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soumises respectivement \ p • .a
à des forces quelconques 1
X, Xa X3 X4.... réunissez A j\ \ /TV
alors toutes ces masses en- \l\ \?i\
tre elles par un système v \
de liaisons quelconques, ‘ 4 p
A mn par exemple; celte îf /f\. ?
liaison contraindra cha- n,\
cunc d’elles à prendre un
1140 MÉCANIQUE ( principes généraux).
mouvement p, n, , p2n2, p3n3, p^ni différent de celui p,X, , p2X2 , PjX3 qu’elle aurait pris, si elle eût été libre; or si l’on introduisait dans le système de nouvelles forces F, F, F, F4 qui, agissant sur chaque corps en sens contraire de son mouvement effectif, seraient capables, abstraction faite de l’inertie, de le réduire au repos, il y aurait équilibre. Il s’ensuit que les forces X,X2X,..., que l’on appelle habituellement les forces imprimées , sont à chaque instant en équilibre sur le système et, en ayant égard à la liaison de ses parties, avec les forces effectives prises en sens contraire F, F2F3 , etc.
Or ces forces effectives que le principe prescrit de prendre en sens contraire ne sont en intensité, direction et sens, rien antre chose, en fait, que les forces d’inertie (page 785)
F P, dv,
g dt ’ 5 g d I ' 3 g d t
etc. ,
des petites masses î. . . relatives aux variations effectives
dv, dva dv3 de leurs vitesses respectives dans le même temps infiniment petit dt.
La considération des forces d’inertie (p. 776) ramène ainsi le principe de D’Alembert à une sorte d’axiôme que l’on pourrait peutêtre énoncer ainsi :
1 1 . Pour chacune des variations infiniment petites du mouvement d’un système de points liés d’une manière quelconque, P ensemble des forces mouvantes fait d chaque instant équilibre sur le système , et en ayant égard d ses liaisons, d l'ensemble des forces d’inertie relatives à la variation effective du mouvement de chacun des points matériels. Ce qui revient à dire, après tout, que les actions et les réactions sont d chaque instant en équilibre sur le système (p. 776); et, quant aux forces détruites par les liaisons du système, ce sont elles évidemment qui produisent les tensions ou efforts sur ces liaisons.
12. Principe ou équation des forces vives. Désignons en général par P la composante d’une force mouvante ou positive dans la direction du chemin élémentaire dp décrit par son point d’application à une machine quelconque ; par R la composante d’une force résistante ou négative dans la direction, mais en sens inverse du chemin élémentaire dr décrit par son point d’application à la machine dans le même temps infiniment petit dt ; par m la masse ou p le poids d’un point matériel quelconque de cette machine, dv. étant l’accroissement que reçoit la vitesse v„ de ce point pendant dt.
j P dp, j Rrfr seront pour chacune de ces forces le travail
total ou la somme des travaux élémentaires simultanément accotn
MÉCANIQUE ( principe des forces vives). 1141
plis enlre les limites de la durée que l’on considère ou de l’espace parcouru pendant cette durée par leurs points d’application. Prenant, suivant l'usage, le signe £ pour indiquer l’addition de tous les termes semblables fournis par chacune des forces soit mouvantes soit résistantes qui peuvent agir sur le système, on a, en combinant par exemple le principe des vitesses virtuelles avec celui de D’Alembert
Rdr = S J mv0dv„ (1
le dernier terme exprimant le travail de toutes les forces d’inertie de la machine. Intégrant ce dernier terme entre t>0 ou la vitesse do la masse quelconque m au commencement du temps que l’on considère et v sa vitesse à la Gn de ce temps, il vient (page 1083)
£ J'vàp — s f'Rdr = S ^ . . .
c’est-à-dire que : dans tout système de corps en mouvement, la différence entre la somme des travaux mouvants et celle des travaux résistants pendant un temps quelconque, est numériquement égale d la variation de la demi-somme des forces vives de toutes les masses du système pendant le même temps ou au travail des forces d'inertie.
