. Pour couvrir les terrasses, revêtir les bassins , souder les pierres et s’opposer à V infiltration des eaux, on emploie avec avantage un mastic formé de brique ou argile bien cuite 93 -|- litharge 7 -}- huile de lin. On réduit la brique et la litharge en poudre très-fine ; on les tamise ensemble et on ajoute au mélange la quantité d’huile de lin pure qui suffit pour qu’il prenne la consistance du plâtre gâché. On l’applique ensuite à la manière du plâtre, apres avoir légèrement humecté avec une éponge les surfaces à recouvrir ou à rejoindre. S’il se forme quelques gerçures, on les bouche avec une nouvelle quantité de mastic. Ce mastic ne se solidifie qu’au bout de trois ou quatre jours {Voyez encore pag. 952).

14. Pour les plaques et rebords de fonte serrés par des écrous. On emploie pour les réunir le mastic de fonte formé de

Limaille de fer ou de fonte douce non oxydée. . 30 ou 50

Sel ammoniac (hydrochlorate) 1 1

Fleur de soufre très-propre 1 2

32 ou 53

On mélange le tout avec soin dans un mortier; on ajoute la quantité d’eau et parfois d’urine suffisante pour l'bumecter et l’amener à l’état de pâte molle. On l’emploie alors immédiatement après sa préparation. Il s’échauffe entre les joints, se gonfle elles déborde ; on l’y chasse de nouveau par le mattage.

i 5 . Pour pièces en fer ou en fonte chauffées au rouge , on forme une pâte épaisse de limaille 4 -f- glaise non pyriteuse 2 ■+• ciment debriques 1 ,en délayant le tout avec do l’eau saturée de sel commun. 1 6. Contre les fuites des tuyaux de vapeur , on peut employer le

1130 MALTERTUIS. — MAXIMUM-MINIMUM.

mastic rouge formé de céruse 1 minium t, bien mélangés et imbibés ensuite d’une petite quantité d’huile de lin que l’on ajoute par parties en battant le mélange pendant longtemps avec un marteau, jusqu’à ce que la pâte soit bien liée et assez ferme pour que l’on en puisse former de petits rouleaux sans la casser.

MAUPERTUIS (Pierre-Louis Moreau de), né à Saint-Malo, le 17 juillet 1689, mort à Bâle, le 27 juillet 1759, chez les fils du célèbre Jean Bcrnouilli.

MAXIMUM — MINIMUM. Considérons une fonction y de la seule variable x

Soient a, a a' trois valeurs de x qui, substituées dans l’équation, fassent prendre à y trois valeurs différentes, savoir A, A A'. Si toutes les valeurs comprises entre a , et a ainsi que celles comprises entre a et a' rendent y plus petit que A , a rend y maximum.

Si, au contraire, toutes les valeurs de x comprises entre a, et a ainsi que celles comprises entre a et a’, rendent y plus grand que A, a rend y minimum.

On voit par cette définition qu’il peut y avoir plusieurs maximums ou minimums, sans que jamais deux maximums ou minimums puissent se succéder immédiatement, et qu’une valeur de a; n’en répondra pas moins à un maximum de la fonction, quand bien même une autre valeur de x rendrait y plus grand. De même pour le minimum.

Un maximum est donc tel que les valeurs qui le précéderaient ou le suivraient immédiatement soient plus petites que la sienne, et l’essentiel pour un minimum est que toutes les valeurs qui le précéderont et le suivront immédiatement, soient les unes et les autres plus grandes que la sienne.

Cela posé, voici l’énoncé d’une règle au moyen de laquelle on parviendra généralement, dans le cas d’une seule variable, à assigner toutes les valeurs et rien que les valeurs de x auxquelles les maximums et les minimums de la fonction proposée doivent répondre.

Règle. Egalez à zéro le coefficient différentiel du premier ordre de la fonction.

Il en résultera une ou plusieurs valeurs de la variable parmi lesquelles seulement pourront se trouver celles qui rendront la fonction proposée maximum ou minimum.

Pour distinguer celles de ces valeurs qui jouissent de cette propriété de celles qui n’en jouissent pas, substituez ces valeurs tour à tour à la place de la variable dans les coefficients différentiels des ordres supérieurs de la fonction, jusqu’à ce que vous rencontriez un de ces coefficients que la substitution ne fasse pas évanouir.

