RÉGULATEUR

centrifuge est la projection horizontale de celui-ci ou Lrfa.cos.a. Ainsi le travail moteur élémentaire des forces centrifuges devient

— iu'1 Lsin. a I. cos.arfa =

2 p w'> L sin. a da

La hauteur verticale dont chaque halle s’élève est la projection verticale Lrf a sin. a de l’arc élémentaire qu’elle tend à décrire, et dès lors 2/>Lsin. ad a est le travail résistant dû à leur ascension ; quant au travail résistant du manchon, il est évidemment R 'rfy et comme dans le système de la figure

y = 2 à cos. x cl — rfy = -|- 2 b sin. et da

on a pour ce travail R' rfy = 2 R' 6 sin. a rfa ,

Egalant le travail moteur à la somme des travaux résistants, remarquant que tous les termes sont divisibles par 2sin.arfa, il vient :

P- o>n U cos. a = = p L + R' b

6 U' u* b R'to’

P L (<■>’* — to’) L (ta1 -|- to) (<!>' — <o)

formule qui permettra de régler passablement le poids p de chaque boule qui assurerait le mouvement ascendant du manchou coïncidemment avec un excès détermine (u' — w) delà vitesse angulaire du système, lorsque la résistance R' sera connue. Appelant R, la résistance que le manchon éprouvera lorsque son mouvement aura lieu de haut en bas, et qui pourrait être différente de R' ; remarquant que, pour le cas de ce mouvement, c’est le travail dû à la descente des boules qui devient le travail moteur ; raisonnant d’ailleurs comme ci-dessus, on obtient, en désignant par w, la valeur à laquelle la vitesse angulaire s’abaissera,

P L(io’ — a),*) L (o> u>,) («o — to,)

Cette autre valeur du poids qu’il convient de donner à chaquo boule, ne sera rigoureusement égale à p que dans le cas où l’on aurait R,(«i»M — (o1 — w,5) et la supposition R, = R1 ne

rendrait elle-même p —p' qu’à la condition 2 uP — w',-j-u>13. Ou voit môme facilement que R, étant toujours supposé =R' on aurait p<p' pour des écarts égaux w — oqz^io' — ta de la vitesse

angulaire de régime w, ou en faisant celte vitesse u> = “* t°-1-

c’cst à-dire moyenne entre les vitesses extrêmes. Le poids des

RELIEF Dl TERRAIN. ' 1391

boules ne pouvant recevoir deux valeurs différentes , la pratique ramène ces deux valeurs à une seule en disposant sur le levier conduit par le manchon un contre-poids qui reode possible l'équation ci-dessus :

R, (ü)’ — w,*) (to-j-to,) (u) — u),)

R ' («o11 — (•)’) (tu -)- iü') (ü>' — tu)

On trouvera , dans les cahiers lithographiés de M. Poncelet, des considérations très-intéressantes cl très-étendues sur la théorie générale de ces mécanismes.

RELIEF DU TERRAIN. 1. La plupart des travaux, dont les ingénieurs peuvent être chargés, exige une connaissance exacte et préalable du relief du terrain.

2. Le principe, à l’aide duquel on exprime ce relief sur les plans, attribué par quelques-uns à l’ingénieur genevois Ducarla, parait cependant dû à Buachc (Voyez Mémoires de l’Académie, 1752). — Pour bien saisir l’esprit de la méthode, on peut imaginer que la mer baigne d’abord le point le plus bas du terrain à lever ; — puis, que son niveau s’élève brusquement mais successivement de hauteurs toujours égales, à partir du point le plus bas, jusqu’à ce qu’il ail atteint la plus haute sommité.

Dans celte hypothèse , chaque niveau de la masse liquide coupera le terrain suivant une ligne dont tous les points seront de niveau entre eux, et de l’ensemble de ces sections de niveau équidistantes naîtra un système de courbes de niveau dont tous les points appartiennent au terrain, et qui en caractériseront parfaitement le relief dès que la distance constante de deux niveaux successifs, ou ce que l’on appelle Y équidistance sera indiquée ou connue. Ce sont ces courbes de niveau que l’on trace sur les plans.

