PQ

(P + Ü)R 2 g (P + Q)It

En écrivant cette relation sous la forme suivante

rx = <T^==<tTq>q‘

on pourra reconnaître (page 326) que le travail R X de la pénétration est précisément celui que l’on appelle travail perdu , demiforce vive perdue, dans la théorie du choc des corps qui ne se débandent pas après la compression. C’est que, en effet, ce travail perdu dans le choc est en réalité celui que la déformation des corps a exigé, déformation qui, dans le problème actuel, est une perforation partielle du bloc par la balle.

47. Supposons maintenant que, au lieu d’être libre de se mouvoir sur un plan horizontal et sans frottement, le bloc ait été, dés l’origine, invariablement fixé; cette condition, qui n’est jamais réalisable matériellement, sera d’autant plus près d’étre satisfaite que le

bloc fera partie d’une plus grande masse - , de la masse du globe

par exemple. La vitesse finale «* que prendra cette énorme masse,

étant (éq. 42) une fraction - de celle v, d’autant plus petite que Q

est plus grand par rapport à P, on voit que »' s’approchera de la valeur zéro, à mesure que Q s’approchera de l'infini. En passant à ces limites extrêmes et irréalisables en toute rigueur, le second terme de la valeur de X deviendra zéro, et si l’on appelle X' la

tOO

plus grande pénétration que la balle atteindra dans ce dernier cas, on aura

Pu* P b (P + Q) y

Ainsi, pour une même résistance à la pénétration, l’enfoncement du projectile est toujours plus grand dans le bloc fixe que dans le bloc mobile, et les profondeurs de ces pénétrations respectives sont entre elles comme la somme des poids est au poids du corps pénétré.

48. Quant à la durée t de la pénétration totale x, on voit clairement qu’elle est la même que la durée du transport du bloc mobile ; or le chemin parcouru par celui-ci est y, et la force R étant constante, l’équation générale (13) donne immédiatement

v1 jH

c’est la quantité de mouvement finale du bloc divisée par la résistance constante, ou le double de l’espace parcouru divisé par la vitesse finale.

49. Donc, si le bloc d’orme supposé mobile avait neuf fois le poids de la balle, l’expérience de Robins ajanl donné X' = 0m.127 pour un bloc supposé fixe, on aura, pour la pénétration extrême dans le bloc mobile,

X = X 0”. 127 = (T. 1143 et X' — X = (T.0127

la vitesse finale commune devenant, en vertu des données du premier problème,

v'=.±X 518ra = 5i-.8 on obtiendrait, pour le chemin parcouru par le bloc,

Q u” 9 Pc'* 9(51.8)»

.. ___________ —— v 1 Am n j | J o

Ainsi, le chemin parcouru par le bloc est ici précisément le — de la plus grande pénétration. Ce résultat numérique pourrait paraître au moins bizarre, si l’on ne remarquait pas qu’un examen attentif des formules l’eût fourni immédiatement cl sans calcul. On en déduit, en effet, pour le moment de la plus grande pénétration où v' est la vitesse commune du bloc cl de la balle

Quant à la durée ( de la pénétration, on trouve facilement qu’elle atteindrait à peine de seconde.

50. Supposons la terre sphérique et d’une den.ité homogène, on

sait que, dans cotte double hypothèse, I’attractiojt qu’elle exercerait sur un point intérieur serait proportionnelle à la distance de ce point au centre de la sphère ; on demande, dans ces conditions, quels seraient à chaque instant le poids, la vitesse acquise et la durée totale du mouvement pour un corps dont le poids serait P au pôle, et qui descendrait vers le centre dans un canal rectiligne, dont l’axe coïnciderait avec le rayon polaire. On fait ce rayon OP (pag. 78)

OP =r = 6366198”

il en résulte, pour la valeur de g au pôle (pag. 339)

Soient s le sinus et c le cosinus de la latitude EL du parallèle Z L que le corps traverse après une durée t, comptée depuis l'origine du départ, et v la vitesse qu’il a acquise en Z , en tombant du pôle P. Puisque son poids est P = Mÿ au pôle, où la gravité est g, si l’on appelle P1 = M g' le poids qui lui restera en Z, on obtiendra clairement ce poids par la relation

PlP'I'.Mj-.Mÿ'Cr;* d’où g'=z\s et V=*>. (50)

Ainsi, le poids du corps diminue dans le même rapport que le sinus de la latitude, lequel devenant zéro au centre O, y réduit aussi à zéro le poids du corps qui était P au pôle ; de sorte qu’un corps quelconque demeurerait en repos au centre de la terre, s’il y parvenait sans vitesse acquise.

51. Mais, en descendant de P vers Z, le corps prend à chaque instant dt un accroissement dv de vitesse, de sorte que sa vitesse acquise n augmente à mesure que $ diminue, la formule générale (21) donne donc

vdv — — g'ds = — - sds (51)

d’où l’on tire, en intégrant,

c1 = — - *J 4- constante, r