Si ce coefficient est d’un ordre impair, la valeur substituée ne répond ni à un maximum, ni à un minimum de la fonction proposée.

Si au contraire, le premier coefficient différentiel que la substitution d’une valeur de la variable ne fait pas évanouir est d’un ordre pair, cette valeur répond à un maximum ou à un minimum, suivant qu’elle rendra ce coefficient différentiel négatif ou positif.

On obtiendra ensuite la valeur maximum ou minimum de la fonction en substituant dans la fonction cette même valeur de la variable.

Cette régie n’est pas tout à fait complète, puisqu’elle n’embrasse pas le cas où une valeur substituée rendrait quelque coefficient différentiel infini ou indéterminé ( Voyez à ce sujet le grand Traité de calcul différentiel et intégral de M. Lacroix).

Applications : soit

y = 6 x' — 70 x* + 336 x‘ — 861 **4-1274x‘ — 1098*»+ 50»*— 27 cela donnera

^ = 42(x« — tOx‘ + 40 x* — 82 je* -f 91 x1 — 52x + 12) =

Les valeurs de x qui peuvent rendre y maximum ou minimum, sont donc données par l’équation (x — i)5 (x — 2)* (x — 3) = 0, d’où l’on tire x = 1 x=2 x = 3.

Le premier coefficient différentiel que la valeur x — 1 ne fait pas évanouir est celui du quatrième ordre, qu’elle rend = — 504. Cette valeur répond donc à un maximum qui est y = -j- 70. Le premier coefficient différentiel que la valeur x = 2 ne lait pas évanouir, est celui du troisième ordre, d’où il suit que cette valeur de x ne répond ni à un maximum, ni à un minimum. Enfin, le premier coefficient différentiel que la valeur x = 3 ne fait pas évanouir, est celui du second ordre qu’elle rend = 336 , d’où il suit que cette valeur répond à un minimum qui est y = -f- 54.

Soit encore, avec un peu plus de développement :

Le coefficient différentiel du premier ordre égalé à zéro, devient

d’où résulte x = 1 ; x=2 et x=3 pour les valeurs qui peuvent rendre la fonction maximum ou minimum. Substituant tour à tour chacune de ces racines dans le coefficient différentiel du second ordre

— - = 12x* — 48x -j- U dx* '

aucune ne le fait évanouir, et les résultats correspondant à

ont respectivement pour signes

donc, le coefficient étant d’ordre pair,

x = 2 rend la fonction y maximum et = 2 x — 1 ou 3 rend y minimum et = 1

La règle suivante, qui revient au fond à la première, paraîtra peut-être plus facile à saisir : 1» cherchez la valeur de x qui rend

— = à zéro; 2° substituez cette valeur a de x dans l’expression

dx'

Si lo résultat est négatif

a rend y

Si le résultat est positif

maximum

minimum

S’il est zéro , a ne rend y ni maximum ni minimum , à moins

que — ne soit on même temps zéro. Alors tout dépendra du signe

, et ainsi de suite.

de

dx'

Et lo même procédé étant appliqué à chacune des racines four-

nies par — = 0 , on obtiendra tous les maximums et les minimums, dx

ri y

Si — = 0 ne donne pas de racines réelles, la fonction proposée n'a ni maximum ni minimum. Elle croît et décroît ad infinitum. Soit y = xs — 7x* -f- 19x3 — 25X1 -j- 16*-j- 10;

~=5x* — 28 x‘ -f 57 xJ — 50 x + t6 = 0 a pour racines t , i , 2 , I |

Maintenant, on a d' y

dx'

— 20 x 3 — 84 x5 -f- 1 Hz — 50

qui devient zéro pour x — 1 . Donc x — 1 ne donne ni maximum,

ni minimum, a moins que — - ne soit zéro, ce qui n a pas lieu.

dx2

Mais prenant x — 2 , le coefficient du second ordre devient ( — 4), donc cette valeur de x répond à un maximum, et soumettant la racine 1 | au même procédé, on obtient encore un résultat semblable.