13. Si la vitesse de tous les points du système était nulle au premier instant, ou si la machine parlait du repos, on aurait
c’est-à-dire que la moitié des forces vives acquises par tous les points mobiles de la machine est numériquement égale d l’excès du travail moteur total sur le travail de toutes les résistances depuis l’origine du mouvement jusqu’à l'instant où la vitesse est devenue — v.
14. Dans les cas où les Iravaux résistants sont assez faibles pour pouvoir être négligés, le système partant du repos donne lieu à l’équation
c’est-à-dire que/e travail de toutes les forces mouvantes depuis l'origine du mouvement jusqu à l'instant où les masses du système pos-
sêdenl les forces vives 2 — , est numériquement égal à la moitié de ces forces vives ou au travail total développé par les forces d'inertie.
15. Si l’on suppose que la machine étant en mouvement, toute force mouvante cesse d’agir à l'instant où la force vive totale était
1142 MÉCANIQUE (principe de Carnot).
£ , cl que les forces résistantes travaillent seules, il faudra que
les forces résistantes aient développé un travail total numériquement égal à la moitié de la somme des forces vives ci-dessus avant d’avoir anéanti le mouvement du système.
16. Enfin, si l’on considère le mouvement de la machine depuis son origine jusqu’à son extinction complète, ou bien encore entre deux instants où la somme des forces vives est redevenue la même, le second membre de l’équation générale devenant nul, on a
£ J Vdp R dr.
c’est-à-dire que la somme des travaux mouvants égale dans ce cas la somme des travaux résistants, ou que les forces d’inertie n’étant pas mises enjeu, ou s’étant compensées, le travail produit par les forces mouvantes se retrouve tout entier dans celui que les forces résistantes absorbent , et c’est en cela que consiste le principe de la transmission du travail.
17. Le principe des forces vives ou de la transmission du travail est devenu la bas, fondamentale de la mécanique appliquée. On pourra étudier les développements successifs et les transformations qu’il a reçus depuis environ soixante ans dans les ouvrages suivants : Lagrange , Mécanique analytique et théorie des fonctions; Carnot, Principe de l'équilibre et du mouvement. Un Mémoire de M. l’ingénieur Burdin aux Annales des mines de 1815. — Un autre Mémoire de Petit aux Annales de chimie de 1818 , — et dans l’ordre desdates, les ouvrages de Navier , le Cours de mécanique appliqué aux machines de M. Poncelet, et le Calcul de V effet des machines de Coriolis.
18. Principe de Carnot. Ce principe, ou plutôt ce théorème, démontre par Carnot, en 1783, dans son Essai sur les machines, est présenté ici sous la forme suivante, en vue de ses applications :
Toutes les fois qu'il survient un choc entre deux pièces d’une machine tellement constituées que la déformation de ces pièces persiste pendant toute la durée de leur contact, le travail perdu par cette déformation pour l’effet utile de la machine s'obtiendra en retranchant la demi-somme des forces vives des deux pièces après le choc de la demisomme des forces vives dont elles étaient animées avant le choc (Voy . pag. 327, 793, 1090 et 1122).
19. Applications. A est un axe fixe horizontal, traversant eu A le corps quelconque AG; on éloigne le centre de gravité G de celui-ci d’un angle 0 à partir de la verticale A y, puis on l’abandonne à l’action de son propre poids, et l’on demande la loi de son mouvement.
MÉCANIQUE ( principes généraux). 1143
Faisons passer deux plans rectangulaires se coupant suivant l’axe A, l’un horizontal Ai, l’autre vertical A y et soient :
*■ le poids du mètre cube du solide AG supposé homogène;
les volumes des différents points matériels du solide ;
Pi Pa p3* - - les plus courtes distances respectives de chacun d’eux à l’axe lixe A;
PiPiPv lcs poids respectifs arql *tq,2 '=■73... des volumes partiels; bt b3b3... les bras de levier respectifs de ces poids par rapport à l’axe fixe ;
io la vitesse angulaire du corps à un instant quelconque ;
tst (Iw I \
f'.+ f'i + Fî+-- |ïi Pi+9a?2 + Î3P3+- • - J (B)
seront les forces effectives ou plus exactement les forces d’inertie du système relatives à l’accélération — de sa vitesse angulaire ;
Et la somme de leurs moments par rapport à l’axe A est évidemment
(1 to
g di \ 'Ji
+ Ï2 Pî* + h P3J +'
De leur côté, les forces mouvantes ou imprimées sont les poids Pi PiPv • • • des diverses molécules, et leurs moments de rotation autour du môme axe sont plb{ -{- p3b3 -f-p363 -f- . . de sorte que, en vertu du principe de lPÂlembert, c’est-à-dire, au fond, en écrivant que la somme des moments des poids mouvants est à chaque instant égale à la somme des moments des forces d’inertie, cette condition d’équilibre sur le système nous fournit l’équation fondamentale de la question
^7 (f. Pi* + + ?>?»*+• • •)=/,A+f’A+/>3é3+-
H 44 MÉCANIQUE {principes généraux).
