On en déduit, pour la duree de la chute totale de A en G

/=l//^i^rT+*(r+A)arc(^-==r^)!* • • (59)

Si l’on fait h — 0.001 r — 6366m.198 , la vitesse d’arrivée devient n = 353"1. 243 j l’arc dont le cosinus = 0.9980019 est celui

île 3°.37'.38".8 ; il a pour longueur 0m. 08331 ; le second terme de la parenthèse, dans la valeur de t devient 201723.519, le premier l/ïrÂ=20l299.1808,cequi donne pour la parenthèse 403022.701 . Son multiplicateur général étant 0.0000895, on a t — 36". 07 pour la durée de la chute totale.

60. Si, conformément à l’hypothèse de Galilée, on avait regardé l’attraction comme une lorce constante, la vitesse u duc à cette mémo chute, et la durée 0 auraient été trouvées

d’où, pour une chute de 6366m.198,

u — v = 0m. 138 et l—b = 0".05

Cette application numérique montre peut-être mieux que les formules générales, à quelles insignifiantes erreurs on s'expose dans toutes les recherches industrielles, lorsqu’on y regarde l’attraction terrestre comme une force constante; et qu’on y néglige les variations de poids que les corps éprouvent, en effet, sur une même verticale.

61. Un tube vertical à deux branches parallèles d’une section constante s , contient un liquide dont le poids spécifique est «• , et qui s’y dispose d’abord de niveau, suivant DC .

FE; l’axe de la colonne liquide totale a pour longueur L ; une pression T agit momentanément à la surface DC, abaisse le niveau dans la branche gauche de DC en HQ, ce qui ne peut avoir lieu sans que le liquide monte en B A dans la branche droite d’une hauteur FB= DH = a. Lorsque le liquide a atteint ce niveau BÂ dans la branche droite, la tension T s’anéantit tout à coup, on demande, à partir de cet instant, toutes les circonstances du mouvement que prendra la colonne totale.

Le poids total de la colonne liquide est vrsL — V, l’excès de pression, qui a lieu à droite au premier instaut, est évidemment

^i.2a=p= — 2 a; il déterminera le mouvement de la droite vers

la gauche, et se trouvera réduit à

au moment où BA sera descendu d’une quantité quelconque Bo=a;,

et où HQ sera dès lors élevé de la même quantité, la longueur L

étant invariable. p' est donc la force mouvante à cet instant, et —

étant la masse totale sur laquelle elle s’exerce, la formule générale (25) donne pour un chemin élémentaire dx

p'd x — — 2 (a — x) dx = — v dv

qui, intégrée, en remarquant que la constante est zéro, fournit pour la vitesse v correspondante au moment où le chemin parcouru est x, les relations

p(2«i — xJ)=y-2a.r — £-xJ. • • • (61)

et v — 2 g x ^ ^ 2 ax —

La première relation aurait été obtenue sans intégration, en remar-

quant que la demi-force vive acquise par la masse totale -, est le résultat du travail de descente du poids p' de la hauteur x, diminué du travail nécessaire pour élever à cette même hauteur x, dans l’autre

branche, le poids — du liquide qui y est entré.

On voit aussi que la vitesse est indépendante de la densité du liquide; qu’elle serait dès lors la même, toutes choses égales d’ailleurs, pour le mercure, l’eau ou l’alcool : ce qui s’explique trèsnaturellement en remarquant que si, dans le cas du mercure, la force motrice est dix-sept fois plus grande que dans le cas de l’alcool, la force d’inertie des masses à mouvoir croit ainsi dans le même rapport.

62. La vitesse v diminue d’ailleurs à mesure que la racine carrée de la longueur L augmente; pour une même longueur L, la vitesse s’accélère continuellement de B A en FE, où elle atteint son maximim

elle décroît ensuite à partir de ce niveau primitif FEDC, mais elle ne devient nulle que lorsque x2 = 2ax ou x=2 a, c’est-à-dire lorsque, daDS la branche droite, le niveau du liquide s’est abaissé, jusqu’à SR, d’une quantité a égale à celle dont il était élevé au-dessus de FE à l’origine du mouvement. Mais cet abaissement à droite ne pouvant avoir lieu sans un exhaussement égal à gauche, le liquide se trouve en NM dans cette dernière branche au niveau NMBA; les choses se trouvent alors disposées à gauche comme elles l’étaient

d’abord â droite, le mouvement que nous venons de suivre recommence en sens inverse, et les extrémités de la colonne oscilleraient perpétuellement entre B A et NM, si le frottement n’éteignait ces oscillations à la longue.

Traçant du point E comme centre, avec le rayon a, le demicercle AZR , remarquant que le facteur y ‘>ux — de la vitesse — : la demi-cordc os correspondante à l’extrémité de x , on voit clairement la vitesse croître de A en E , atteindre son maximum EZ au niveau primitif, décroître ensuite de E vers R où elle est zéro comme en A.

63. Recherchons la durée t du mouvement; la formule générale (2) donne

dt= - — I Æ (--** ) — - ndx I /~

v y 2j \V/2cix— je*/ y ‘Xax — x' y

Mais, ainsi que nous l’avons vu dans un autre problème, on a, dans le cerclo AZR de rayon a

arc