Soit encore y — x' — 18a:1 -f- 96se — 20

— = 3 x'- — 36 x 4- 96 = 0 dx

donne pour racine x = b et * = 8, or — = 6x — 36.

Ici, la racine 8 rend ce coefficient différentiel positif, et la racine 4 le rend négatif, donc la première répond à un minimum, et la seconde à un maximum.

On trouverait encore que la fonction y — [/ 2 p x n’est susceptible

ni de maximum, ni de minimum, puisque — =

Être rendu nul.

ne peut

— — devient maximum et =

pour x= 1 , et minimum

et =( — {) pour x — { — 1).

Les règles dont on vient de faire l’application sont justifiées par la théorie suivante, imperturbablement reproduite depuis plus d'un siècle par tous les auteurs, y compris l,agrange (Calcul des fonctions, p. 442), et qui paraîtra peut-être plus adroite que lumineuse et convaincante.

Supposons, dit-on, que y soit en général une fonction de x et de h que nous représenterons par et qui soit telle qu’elle de-

vienne f(x), dans le cas du maximum ou du minimum de y ; c’est évidemment supposer, quel que soit le signe de h, que dans le cas du maximum, on a

f(x-\- h)<f(x) ou f(x-\-h) — f(x)< 0, ou enfin f(x-\-h) — f(x) négatif,

et pour le cas du minimum, quel que puisse être le signe de h ,

f (x -\-h)> f(x) ou f(x-\-h) — f(x)> 0, ou enfin f{x -f- h) — f (x) positif.

Or la série de Taylor donne pour le développement de f(x + h) — f(x)

dy h ( d'y h1 [ d’y hs ( d’y h ’

~dx ' ï ' dx' L2 'dx> 1.2. 3 dx' 1.2.3. 4 ' ' ' '

Ce développement devra donc être toujours négatif dans le cas du maximum, et toujours positif dans le cas du minimum, quels que puissent être la valeur et le signe de h , que l’on suppose d’ailleurs une quantité indépendante de x.

Or on prouve, à l’arlicleSdne, qu’on peut toujours donner à h une valeur assez petite pour que le premier terme de ce développement surpasse la somme S de tous les termes qui le suivent, et pour que dès lors il impose son propre signe aai développement total. Mais il est visible que ce premier terme change de signe avec la quantité h qui n’y entre qu’à la première dimension. Doue il serait impossible que le développement fût constamment négatif comme l’exige le maximum, ou constamment positifeomme l’exige le minimum, quel que puisse être le signe de h , si le premier terme ne disparaissait pas. Donc i! disparaît , et la condition commune au cas du maximum

et du minimum devient — = 0. Cette condition remplie, c’cst-à-

dire le premier terme du développement ayant disparu en décélant les seules valeurs de x qui puissent fournir des maximums ou des minimums, on prouve par un raisonnement tout à fait analogue à celui employé plus haut, que le second terme du développement pourra toujours imposer son propre signe à la somme de tous ceux qui le suivent. Mais ce terme étant d’ordre pair, le signe de h,

quel qu’il puisse être, ne changera pas celui de — — ni dès lors

celui de la série qui commence par ce second terme, cl il y aura maximum ou minimum suivant que les valeurs de x tirées de

— = 0 et introduites dans rendront ce coefficient négatif ou dx dx 1

positif. En reproduisant indéfiniment les raisonnements que nous venons d’indiquer avec la variante qu’exige chaque terme de rang pair, on parvient à motiver les règles posées ci-dessus ; mais c’est dans la théorie des courbes qu’il faudrait aller chercher leur véritable source et l’esprit des méthodes qui a dirigé les inventeurs.

Je renvoie aux traités spéciaux pour la recherche du maximum et du minimum des fonctions de plusieurs variables, ce genre de questions se présentant rarement dans la pratique des ingénieurs.

Résultats. Le produit d’un nombre quelconque de Licteurs variables qui, pris ensemble, font une même somme, est un maximum lorsque tous ces facteurs sont égaux entre eux.

Digiti;

MÉCANIQUE ( principes généraux). 1135

Réciproquement, le produit d’un nombre quelconque de facteurs qui font une même somme, ne peut être un maximum qu’à la condition que ces facteurs soient égaux entro eux.

