PROBABILITÉS

car la somme des probabilités de deux événements contraires, tels qu'on vient de les définir , est nécessairement égale à l'unité.

Si nous n’avons pas plus de raison de croire à l’arrivée de E qu’il celle de F, leurs probabilités sonl égales, et l’on a conséquemment

P — fl~l

Ce cas est celui où notre esprit se trouve dans une parfaite perplexité ; si l’événement E , dont la probabilité est mesurée en général par — — , n’avait aucune chance contraire, on aurait

p — - = 1 ; il y aurait alors certitude de son arrivée ; on voit que,

dans la théorie des chances, la certitude est un cas particulier delà probabilité, et qu’elle est représentée dans le calcul par l'unité ; si

toutes les chances étaient contraires, on aurait p— =o:

c’est le symbole de Y impossibilité ; la probabilité proprement dite est entre ces deux limites, et par conséquent elle est toujours exprimée par une fraction moindre que 1 et > 0.

Objet du calcul des probabilités. Déterminer dans chaque question d’éventualité ou de doute le rapport du nombre des cas favorables à l’arrivée d’un événement où à la vérité d’une chose, au nombre de tous les cas possibles, de sorte que nous puissions connaître d’une manière précise d’après la grandeur de cette fraction plus ou moins voisine de l’unité la raison que nous avons de croire que cette chose soit vraie ou que cet événement a eu lieu ou aura lieu, et que nous puissions aussi, sans aucune illusion, comparer cette raison de croire dans deux questions de nature toute différente : tel est l'objet du calcul des probabilités.

Probabilité composée ou de concours. Un appelle ainsi la probabilité du concours de deux évènements E, E' indépendants l’un de l’autre.

Par exemple, une urne A contient c boules, savoir, a blanches , c — a noires.

Une autre urne B contient c' boules, savoir a' blanches, c? — a noires : la probabilité de tirer à la fois une boule blanche de chaque urne est une probabilité composée.

Sa mesure. La probabilité composée s’obtient en faisant le produit des probabilités simples, de sorte que, si, en général, p, p ,p' ... sonl les probabilités propres d’un nombre quelconque d’événements E, E', E ... indépendants les uns des autres, la probabilité

de leur concours, ou celle d’un événement composé de tous ceux-là, sera le produit p X p' X P1' X--- des probabilités propres.

Je dois me borner à ces définitions générales et renvoyer aux ouvrages des Bemouilli, Condorcet , Laplace , Lacroix , et surtout à celui de Poisson, inlitul è Recherches sur les probabilités des jugements, in-4°, 1837.

PROGRESSIONS. Séries dont trois termes consécutifs quelconques donnent deux différences égales ou deux quotients égaux.

Dans le premier cas, la progression est dite arithmétique ou progression par différences ,- dans le second cas, elle est dite géométrique ou progression par quotients.

La progression est croissante lorsque les termes augmentent en allant de gauche à droite; — décroissante, lorsqu’ils diminuent en marchant dans le même sens.

est une progression arithmétique croissante dont l’équidifïércnce est 2 ;

est une progression géométrique décroissante dont le quotient constant est

Progressions arithmétiques ou par équidifférences. a est le premier terme, b celui qui le suit immédiatement, d leur différence ~{b — a) , n le nombre des termes de la progression, u son dernier terme, s la somme faite de tous ses termes depuis a jusqu'à u inclusivement.

La progression étant supposée croissante, on voit 1" que m termes fourniront (m — 1) différences ; 2° que un terme quelconque, dont le rang est m, égale (m — 1) fois la différence constante d, plus le premier terme. Ainsi :

le terme = (m — 1) d -f- a et le dernier terme u = (n — l)d-f-<j

La valeur moyenne des termes de la série de a en u est évidemment ■'* : donc, en multipliant cette valeur moyenne par le nombre u des termes, on aura la somme s de la totalité des termes

les deux équations ci-dessus ayant trois quantités communes a, u, n, on en déduira, en éliminant ces valeurs communes, trois autres équations; ce qui donnera cinq équations entre les cinq quantités

a, dj Hj Uj s. Si maintenant od résout chaque équation par rapport à chacune des quatre quantités qui y entrent, il en résultera les vingt formules suivantes qui comprennent tous les cas :

Progrestions par différences.

Etant donnés

Trouver a.

2 s — un 2 s

2* — dn(n — 1) s d’n — i)

V (2«+d>‘ — 8rfj

Trouver w.