Or la parenthèse du premier membre est le moment d’inertie de volume I du solide pris par rapport à l’axe A, de sorte que, si on désigne par - la somme de tous les termes semblables, on a
g . Z(pb) Z(pb) ' /g)
dl rs £(gp’) <ar t'
c’est-à-dire que l’accélération angulaire est à chaque instant égale à la somme des moments des poids partiels divisée par le moment d’inertie de volume du solide pris par rapport à l’axe A, le tout
multiplié par — .
Appelant D la distance à l’axe fixe du centre de gravité G, Q le
volume total du solide. P son poids total, M = - sa masse totale,
I, son moment d’inertie de masse par rapport à l’axe A , et remarquant que
— 1=1, ou l' = !l (10)
on a pour un instant quelconque où la droite AG, qui passe par l’axe fixe et le centre de gravité, après avoir balayé l’arc (5 — a) doit encore parcourir a pour parvenir au plan vertical A y
s? Q D sin.a = PD sin. a = S (pb) (il)
d’où, pour l’accélération angulaire à ce même instant
g Q Dsi», a MgDsin. a l'H sin. %
dt P I, I,
Mais udt =■ — des est le petit chemin parcouru dans le temps dl par un point de AG situé à l’unité de distance de l’axe A et qui tend à diminuer l’arc a. Multipliant cette équation par celle qui la précède, on obtient
sQD . PD . , x
—ÿ~ sm.aaa = — sm.ada. . . . (13)
intégrant entre a = Û = angle de plus grand écartement cl où la vitesse angulaire est supposée nulle, jusqu’à <x = a — valeur de l’angle que AG doit encore balayer pour arriver au plan vertical, à l’instant que l’on considère, il vient
i I, w1 — P D (cos a — cos. 0) (14)
et pour In valeur de la vitesse angulaire acquise à ce même instant (pag. 251)
1/ 2g Q D(cos.a — eus. 0) 1/ 2g Ml) (cos. “ — C09.8)
.MÉCANIQUE (principes généraux). 1145
Or le principe des forces vives (12) nous aurait immédiatement fourni l'équation (14) ou l’égalité numérique entre la demiforce vive \ I, tu2 acquise par le corps tournant et le produit de la force et du poids P par le chemin (Dcos.a — Dcos.6) décrit dans sa direction propre par le point d’application G de ce poids; de sorte que le principe de D'Alembcrt , né du problème qui nous occupe, ne conduit à sa solution que par une voie moins directe; et c’est ce que l’on aura l’occasion d’observer dans une foule de questions.
Si l’on demandait l’intensité R de la résultante de toutes les forces d’inertie à un instant quelconque, et la plus courte distance L de sa direction à l’axe A, on écrirait l’équivalence des moments
RL==7 S(?p^17==I,7i <16)
Décomposant la force d’inertie tangentiellc (qt n,) = — qt p,
d ai
d’une molécule quelconque 7, parallèlement aux deux axes Ai Ay ; remarquant que la direction (7, n,) de cette force, par rapport à l’axe des x, est la même que celle de p, par rapport à celui des y, puisque les deux premières lignes sont perpendiculaires aux deux dernières, on aura en appelant x, yt les coordonnées AM, AN, de la molécule qt
!/, = P, cos. j, AN,
x, = p, cos. q AM, et pour la composante suivant les x. .
et suivant les y . .
d’où
cos. g,
, an,
=* 1 cil
d’où
cos. a
