Comme, lorsque v~o, on doit avoir s — r , il faut que
o = [- constante , d’où const . = g r
l'intégrale complète devient ainsi
= ® (rs — s3) d’où v = (r* — »3). • • • (52)
or, on a dans le cercle c3 = rl — «3, il vient donc encore
V==Cl/lr
Ainsi, les vitesses acquises croissent comme les cosinus c de latitude des parallèles traversés. On aurait obtenu la même expression de la vitesse en intégrant l’équation des forces vives, et remarquant P P' P
que - = — , et que le travail instantané ou élémentaire = sdt.
53. Quant à la durée t de la chute, elle sera fournie par la formule générale
v dt = — d s
qui donne ici
remarquant que l’arc élémentaire de méridien da est perpendiculaire au rayon, et le décroissement — ds du sinus perpendiculaire au cosinus c, les triangles semblables donneront
il a r
— ds
et
intégrant en remarquant que, lorsque ( = o , l’arc de colatilude a =z PL = o, on a, pour l’intégrale complète,
arc P L
arc de colatilude du' parallèle traversé.
<=îl/jx(
arc terrenre dont le iinus verse est la\ hauteur de la chute. 1
54. Parvenu au centre O, le corps qui pesait P au pôle, y perd tout son poids; il arrive à ce centre O avec une vitesse v = \/gr, qui est les 0.707 de celle qu’il aurait acquise, si l’attraction eût été la môme qu’à la surface terrestre; et la durée totale du trajet est celle
que mettrait un pendule simple à accomplir une demi-oscillation, s’il avait pour longueur le rayon r de la terre, et s’il oscillait à sa surface eu décrivant de très petits arcs.
En parlant des valeurs adoptées ci-dessus pour r et g , on trouverait
gr = 62598188.3142 ~ = 1.570796
On aurait donc 79Um.9t pour la vitesse d’arrivée au centre, et 21'.3".86 =r 1263”. 86 pour la durée totale du trajet depuis le pôle jusqu’au centre; il conviendrait de prendre 11 111 lm.l 11 pour la longueur moyenne de l’arc terrestre de un degré, si l’on faisait d’autres applications numériques.
55. Trouver les lois du mouvement d’un corps qui, parti du point A sans vitesse acquise, descendrait vers la surface terrestre. On néglige la résistance de l’air aussi bien que l’influence attractive de la masse du corps, et l’on ne lient compte que de I’atteactiox de la terre, dont l’intensité varie en raison inverse du carré des distances à son centre C. A
Soit P le poids du corps mesuré à la surface \ & !
terrestre en G; lorsque, parti du point A, il sera parvenu au point quelconque O, ou lorsqu’au bout d’un temps t, il aura décrite, son poids en O sera devenu P', et l’on aura
Pr>
(a je) *
56. La formule générale (21) donne, pour trouver sa vitesse» au même point quelconque O,
vdv = g'dx = : r. dx
Intégrant, on obtient
«’ gr'
— = 1- une constante
qui, devant satisfaire, à la condition que v soit zéro, lorsque x est zéro, est donnée par
gr* .
o — — 4- constante,
d’ou constante =
l'intégrale complète devient ainsi
g»-’ gr>
et l’expression de la vitesse acquise au bout du temps t, lorsque le mobile a parcouru x, devient
" = t/2 > * = |/« « « TT+W :’,r+ „ j‘ (»•>
en faisant a = r-\-h.
57. Au point G pour lequel h — x — o , la vitesse finale devient
58. Quant à la durée t de la chute de A au point quelconque O, on a
dl — —= l/m I /Eî*.dx v y 2 j r* y x
Multipliant en haut et en bas par y a — x pour faciliter l’intégration, il vient
II— I/JL V 2 9 r1
(a — il dx
y ax — x*
et dès lors
dx — — d z
ax — x — —
on a alors à intégrer
Ai — I /~â~ I l*aUx {
ce qui donne, en remettant pour s sa valeur, remplaçant a par h -}- r , et remarquant que la constante est nulle
l— [/ ^7* | y (* + r) *— a:, + ï(r + *) ®rc (co*. => j (58)