Dans le cas de trois facteurs qui font une môme somme, leur produit sera maximum s’ils sont égaux; mais s’ils sont inégaux en faisant toujours une même somme, leur produit augmentera à mesure que l’inégalité des facteurs diminuera.

De tous les parallclipipèdes de même surface, celui qui a la plus grande capacité est le cube qui a pour côté une ligne égale à la racine carrée de la sixième partie de cette surface.

De tous les triangles construits sur une mémo base et de même contour, le plus grand est le triangle isocèle.

De tous les polygones de même contour, celui dont l’aire est la plus grande a tous les côtés égaux.

Entre tous les cylindres droits de même surface, celui dont la hauteur est égale au diamètre de la base a la plus grande capacité.

Entre tous les cylindres droits d’égale capacité, celui dont la hauteur est égale au diamètre de la base a la moindre surface.

Le nombre r dont la racine as*,ne est un maximum, est la base des logarithmes népériens 2.718....

De toutes les fractions, celle z qui surpasse sa mtmc puissance zm du

plus grand nombre possible, est z = ■ / .

MÉCANIQUE (principes généraux). 1. L’expression principe emporte communément avec elle l’idée primordiale de source, d’origine, de base, elle est l’opposé des mots but, terme, fin. Sortes de prémisses certaines ou du moins incontestées, des principe» généraux sembleraient devoir contenir et engendrer les conséquences, précéder celles-ci et ne point dériver d’elles, il n’en est point encore ainsi des théorèmes généraux que nous allons tésumer en partie; et en leur conservant le nom de principes, on semble reconnaître que la place qu’ils occupent pour ainsi dire au sommet de l’édifice de la science, n’est pas celle qui convient à la régularité, à la simplicité, à l’économie de l’ensemble. « Aperçus d’abord dans le vague, di- « sait Carnot, et en quelque sorte par instinct, appuyés plutôt sur « leur conformité avec les résultats particuliers auxquels on urri- « vait par d’autres voies que sur des démonstrations générales et « rigoureuses , on pourrait ajouter que les principes sont encore à la place où le génie des inventeurs les entrevit d’abord, et qu’ils attendent qu’une main puissante et hardie ose reconstruire sur leur vaste base la science mécanique toute entière, range et contienne dans leur généralité féconde toutes les théories de détail que l’on traverse aujourd’hui pour remonter jusqu’à eux, et qui, il faut l’espérer, ne deviendront un jour que les conséquences naturelles

1136 MÉCANIQUE (principes généraux).

et les développements logiques des principes généraux qui les dominent tontes.

2. Quant à l’emploi de ces principes, on peut dire qu’il consiste surtout dans la mise en équation des problèmes, et si, comme je l’ai definie ailleurs, la mécanique est en réalité la science qui enseigne à calculer les ef/ets des forces, et à remonter de ces effets à la valeur des forces qui les ont produits, l’ensemble de ces principes constitue la science elle-même réduite à sa plus simple expression.

3. Malgré leur importance, je ne les ai résumés ici que partiellement, laissant de côté ceux d’entre eux qui, moins fréquemment invoqués par les auteurs que l’ingénieur consulte habituellement, étaient en même temps moins nécessaires à la mise en équation des questions relatives au calcul des machines. Je renverrai pour tous les autres aux admirables notices que Lagrange leur a consacrées dans plusieurs parties de sa Mécanique analytique , et aux mots Centre, Moments et autres de cet Aide-mémoire.

4. Principe des vitesses virtuelles. Si un système quelconque de tant de corps ou points que l'on veut , tirés chacun par des puissances quelconques , est en équilibre et qu'on donne A ce système un petit mouvement quelconque , en vertu duquel chaque point parcoure un espace infiniment petit qui exprimera sa vitesse virtuelle, la somme des puissances multipliées chacune par l’espace que le point où elle est appliquée parcourt suivant la direction de cette même puissance, sera toujours égale à zéro, en regardant comme positifs les petits espaces parcourus dans le sens des puissances, et comme négatifs les espaces parcourus dans un sens opposé (Lagrange).

