On a d’abord
u=VW> vh = Vi- • ' ('i8)
la force vive d’arrivée de la balle est - u1, celle qui lui reste lors-
qu’elle a traversé l’épaisseur x est - u1, le travail de la résistance R est Rx, on a donc, soit en intégrant l’équation des forces vives
- J vdv — J'ïHdx
entre les vitesses u et v et les chemins o et x, soit directement la relation (équat. 26)
^(u’-r^Rï. . . . (29)
dont on déduit immédiatement la vitesse v qui survit au travail de la pénétration x
v== (/ x — [/ 2 g (b — pxj- • • • (30)
38. La vitesse v étant maintenant déterminée, on obtiendra lo temps t en fonction de cette vitesse par la relation générale
, , ... , dx
dx—v d ( d ou d t — —
qui devient ici
cl dont I'intégkale est comme on sait
la valeur de la constante C à y ajouter se détermine en remarquant que le temps < étant compté à partir de l'instant où la pénétration commence, ondoit avoir t — o, quand la pénétration xest elle-même = 0 ou nulle. La constante ou la quantité qu’il faut ajouter à le*-
pression ci-dessus pour avoir t=o quand x = o devient donc
constante =
et l’intégrale complète, ou la valeur du temps t en secondes, devient
ainsi
1/ï-lÆT*
réciproquement, si la durée l était connue, on tirerait de l'équation ci-dessus la valeur de la pénétration x
On peut remarquer que le dernier terme, pris positivement, serait l’espacequc parcourrait la balle P, si la force constante R, considérée comme une force active, agissait sur elle pendant le temps t (éq. 4). On a d’ailleurs, en vertu des équations ci-dessus,
d’où celte autre expression de x
,==fl|L ll=:LZJ|. . . . (33)
39. Faisons quelques applications numériques de ces formules : les expériences de Robins lui ont donné 0“.127 pour la pénétration totale, dans le bois d’orme, des balles de plomb de 0m.019 diamètre, frappant le bloc avec uno vitesse u = 518 met. ; et lorsque le bloc était complètement inébranlable, cette pénétration suffisait pour éteindre entièrement la vitesse de la balle ; or il est évident que cette môme vitesse u=518“ de la balle P = 0‘.041 serait également éteinte, lorsque P, lancée de bas en haut dans le vide, atteindrait précisément la hauteur b due à la vitesse de projection u. Ceci suppose toutefois, contrairement au fait, que l’attraction terrestre sur le corps P demeure, pour tonte élévation, ce qu’elle est à In surface, mais cette hypothèse ne vicie pas les résultats. Le travail P b de l’attraction terrestre ou de la gravité sur la balle P, est donc égal au travail R* de la résistance R à la pénétration x = 0m. 127 du mémo projectile; donc
Iî i —
et l’on a, pour la résistance R
Cette valeur de la résistance nous permet de calculer la vitesse v , que conserverait une balle du mémo calibre après qu’elle aurait traversé une planche d’orme de 0m.026 épaisseur, invariablement fixe, on trouverait, en faisant
x = 0.026; 5 = 107688; b = 1 3676“‘.474 ; 2ÿ == 19*“.62 dans la formule (30)
c’est avec cette vitesse que la balle quitterait la planche ; elle ne perdrait donc, en la traversant, que u — v— 518“ — 461 95=56m.05 de sa vitesse d’arrivée.
Enfin, la durée t en secondes du trajet, à travers la planche d’orroe de 0“.026, serait donnée par la formule (31), en y faisant y T= 116“. 94, on obtiendrait
ainsi la durée du trajet n’atteindrait pas même la dlx-htlft millième partie d’une seconde.
40. Substituons à la planche fixe un bloc d’orme massif pesant Q kil., et supposons que ce bloc, placé sur un plan horizontal, puisse se mouvoir sans frottement par l’effet même de la pénétration de la balle qui le pousse en s’y enfonçant. Soient, pour l’instant quelconque où la vitesse de la balle P est devenue v = y <2 gp , v' celle du bloc qu’on peut regarder comme due à une hauteur v”
q = — ; et soient enGn y le chemin parcouru par le bloc au même
instant, x la pénétration ou le chemin décrit par la balle à l’intérieur du bloc à ce même instant, R étant toujours la résistance à la pénétration supposée constante, « la vitesse d’arrivée de la balle
contre le bloc, cti la hauteur — due à celte vitesse. On convient
de ne pas tenir compte de la déformation de la balle, et l’on suppose que le choc horizontal est dans la direction du centre de gravité du
bloc; remarquons que, pendant l’instant dt que le bloc
La
xt
rly =zv'd I — (lt y 2 y q
la balle parcourra d’abord dy, comme le bloc, et de plus dx dans son intérieur, ou en somme
dy dx — vdt — dt [/ p . . . . (36)
Divisant cette équation par la première, il vient, pour le rapport des chemins élémentaires simultanément décrits par la balle et le bloc
dy + dx=^dy =dy [/-J - • • • (37)
Or, la formule générale (25) donne immédiatement
R (dx -J- dy) = — Pdpz= — ^ v dv — -■ Rdy. . . . (38)
elle donne encore pour le mouvement du bloc seul
R dy=~v'dv'. . . . (39)
relations dont on déduit celle-ci O P
-rfe' = — -rf t>. . . . (40)
de laquelle nous aurions pu partir en nous basant sur les raisonne' ments de la page 324, ou sur ceux du § 5, et qui montrent que la quantité de mouvement élémentaire acquise par le bloc est nécessairement égale à celle qui a été perdue par la balle.