Application. Les fig. 1 et 2 de la pl. CVI montrent l’application du principe à des corps géométriques : le cène et la demi-sphère, et les fig. 3, sont des applications du même principe à un relief tel qu’on en a le plus ordinairement à figurer ; enfin, la partie à droite de la pl. CVII est une autre application sur une grande échelle.

3. Pour obtenir la hauteur d’un point quelconque d du terrain (fig. 3, pl. CVI) , au-dessus de la courbe inférieure aqhi dont le plan sert de point de départ, et que l’on numérote alors o, il suffira donc de compter le nombre de courbes depuis et y compris celle qui passe par le point d jusques et y compris celle qui précède la courbe zéro, puis de multiplier ce nombre par Véquidistance , laquelle est toujours indiquée sur le plan.

Si le point est situé entre deux courbes horizontales, on fait passer par ce point une petite ligne, normale tant à la courbe supérieure qu’à la courbe inférieure ; on divise cette normale en dix

parties égales, cl on compte le nombre des division* depuis le point jusqu’à la courbe immédiatement inferieure , ce qui donne les dixièmes de V équidistance.

4. Les points culminants comme s, même figure, exigent des cotes particulières que l’on écrit toujours sur le plan, d’abord à cause de l’importance de ces points, ensuite parce qu’il est bien rare qu’ils correspondent juste à une équidistance.

5. Pentes. On voit d’ailleurs facilement que si l’on divise l’cquidistance e par l’intervalle d compris sur le plan entre deux courbes consécutives, on a pour quotient la tangente de l’angle de pente t en cet endroit du terrain, car t =d lang. i, et en recourant à la table (pag. 892) on trouve celle pente en degrés et minutes s’il est nécessaire.

6. Pour obtenir une coupe du terrain suivant des directions quelconques abcsefgli (fig. 3, ;>/. CY1), l’équidistance e étant connue , on portera sur une horizontale AH une distance A4' = l’intervalle a b déterminé sur le plan par l’intersectiou de la surface sécante avec les courbes qui passent par ces points a cl 4. Au point 4’, on élèvera uuc ordonnée 4' B égale à l’équidistance constante e, puis par l’extrémité B de celte ordonnée on tirera A B. Par le même point B de la coupe on conduira une parallèle à AH sur laquelle on prendra Bc' = 4c du plan; par c' on élèvera une perpendiculaire à B c' encore égale à l’équidistance e = c’C, et l’on joindra encore les points B et C. On continuera ainsi jusqu’à ce qu’on ail placé le point I) de la coupe, et pour y placer le sommet s, il est clair qu’on ne devra donner au triangle Ds’S que la hauteur *' S qui, pour ce seul point, pourra n’être qu’une fraction de l'équidistance e, toujours connue par la cote de ce point écrite en chiffres sur le plan. Ainsi, cl sans détailler plus longuement la construction de la coupe d’après le plan, on voit qu’on l’obtiendra en faisant en sorte que chacun des triangles partiels de la coupe : 1° soit rectangle ; 2° ait uuc hauteur constante égale à l’équidistance e ; 3° ait pour base la distance des points où la surface sécante rencontre deux courbes consécutives. Les sommités s seules peuvent donner lieu à des triangles dont la hauteur *'S soit une fraction de l’équidistance E.

Remarques. On peut remarquer dans ce mode ingénieux do représentation, que :

7. Toutes choses égales d’ailleurs, plus la distance entre deux courbes quelconques est faible, plus la pente est forte. Ainsi (fig. 3), pour descendre du sommet du mamelon jusqu’à son pied, le chemin le plus long, et dès lors le moins rapide, est sdcba, le plus court et le plus roidc est snopq.

8. Dans les reliefs, toute courbe fermée appartient à des points de niveau plus élevés que ceux d’une autre courbe fermée qui en-

veloppc la prcnÿérc; Icof enveloppante est plus bas que son enveloppée dnem.

9. L’inverse a lieu pour les creux ; et pour qu’on ne confonde pas les saillies avec les excavations, il convient en général d’inscrire sur le plan les cotes de hauteur des courbes extrêmes.