2 « — on 2 j

2s dn (n — 1) * t d(n — t)

u d± yiia — dp +Hds

Trouver n.

„ d — 2a ± V (2a — <f)* + 8rf«

„ — 2« + d ± 1/ (2 « + (t)î-8rf»

ïd

Etant donnés

(1 . U • Tl

Trouver d.

Trouver *.

2 a* + dn(n-

— 1) dn[n — 1 )

— — U fl — —————

Si la progression était décroissante, la différence d serait négative, et il suffit, pour appliquer ces formules à la progression décroissante, d’jr changer le signe de d.

Exercices. On trouverait pour la somme * des 20 premiers termes de la progression + 1 . 3 . 5 . 7 . . . pour laquelle dès lors a = 1 , d = 2 , n = 20

*= 20+ 20 X 19 = 20 (1 + 19) =20X20 = 400 = nJ

Pour toute autre série des nombres impairs commençant par 1 la somme des termes égalerait le carré du nombre des termes ou » = «*.

Le premier terme d’une progression arithmétique est 5 le dernier terme 41, la somme des termes 299 ; on demande le nombre •les termes n et l’équidifférencc d

Le premier terme d’une progression est J , le dernier est 12, la

somme des termes est 32 ; on demande le nombre des termes n et la différence d. Il vient

" — r+ïâ — if

or celte division ne pouvant s’opérer exactement, et un nombre de termes ne pouvant être ni fractionnaire ni négatif, il faut en conclure que, avec ces données, la suite par différences égales est impossible.

Démontrer que la somme S2 des carrés des termes d’une progression arithmétique est

c d‘ n! ! (2 ad — d1) n* f (6a* • — Gad-j-d’Jn

Dans le cas particulier où la progression est celle des nombres naturels 1 . 2 . 3 . 4 . . . . n , on a

Progressions par quotient, a étant le premier terme, q le quotient d’un terme quelconque divisé par le terme qui le précède immédiatement, n le nombre des termes de la progression, u le dernier terme, s la somme de tous les termes, depuis a jusqu’à u inclusivement, on trouve facilement que m termes donnent (m — 1) quotients égaux, et que dès lors le mKmc terme égale le premier multiplié par le quotient constant élevé lui-mème à la (m — 1),M“' puissance. Ainsi

mU>mc lermc — ; a qm-i

et l’on a pour le dernier ou nUo" terme u= a qn~‘

quant à la somme S de n termes, on a évidemment S=: a aq aq* aq* —J- a gn~‘ ou

or la parenthèse revient à ou lorsque l’on sup-

pose g> 1 : donc on a définitivement

Eliminant a u et q des deux équations ci-dessus, on aura trois autres équations ou en tout cinq renfermant chacune quatre des

cinq quantités a, u, q, n, s, d’où l’on tirera les vingt formules qui suivent :

Connaissant u. q.n. . .

Connaissant a .q .n. . .

Connaissant a . u .n. . .

Trouver a.

a = ou log. a = log. u — (n— 1) log. q

a — uq.-\- s — sq ou

log. (s — a) = log. q -f log. (s — «)

•il—*)

ou

log. a = log. s -f log. ( q — 1) — log. (qn — 1) a X (* — a)"-' — u X (* — u)0-' = 0

Trouver u*

u =z aq?~‘ ou log.u = log. a -{-(n — l)log. q sa — s -4- a

u = ou

log. (* — u) = log. (s — a) — log. q

*9u,(ï — 1) u — — ou

log. u = log. * -(- (n — 1) log. q + log.(7 — 1) — log. (9n — 1) u(s — u)"-1 — a (s — a)"-1 — 0

Trouver q.

log. « — log. a

OU

ou log.g = log. (s — a) — log. (* — u)

aq" — s q s — a — 0

Connaissant a. u .q. . .

Connaissant

Trouver n.

log.» — log. g log-ï

log.» — log. a

Ti “™ J I

log.(> — a) — log.(« — m) n lo6- (o + »9— «) — tog-o log.g

„4 l Iog-« — — *9 + “î)

log.ï

Trouver s.

On calculera séparément 1° t* j 2° a [/ a , 3“ j/" « , 4° J/ a ,

par les formules particulières

1° log. u y u = log. u

2° log. a y a — log. a . log.»

3° log-l/«=,73ï

n~î loc. a

4» log. VT= s

n — 1 loe. a