RACCORDEMENT
expression qui montre que l’effort moyen augmente à mesure que la durée du choc diminue. Ainsi, le mobile étant une balle de fusil dont le poids P = 0k,0256, et la vitesse d’arrivée V = *54™ , on a Fl = MV = 1.18, et suivant que la quantité de mouvement s’épuisera en
l = 1 seconde ou 0‘.1 ou O’.Ol ou O’.OOl
la moyenne des efforts exercés contre l’obstacle pendant toute celte durée sera
F = l‘.18 ou 11\8 ou 118k... ou 1180k.
RACCORDEMENT ( quelque s méthode s de), pl. CV.
Raccorder deux alignements parallèles AB, DE sur une oblique F G , à leur direction commune dont V inclinaison est connue (fig. 5).
Prolongez les alignements donnés AB, DE, jusqu’à la sécante FG, ou jusqu’à une parallèle FG à cette sécante. Au milieu H de la droite déterminée par les points de rencontre F, G, élevez une perpendiculaire indéfinie II I à F G. Portez F H de F en A, et G H de G en E. Par A cl E ainsi détermines, élevez des perpendiculaires aux parallèles, elles rencontreront II I en des points C( C2 qui sont les centres des arcs de raccordement A II, Il E dont les rayons respectifs sont A C, = C, H et C2 H =: C2 E.
Les alignements B M, A N n'étant pas parallèles (fig. 6), cherchez sur le terrain ou sur le papier leur intersection C. Divisez l’angle B AC en plusieurs angles égaux et marquez sur B C les intersections 1,2,3 des côtés de ces angles avec la direction B C. Répétez les mêmes opérations du point B, par rapport à l’alignement C A en numérotant les intersections dans l'ordre inverse. Les intersections des lignes de même indice B 1 et A 1, B 2 et A 2, etc., sont des" points qui appartiennent à l’arc de raccordement.
Autre méthode (fig. 7). B M, A N sont encore les directions des alignements ; C est leur point de rencontre. Joignez les points A cl B; de C menez une droite au milieu de A B, et par le milieu B1 de C B une parallèle B’ m à la base A B. L’intersection m est un point de la courbe de raccordement. Tirez B m, puis par le milieu n de B Br une parallèle à la base B m, et du point B' une droite au milieu de celte base; l’intersection de ces deux dernières droites donnera encore un point de la courbe de raccordement. Opérez de même sur le triangle m A’ A, ce qui donnera un troisième point, et par conséquent, quatre des côtés du polygone inscrit à la courbe. On pourrait continuer à opérer de la même manière et obtenir ainsi autant de points qu’on voudra de celle courbe.
Autre méthode (fig . 8). Cherchez comme ci-dessus le point de
rencontre C des alignements donnés en direction B M, A N. Divisez C B et C A chacun en un même nombre de parties égales. Numérotez les points de division des deux alignements en ordre inverse. Les intersections des droites de même indice B 1 et A 1, B 2 et A 2 appartiennent à la courbe de raccordement, laquelle est alors tangente aux alignements B M, A N.
Si la courbe de raccordement a un point d'inflexion déterminé O, fig. 9, on fera deux fuis l’opération précédente, pour O et A d’une part, puis pour O et D de l’autre, ainsi que l’indique suffisamment la fig. 9, pl. CV.
RACINES. Procédé général d'extraction. Pour extraire la racine )fmc d’un nombre entier ,
1° Partagez ce nombre en tranches de n chiffres à partir de la droite.
2° Quel que soit le nombre de chiffres conservé par la dernière tranche à gauche, cherchez la racine n6rao la plus approchée de celte tranche, cl placez ce chiffre à la droite du nombre donné en l'en séparant par un trait vertical.
3° Formez la puissance nèmo do ce chiffre, et retranchez-la de la tranche de gauche.
4° A côté du reste, abaissez la deuxième tranche de n chiffres, et sèparcz-cn ( n — 1) chiffres sur la droite.
5° Divisez ce qui reste à gauche par n fois la (n — l)ème puissance du nombre déjà inscrit à la racine, le quotient ainsi obtenu est le second chiffre de la racine totale.
6° Pour le vérifier, formez la n*me puissance des chiffres inscrits à la racine, et rclranchcz-la du nombre qui les a fournis. Si la soustraction ne peut pas s’opérer, le dernier chiffre place à la racine doit être diminué d’une unité, et l’on vérifie de nouveau. La soustraction pouvant s’opérer, on abaisse à côté du reste la tranche suivante den chiffres, et I on répète les opérations ci-dessus jusqu’à ce qu’il n'y ait plus de tranche à abaisser.
Si le nombre a des décimales, on ajoute d’abord à ces décimales assez de zéros pour qu’elles puissent être exactement partagées en autant de tranches de n chiffres qu’on veut avoir de décimales à la racine, et l’on opère ensuite comme ci-dessus.
Abréviation. Lorsqu’on a obtenu un nombre des chiffres de la racine au moins égal au nombre de ceux qui restent à trouver augmenté de », il suffit alors de diviser simplement le reste de l’opération par n fois la (n — l)tmo puissance des chiffres déjà obtenus.
Fractions. La racine nèm“ d'une fraction est la racine nè”c du numérateur divisé par la racine n*œedu dénominateur.