10. Lorsque les courbes ne sont point fermées, on éprouve quelquefois de l’embarras pour distinguer si le terrain est en relief ou en creux. Les cotes extrêmes ôtent toute incertitude à cet égard, mais à défaut de ces cotes, les cours d’eau suffisent le plus souvent. Ainsi (fig. 4) m'n'p' est plus élevée que son enveloppante mnp ; c’est exactement le contraire qui a lieu {fig. 5); les cours d’eau SO montrent clairement en effet le sens de la pente dans l’une et l’autre figure.

11. Quelques exercices, au reste, mettent bientôt les jeunes gens en état de lire !es plans, et ils distinguent alors sans aucun effort toutes les particularités d’un terrain.

Ainsi {fig. 6, pl. CVI), P est un petit col entre deux mamelons N, Q ; et le premier mamelon Q est plus élevé que N au-dessus du point P ; cl, comme l’indiqueraient les coupes que l’on pourrait faire suivant XPY et U P M , P est le point le plus bas de cette sommité dans le sens XPY et le plus haut de la section UPM. Cela est évident indépendamment de toutes cotes et de toutes coupes.

12. De l équidistance. Il parait d’ailleurs que le relief du terrain sera d’autant plus rigoureusement et fidèlement accusé, que les courbes seront plus multipliées ou que l’équidistance sera plus petite. En général, cette équidistance varie suivant l’échelle du plan, suivant le but de son levé, et surtout en raison des formes du terrain, mais elle doit toujours être la même pour toutes les parties d’un même plan. L’équidistance est habituellement de 2”. 50 pour les plans à l’échelle de un 5000‘mo. On la porte au double pour l'échelle moitié moindre ou un 10 000*™°.

13. Lignes de plus grande pente. Ainsi les courbes de niveau donnent, avec toute l’exactitude désirable, les hauteurs ou les pentes absolues ou relatives que l'ingénieur a besoin de comparer à chaque instant pour bien asseoir scs projets. Toutefois, il faut en convenir, ce mode de représentation est peu pittoresque, et des yeux exercés peuvent seuls saisir l’ensemble de la forme du terrain à l’inspection de ccs courbes. Pour remédiera cet inconvénient, qui a paru assez grave dans certains services, la science a appelé l’art à son aide, et, à la suite d’une mémorable discussion où toutes les opinions ont été pesées et où toutes les notabilités ont été entendues, il a été décidé que, pour les plans à l’échelle de un dix-millième et au-dessous, les espaces laissés entre les courbes seraient remplis par

des normales ou lignes de plus grande pente, ainsi que l’indique la partie gauche de la planche C V 1 1 .

14. Je résumerai ici très-succinctcmcnl les prescriptions rendues à la suite de celte discussion (qu'on trouvera d'ailleurs tn extenso au Mémorial topographique du Dépôt de la guerre) en faveur des ingénieurs qui voudraient s’y conformer.

Pour les minutes des levés, quelle que soit leur échelle, ils auront recours uniquement' aux courbes équidislaules. — Mais sur les dessins qu’ils exécuteront d’après cette minute, dans tous les cas où l’échelle de ce dessiu serait au-dessous de un 10 000('n‘c, ils traceront, entre les projections des courbes horizontales, des hachures (pl. CVTI) qui représenteront les projections horizontales des lignes de plus grande pente et qui seront menées perpendiculairement à chacune des deux courbes entre lesquelles elles seront tracées. La planche CYH montre les effets comparés des deux systèmes.

15. L’espacement de ces hachures sera en raison inverse de la rapidité des pentes, et égal au quart de la distance prise sur la carte entre deux courbes consécutives.

Lorsque les hachures normales à deux courbes consécutives divergeront sensiblement entre elles, l’espacement qui vient d’élrc déterminé se mesurera sur une ligne perpendiculaire à la hachure et menée par son milieu.

Dans le cas où la distance entre deux courbes consécutives sera au-dessous de 0ra.002, on substituera à la loi de l’espacement des hachures celle de leur épaisseur, c’est-à-dire qu’on fera ces hachures d’autant plus grosses que la pente sera plus rapide.