5. Si l’on observe que ce produit de chaque force par le chemin décrit dans sa direction propre, par son point d’application , est ce que M. Poncelet a appelé depuis le travail de cette force, travail qui devient négatif, quand la force agit en sens inverse du chemin décrit par son point d'application, le principe des vitesses virtuelles peut se traduire ainsi dans le langage de la mécanique appliquée :

Le travail des puissances est égal au travail des résistances dans toute machine en équilibre sous l'action des forces qui lui sont appliquées.

Remarquons, en outre, que, dans ce dernier énoncé, le mot Eqi ilibbis n’implique plus l’idée exclusive de repos ; qu’il comprend, au contraire, et l’état de repos et celui du mouvement uniforme de la machine, car un corps quelconque est pour nous en équilibre sous l’action des forces qui lui sont appliquées, tant que ces puissances ne modifient point les forces vives dont le corps pouvait être animé avant leur application.

On lire immédiatement du principe des vitesses virtuelles les conditions d’équilibre de toutes les machines, que l’on a coutume

MÉCANIQUE (principe des vitesses virtuelles), 1137

d’étudier dans les statiques ; on en déduit même le principe de la composition des forces qui leur sert de base, et que l’on attribue au géomètre flamand Slevin, quoiqu’il paraisse n’avoir pas été inconnu A' Aristote, d’après le passage suivant de ses Questions mécaniques : Manifestum igitur quàd id quoi secundùm diametrum i n duabus fertur lationibus, necessariô secundùm laterum proportionem fertur.

6. Historique. Suivant Lagrange, les Anciens n’auraient point connu le principe des vitesses virtuelles; bien qu’il soit facile de reconnaître dans le levier et les autres machines plus ou moins simples qui étaient à leur usage que la résistance et la puissance y sont toujours en raison inverse des chemins respectivement et uniformément parcourus par l’une et Vautre dans le même temps , Guido Ubaldi serait le premier qui aurait aperçu cette loi dans le levier et dans les moufles. Galilée l’aurait reconnue plus tard pour le plan incliné et pour les machines qui en dépendent, et il l’avait, dès lors, regardée comme une propriété générale de l’équilibre des machines (Voy. son Traité de mécanique et son Troisième Dialogue, édition de Bologne, 1655). Désignant par momentum, ce que M. Poncelet a appelé depuis travail élémentaire ou instantané, il y démontre qu’il y a équilibre (dans le sens statique du mot) entre deux puissances, lorsque leurs momenta sont égaux et de signe contraire. Celte notion est adoptée un peu plus tard par Wallis, et le principe de l’égalité des momenta devient la base de sa statique; il en déduit la théorie de l’équilibre des forces dans les machines principales; voy. sa Mécanique, publiée en 1669.

Descartes avait, il est vrai, dès 1657, déjà réduit toute la statique à un principe unique qui reviendrait au fond, d’après Lagrange, à celui de Galilée. Ce principe consiste en ce que ; Il ne faut ni plus ni moins de force (travail), pour élever un poids à une certaine hauteur, qu’il en faudrait pour élever un poids plus pesant à une hauteur d'autant moindre , ou un poids moindre à une hauteur d'autant plus grande (Voir lettre 73 du tome Ier, publié en 1657). Il n’est pas difficile, en effet, de déduire de ce principe qu’il y aura équilibre entre deux poids, lorsqu’ils seront disposés de manière que les chemins verticaux qu’ils parcourraient dans le premier instant du mouvement, soient en raison réciproque de ces poids; mais alors, il faudrait peut-être conclure contre Lagrange, que ce germe du principe des vitesses virtuelles n’avait point échappé aux Anciens.

Près de vingt siècles avant Descartes, en effet, Aristote posait encore le principe suivant qui revient à celui du philosophe français, cl qui ferait remonter à près de deux mille ans la notion, alors un peu confuse, du travail des forces : Si igitur a est quod movet , fi quod movelur , y longiludo per quam molum est, S tempus quo movetur, sanè œquali tempore 3 œqualis vis a dimidium ipsius fi movebit per longitudinem duplô majorem quàm y.

1138 MÉCANIQUE ( principes généraux).

Quoi qu’il en soit, c’est à Jean Ucmouilli que Lagrange attribue le mérite d’avoir aperçu, le premier, la grande généralité du principe des vitesses virtuelles (Voy. ses Lettres de 1717 à Varignon, insérées dans la Mécanique de celui-ci) ; D’Alembert en fit plus tard d’heureuses applications, mais c’est Lagrange lui-tnéme qui, le prenant pour le fondement de sa Mécanique analytique j en a tiré les conséquences les plus étendues et les plus fécondes.