Racine nha< d’un monome. Extrayez la racine nènw de son coeffi-
cienl, cl divisez par n l’exposant de chacun de scs fadeurs algébriques. Si ces opérations ne peuvent s’effectuer, on ne peut qu’indiquer la racine du monorae en en simplifiant quelquefois l’expression. Quant aux signes, les racines paires des monomes positifs doivent être affectées du double signe ±; — celles des monomes négatifs ne sont que des quantités imaginaires (page 940) — les racines impaires des monomes positifs ou négatifs prennent le même signe que la puissance qui les donne, et il n’y a pas d'imaginaires
dans ce cas. Ainsi V — a14 = — a*.
Racine des polynômes. Le procédé d’extraction est parfaitement analogue à celui qui est indiqué pour les nombres, il faut seulement avoir le soin d’ordonner les termes avant de procéder à la recherche de la racine. Lorsque la quantité littérale n’est pas une puissance parfaite du degré dont on demande la racine, on ne peut plus obtenir celle-ci, et il faut se borner à en approcher d’aussi près que l’exige la question pour laquelle l’extraction est nécessaire. Pour cela, on représente la racine par une puissance fractionnaire (page 715) en ayant soin de prendre pour premier terme le plus grand terme de la quantité proposée ; puis on développe la puissance fractionnaire en série , et l’on arrête le développement à l’instant où l’on rencontre des termes négligeables. Ainsi soit a> b, on a
on aurait de même
x5 2 •r10 6 xli J
5Ts~25 a'«~ Ï25 — }
Cette méthode s’applique à toutes sortes de racines et à toutes sortes de quantités. Elle est très-générale mais peu commode.
Remarques relatives aux racines carrées et cubiques. Un polynôme qui compte plus de trois termes ne peut être le carré d’un binôme.
Aucun binôme n’étant un carré parfait, on ne peut pas obtenir sa racine carrée exacte. Cependant la plupart des questions de la mécanique pratique conduisant à des expressions de la forme |/ oa ± 6» , M. Poncelet a recherché la valeur approchée et rationnelle de ces radicaux. Voici le tableau des valeurs de | /a3-f- 1>‘.
Ces valeurs dépendent de la relation qui existe entre les grandeurs de a et de i, relation presque toujours suffisamment connue d’avance.
Relations de a et b.
Valeurs de (/ a* -f- 6* approchée».
Erreur maiimuro possible.
Th Prè*-
Ti
ï^prè».
Si le rapport de a et 6 est inconnu, on aura à \ près 1 / fl1 -j- 61 rzz 0.8284 ( a -j— 6)
Quant au radical l/a2 — 6 1 qui se présente plus rarement, on aura r a étant compris entre 1.01 b et 1.02 6
y a1 — b1 == 6.097 o — 6.02 i à ^ près;
b étant compris entre zéro et 0.91 a
|/aJ — 65= 1.1319 a — 0.72636 6 à \ près ;
entre 6 = 0 et 6 = J a ou entre a = » par rapport à 6 jusqu’à a — 2 6
y a1 — b 2 = 1.018623 a — 0.2729*4 6 auprès.
Harros et, avant lui, Lambert ont démontré que a étant une valeur approchée de la racine m®0"1 d’un nombre A qu’on a partagé en am±:6, on avait avec une très-grande approximation
y am zt b =£= a ±
2 ab
2mam±(m — 1)6
formule qui, pour les ras habituels où m = 2 et m = 3 , prend les formes respectives
1/ A — [/ a* dr b
2 ab
3 3 ab
et |/A=sl/u3zt6 = a±
r 3 a3dt 6
Tant que deux grandeurs a b sont inégales, le radical y'ITb qui est leur moyenne par quotient, est toujours moindre que leur moyenne arithmétique et d’autant moindre quelles sont plus inégales (p. 1356)
VTb<a-±±
mais si a et b sont des nombres entiers tels que le nombre des chiffres qui expriment l’excès (a — b) de a sur b soit moindre que la moitié du nombre des chiffres de b, la moyenne arithmétique ne peut pas excéder la moyenne géométrique de un huitième d’unité , de sorte que l’on a, dans ce cas, cette autre limite ( Lentheric )
°-±!-VTo
Ainsi, en prenant la demi-somme de tels entiers pour la racine de leur produit, on ne se tromperait pas de un huitième d’unité.
Le théorème s’applique à deux nombres décimaux dans lesquels le nombre de chiffres décimaux serait le même, et qui, abstraction faite de la virgule, tomberaient dans le cas des deux nombres entiers dont il vient d’être question. L’excès de leur demi-somme sur la racine carrée de leur produit serait moindre que le huitième d’une unité décimale du dernier ordre.
Si l’on avait à extraire la racine carrée d’un nombre exprimé par l’unité plus une fraction décimale dans laquelle la première décimale significative serait précédée d’autant de zéros au moins qu’il y a de chiffres décimaux significatifs, on obtiendrait immédiatement celte racine avec le même degré d’approximation qu’offre le nombre proposé, en remplaçant simplement la partie décimale par sa moitié (■ Gergonne ). Ainsi
La racine carrée de la somme ou de la différence de deux nombres m et n, dont l’un est un radical, s’obtient parfois plus facilement en prenant une quantité auxiliaire d — V m’ — nJ et l’on a alors
mrn
