Mesure des forces d’inertie. Réciproquement

“ = F. • • • (23) g dt

serait l’effort en kilogrammes qu’opposerait l’inertie du poids P à la force F’, qui tendrait à faire varier sa vitesse de dv dans l’élément du temps. Quant au sens de cet effort, il est toujours de signe contraire à celui de la force modificatrice du mouvement; la force d’inertie est donc puissance ou résistance, suivant que la force, contre laquelle elle réagit, est elle-même résistante ou mouvante.

3t. On aurait de même, pour chaque instant, dt, et chaque intensité, F F’ F"

dvz=z — dt. . . (24). . . dv'z=z—^-dt

de sorte que, si la loi de la variabilité des intensités était connue en fonction du temps, il suffirait de mettre la valeur générale de F dans l’équation ci-dessus, et d’intégrer, pour avoir la vitesse finale v, acquise à la fin du temps t.

Celle vitesse v étant connue, comme on a dans un mouvement quelconque (2)

on obtiendrait ensuite l’espace parcouru e par une seconde intégration.

32. Si la variabilité des intensités successives était connue au contraire en fonction de l'espace parcouru e dans la direction des forces, on obtiendrait la vitesse e par l’équation suivante, qui résulte de la multiplication de (24) par (2)

v dv = g p de. . . . (25)

mettant pour F sa valeur générale en fonction de e, et intégrant, on aurait la valeur de

de

qui conduirait elle-même à celle de dl , cl, par suite, à celle du temps t.

33. Si la loi des intensités successives est donnée en fonction de la vitesse, on lire de l’équation (24) la valeur de dt, on intègre pour avoir tt et l’on obtient ensuite l’espace.

34 Enfin, si le mouvement du mobile est connu et que l’on veuille déterminer la force, on remontera par des intégrations successives de l’espace à l’accélération, et de celle-ci au temps, puis à la force.

Les problèmes qu’on trouvera plus bas éclairciront le sens de ces règles.

35. Equation des forces vives. Avant de passer à l’application de ces théories, nous reprendrons l’équation (25)

F de — — vdv

En l’intégrant entre deux vitesses il vient

Fe=i*(t>2— o,1). . . . (26)

c’est-à-dire que le travail de la force F, le long du chemin e, est numériquement égal à la moitié de la variation de la force vive subie par le corps P entre les instants où P on considère le travail (§ 25) .

La demi variation de la force vive est donc aussi la mesure même du travail consommé par l’inertie du poids P, s’il était libre.

Supposons maintenant qu’à l’instant où F a terminé son travail, une autre intensité F' lui succède et agisse dans la môme direction

le long d’un chemin e', et qu’elle élève la vitesse finale v , précédemment acquise par le poids P, à la valeurs,, on aura encore

Une troisième intensité F", qui succéderait à la seconde et travaillerait le long du chemin e ", changerait encore la vitesse t>, en une vitesse v2, telle qu’on aurait

rt F"e" = ± - — ( v2 1 — o,’)

de sorte que, en continuant de raisonner ainsi jusqu’à l’intensité quelconque F„, agissant le long du chemin ea, et élevant la valeur v„, de la vitesse à la valeur finale t>„, on obtiendrait, en faisant d’une part la somme de tous les travaux et de l’autre celle des variations correspondantes des demi-forces vives

F« + FV + F«e". . . . + F. *. = 1

ainsi, quelle s que soient les intensités successives FF'... F„, quels que soient les chemins respectifs e e'. . . e„ , qu'elles aient décrits dans leurs directions propres , la demi-variation de la force vive du corps P, entre les mimes instants, est numériquement égale à la somme des travaux des forces.

Et le mot somme doit être pris ici daus son acception algébrique, car tous les raisonnements ci-dessus deviennent applicables aux cas où certaines forces du système seraient résistantes au lieu d’étre mouvantes , à la condition de remplacer les expressions vitesses acquises, forces vives acquises, travail moteur, par celles-ci : vitesses perdues , forces vives détruites, travail résistant, et de changer les signes en conséquence, conformément aux notations algébriques.

En réunissant, sous la forme abrégée S F de, les sommes des travaux mouvants élémentaires, et S Rdr, celles des Ira vaux résistants, v0 étant la vitesse initiale de P lorsque les forces ont commencé à agir, et v sa vitesse (inalo, on pourra donner, suivant l’usage, à l’équation des forces vives la forme

sjFde— St/*R(ir = >;-e1— . . .(27)

36. Applications. Une balle de fusil, dont le poids est P, frappe une planche fixe, horizontalement, avec une vitesse u égale à cello que P aurait acquise en tombant librement dans le vide d’une hauteur b ; elle pénètre la planche suivant son épaisseur e, et celle ci oppose à la pénétration une résistance R, qu’on supposera constante; on suppose, en outre, que la balle P ne se déforme pas, et on demande la. vitesse v que la balle a conservée lorsqu’elle a traversé une partie

quelconque x do l’épaisseur de la planche, et le temps t qu’elle emploie à parcourir x, ou la duree t de la pénétration.