Si l’arête a devenait l’axe de rotation, on aurait

I d = l.î«6a(4* + cs) =gM (*» + c*)

14. Prisme triangulaire isocèle tournant autour de l’axe parallèle à sa hauteur II qui passe par son centre de gravité ; b est la base et h la hauteur du triangle générateur perpendiculaire à l’axe de rotation.

15. Cercle sans épaisseur de rayon R tournant dans son plan autour d'une droite A perpendiculaire à ce plan et passant par son centre. Un corps sans épais- x seur n’a point de moment d’inertie proprement dit. Il ne s’agit donc ici que d une abstraction destinée à faciliter la recherche des moments d’inertie des corps circulaires.

La surface du cercle peut être regardée comme la somme de circonférences 2 nr d’une largeur dr mesurée suivant le rayon, d’où

Sur* dr = i*R4

16. Si le cercle tournait perpendiculairement à son plan autour

de l’axe Y, il aurait évidemment le môme moment d’inertie que s’il tournait perpendiculairement autour de l'axe X. Pour déterminer ce moment p, nous emploierons le principe suivant qui facilitera souvent les recherches et épargnera les intégrations.

17. Principe. Si l’on ajoute entre eux les moments d’inertie d'une même aire relatifs à deux axes X, Y, qui se coupent à angle droit dans son plan, on obtient le moment d’inertie de cette aire par rapport à la perpendiculaire A élevée à ce plan au point C de la rencontre commune des premiers axes. En effet, si l’aire tournait autour de X, le rayon de rotation d’une molécule quelconque m serait y ; si elle tournait autour de l’axe Y, le rayon de rotation de la même molécule serait x; en tournant autour de l’axe A, son rayon devient r: or, on a toujours x24-y,=rl, d’où mx1 -j-myî = mrI; et comme la somme des molécules qui tournent est la même dans les trois cas

18. Eu appliquant ce principe au cercle, on a, p étant le moment par rapport à l’axe des X, et aussi par rapport à l’axe des Y

P+ p = 2p = i*R‘ et p=Jt:R*

pour le moment de rotation perpendiculaire au plan du cercle tournant autour de son diamètre.

19. Cylindre plein tournant autour de son axe de figure. L étant sa longueur, lt son rayon, on a facilement, en le considérant comme une somme L de cercles égaux enfilés par leurs centres sur le même axe (15)

Ie=-i*LR4 = J MR2

20. S’il tourne autour d’une arête, ce qui arrive lorsqu’il roule , on a (3)

7cLR4 = |mr* 2 2

21. Le cylindre étant creux et tournant autour de son axe de figure, R étant le rayon extérieur et r celui du vide, on a

Ic = - J- t: L (R* — r*)

différence des moments du cylindre plein et du cylindre vide de môme substance : car les moments d’inertie s’ajoutent et se retranchent évidemment commo les volumes eux-mêmes.

Et si l’on fait l’épaisseur «r=R — r, le rayon moyen p sera

= n — - e — r - e, et 1 on a celte autre expression 2 «

Ie = Ï9*rpLe(p* + i^)*=BI(p* + iO

•22. Cylindre plein tournant autour d’un axe passant par son centre de gravité, et perpendiculaire à son axe de figure.

Imaginez un cercle d’une épaisseur infiniment petite dx à une distance x de l’axe de rotation et perpendiculaire à l’axe de figure, son moment d’inertie sera (3 et 18)

'Sr 7i r4 f*r

— dx A T. r1 d X.X2

Intégrant depuis x =z -J- - L jusqu’à x — — - L , il vient

Ic = 7 l * RI L (RI + 5 L*) = \ M (R1 + 1 L1)

23. Cône plein et droit tournant autour de son axe de symétrie A.

Une section quelconque perpendiculaire à l’axe est un cercle de rayon variable r, et qu'on peut considérer comme ayant une épaisseur dh. Donc (15) le moment d’inertie

-j* f r'dh.

Maisdans le cône H : R ’ * dh ' dr; d’où dh — —dr ,

donc enfin

If=-1TC5 f r'drzzz -lisHR4 = ^MR*

24. Si le cône tournait autour d’un axe B passant par son centre de gravité et perpendiculaire à son axe de symétrie, on aurait

'•=T's’R’H<B’+îB’,=5M(a’ + rH,)

25. Sphère pleine tournant autour de son diamètre 2 R ou axe A; c’est encore une somme de cercles d’nnc épaisseur dx et d’un rayon y (15)

d’où

c’csl la masse de la sphère réduite à ses deux cinquièmes et concentrée à l’extrémité de son rayon équatorial.

26. Au reste, on obtiendra, en général, le moment d’inertie d’un solide de révolution quelconque pris par rapport à son axe de figure en intégrant

après avoir substitué pour y sa valeur en x résultant de l’équation de la courbe génératrice de la surface du solide, x étant l’abscisse de cette courbe comptée suivant l’axe de figure du solide, et y l’ordonnée perpendiculaire à cet axe.

27. Segment sphérique. S’il ne restait de la sphère que le segment sphérique plein qui a pour flèche F = R -|- x dans la figure ci-dessus, on aurait dans le cas de la rotation autour de l’axe A

,,=7”F’(iK’-5FR+r.F')

ce qui donnerait le moment de la sphère totale et faisant F = 2 K.

28. Si l’axe de rotation était celui des diamètres B de la sphère qui est parallèle à la section, on aurait, en faisant F’ — R — f

29. Ellipsoïde plein dont les trois axes sont a , b , c, tournant autour de l’axe c

Ic = - a b o X \ («* -f b2) = M (a2 -f b2)

30. A étant la distance du centre de gyration d’un corps tournant à l’axe fixe, on tirerait des moments donnés ci-dessus les valeurs de k , puisque l’on a par définition (p. 2i9)

MA! = 1 ou k=l//-L