On conservera sur le dessin exécuté d après la minute une sorte de trace de la projection des courbes horizontales équidistantes qu’on n’y marque qu’au crayon et provisoirement dans le but de servir de directrices aux hachures.

16. Pour conserver cette trace des courbes de niveau et permettre de suivre leurs directions lorsqu’on les a effacées, on peut, ou dis-

Eoser les hachures de deux tranches consécutives de manière que la achurc inférieure ne soit pas dans le prolongement de la hachure supérieure, ou bien l’on peut arrêter la hachure à une petite distance de la courbe directrice, de manière à laisser entre deux rangs un petit espace blanc. Voyez la partie gauche de la planche CVII.

Des cotes écrites aux points les plus remarquables indiqueront la hauteur de ces points; celui dont la cote est zéro étant toujours le plus bas, on fera connaître, autant que possible, la hauteur de ce point au-dessus du niveau de la mer (pag. 393).

Dans le cas où un ou plusieurs points du terrain seraient inférieurs au niveau de la mer, la cote zéro correspondra à ce dernier niveau, et les cotes des points qui lui sont inférieurs prendront le signe négatif.

17. Lumière. L’instruction prescrit encore, quelque petite que soit l’échelle, d’écartcr toute considération de lumière soit oblique soit verticale. Mais peut-être, trouvera-t-on utile d’user, quelquefois, des ressources que présente l'hypothèse de la lumière oblique, et de se conformer dans le dessin topographique, à l’usage adopté dans le dessin des machines (pag. 517), quant à la manière d’y placer les traits de force. On parviendra ainsi le plus souvent à faire sentir d’un seul coup d’œil les bords d’une excavation par exemple que, sans cette ressource, on confondrait facilement avec une saillie; et bien que, en général, on doive dans le dessin utile se dispenser de toutes ombres portées qui rendent toujours les plans confus, on pourra exceptionnellement s’éloigner de celte loi. Lorsqu’on voudra faire connaître approximativement \ahauteur d’un objet, on portera son ombre sur le plan, ce qui donnera immédiatement cette hauteur , puisque cette ombre est dans l'hypothèse de la lumière oblique, une tangente à 45° et que cette tangente est égale à la hauteur de l’objet.

18. Quant au sens de ces ombres, il conviendrait d'autant mieux de le fixer conformément aux conventions de la pago 516, que le nord d’un plan de terrain étant toujours à la partie supérieure du cadre , ce terrain se trouverait éclairé par des rayons solaires venant des régions du sud, ce qui parait plus naturel que le mode inverse longtemps adopté. Les traits de force seraient également disposés conformément à la même convention, qui servirait ainsi pour tons les genres de dessin. Jetons maintenons un coup d’œil sur les :

19. Méthodes qui donnent les courbes de niveau du terrain avec plus ou moins d’approximation. La hauteur de tous les sommets de la triangulation générale ou secondaire étant connue ou pouvant être calculée, on prend les angles de hauteur ou de dépression d’un trèsgrand nombre de points du terrain autour de chacun de ces sommets, ou bien encore de chacun des points du terrain, on relève les angles de hauteur ou de dépression qu’ils forment avec les sommets en question. La distance horizontale de chacun de ces points au sommet étant donnée sur le plan, on calcule avec ces éléments les cotes respectives de chacun d’eux , on joint ensuite par une même courbe les points peu éloignés entre eux et qui ont des cotes égales. Ces cotes tracées d’abord au crayon sont ensuite passées à l’encre sur la minute.

20. Pour prendre d’un point quelconque A, l’angle do hauteur ou de dépression d’un autre point B, il faut donner au signal placé en B (mire ou piquet), la hauteur de l’instrument placé en A. On voit d’ailleurs facilement que , avec cette condition, H étant la cote de A ou sa hauteur au-dessus du point le plus bas du terrain, A celle du point B que l’on observe de A, ou d’où l’on observe A,i l'angle

1396 RELIEF l)L TERRAIN.

de hauteur ou 8 l’angic de dépression, D la distance horizontale du point B au sommet, distance prise sur la carte, on a :

A=H — D tang. t = D tang. 3 — {— U ,

valeur que l’on calculera rapidement à l'aide de la table des tangentes naturelles (pag. 892).