7. Principe de D’Alembert. Lorsque des corps p, p3p3pt. . . . sont joints ensemble de manière qu’ils ne puissent obéir librement aux impulsions qu’ils ont reçues ou aux forces accélératrices qui agissent sur chacun d’eux, ils exercent nécessairement les uns sur les autres des efforts continuels qui allèrent les mouvements qu’ils auraient pris s’ils eussent été libres ;

Ainsi A étant, par exemple, la projection d’un axe fixe horizontal; A une tige supposée inflexible et sans masse, p,p2p3 p4.... des poids égaux enfilés sur cette lige rigide à des distancesquelconquesApI,p1p2,p3p4..; le mouvement de chacun de ces poids sera, en général, différent de celui qu’il prendrait s’il était seul enfilé sur la tige. l)‘une part, en effet, la gravité tendant à faire descendre également tous ces poids dans le même temps; de l’autre, la roideur de la lige contraignant chacun d’eux à décrire dans ce même temps un arc proportionnel à sa distance du point de suspension A, il se fera entre ces poids une espèce de compensation telle que les poids les plus rapprochés de A bâteront les vibrations les plus éloignées, tandis que ceux-ci retarderont les premiers. On voit même qu’il y aura sur la tige une sorte de point neutre, où un poids étant placé", son mouvement ne serait ni accéléré ni retardé par la réaction des autres poids, et serait le même que s’il était seul enfilé sur la tige. Ce point serait le centre d’oscillation (pag. 250) ou d'agitation comme l'appelait Descartes, et c’est précisément la recherche de la position de ce point qui a donné naissance au principe que nous connaissons aujourd’hui sous le nom de principe de D’Alembert. Uuyghens détermina d’abord la position de ce centre, mais ce fut à l'aide de ce qu’il appela le principe de la conservation des forces vives, principe précaire suivant Lagrange, cl qui est cependant devenu la source du principe des forces vives, qui depuis un quart de siècle forme la hase fondamentale du calcul des machines. Voyez le Ilurologivm oscillatorium de Uuyghens, 1673, livre curieux rempli d’idées nouvelles alors.

MÉCANIQUE (principe de D'Alembcrl ). 11:)!)

Jacques Bernouilli reprit le problème des centres d’oscillation vers 1C91 : considérant ensemble les mouvements que la gravité imprime à cha.que instant aux points matériels p,p2pr . . qui forment le pendule Ap4; remarquant que leur liaison s’opposait à ce qu’ils les suivissent, il eut l’idée de considérer les mouvements réels qu’ils prendront comme composés des mouvements que la gravité leur imprimerait, et d’autres mouvements ajoutés ou retranchés qui doivent se contrebalancer, et en vertu desquels le pendule demeurerait en équilibre. Ce qui est le germe évident du principe généralisé par D’Alembert, en 1743, sous l’cnoncé suivant:

8. De quelque manière que plusieurs corps viennent à changer leurs mouvements actuels , si l’on conçoit que le mouvement que chaque corps aurait dans l’instant suivant s’il devenait libre, soit décomposé en deux autres , dont l’un soit celui qu'il aura réellement après le changement , le second doit être tel que si chacun des corps n’eût eu d'autre mouvement que ce second , tous les corps fussent demeurés en équilibre.

9. De son cété, Herman, dès 1716, dans sa Plioronomia, ou science des mouvements de transport, avait résolu le problème du pendule composé, en partant d’un principe que je résume ainsi :

Les forces motrices dont les poids qui forment le pendule composé, doivent être animés pour pouvoir être mus conjointement, sont équivalentes à celles qui proviennent de l’action de la gravité , en sorte que les premières étant dirigées en sens contraire, doivent faire équilibre

à ces dernières , sur le système. C est encore le principe de D’Alembert, mais présenté sous une forme plus évidente peut-être; et qui a conduit à celui des deux énoncés des auteurs modernes qui épargne les décompositions de forces, et que je développerai à l’aide d’une application au problème qui nous a déjà occupés.