21. On peut encore faire les nivellements du terrain (pag. 1201) suivant des séries de plans sécants et verticaux, soit parallèles entre eux, soit passant tous par une même verticale comme le suppose la fig. 3, planche CVI, ce qui fournit autant de proGIs qu’il y a de plans sécants. On trace ces profils à l’échelle du plan on mène dans chacun d’eux des horizontales distantes de l’équidistance adoptée s, on projette sur le plan les intersections de ces horizontales avec les profils , et l’on joint par des courbes tous les points qui ont les mêmes cotes de hauteurs, ainsi que l’indique suffisamment la figure. On dessine à vue, en parcourant le terrain, les courbes qui passeraient par les points intermédiaires.

Quand le sol est couvert de bois, planche CVII , on figure les courbes jusqu’à leur lisière, et le reste s’obtient par approximation soit à vue, soit par points en suivant les chemins et appréciant le mieux possible la valeur des pentes.

22. Les méthodes précédentes suffisent ordinairement aux besoins généraux de la topographie, mais, si en vue de constructions à faire sur le terrain, d’excavations ày pratiquer, de déblais à en enlever, de travaux de mines à y entreprendre, le relief devait en être plus exactement accusé, on tracerait, sur le terrain, à l’aide de piquets , de véritables polygones de niveau , dont les plans superposés devraientêtre d’autant plus rapprochés que les pentes seraient plus variables. Puis on lèverait successivement les sommets de chacun de ces polygones, dont les différences de niveau seraient données par un nivellement (pag. 1201).

23. Pour tracer une courbe on un polygone de niveau sur le terrain, à partir d’un point déterminé, on dispose la mire en ce point, puis, plaçant le niveau réglé en un point quelconque, on fait élever le voyant de la mire jusqu’à ce qu’il se trouve à l’intersection des fils du réticule. On arrête invariablement le voyant dans celte position à l’aide de la vis, puis laissant le niveau à la place qu’il occupe, on fait porter la mire sur un point voisin du terrain. Si le voyant se trouve au-dessous ou au-dessus du fil du réticule , on abaisse ou on élève la mire en corps jusqu’à ce que l’intersection des fils et la ligne du voyant coïncident, et l’on plante un piquet au point du terrain que le pied de la mire occupait. Ce point est nécessairement de niveau avec le point de départ. Le niveau restant dans la position qu’il occupait, on répète avec la mire dont le voyant n’a pas bougé, la même opération pour tant de points qu’on voudra.

24. Si les sinuosités de la courbe deviennent telles que l’on cesse d’apercevoir la mire de la station fixe du niveau, on transporte celui-ci en avant de la dernière position de la mire. On établit, à volonté , le niveau à sa nouvelle station , on donne un coup d' arrière sur la mire (pag. 1202), ce qui obligera à faire monter ou descendre le voyant. On fixera celui-ci invariablement dans sa nouvelle position, on laissera un piquet au point que la mire occupait cl l’opération pourra alors être continuée comme dans le premier cas.

Au reste, la moindre pratique suggérera bientôt à un ingénieur un peu géomètre d'autres méthodes que je me dispense dès lors d’exposer ici, où lesprincipes généraux seuls peuvent être rappelés.

RÉSISTANCE DES FLUIDES. Lorsqu’un corps solide se meut dans un fluide, parallèlement à lui-même, sans tourner, et avecune vitesse uniforme V, il éprouve de la part des molécules de ce fluide et dons le sens même de son mouvement une résistance R ou pression totale qui dépend de sa forme , de scs dimensions et surtout de sa vitesse.

A étant la projection du corps sur un plan perpendiculaire à sa vitesse uniforme V, dc—\dt le chemin élémentaire que décrit cette projection dans le temps infiniment petit dl, on admet que le prisme Ade engendré par le mouvement du corps, représente le volume de fluide qui a été déplacé.

étant le poids du mètre cube de ce fluide, «A de sera donc le

y rft

poids du fluide déplacé, — A de sa ruasse, — AdeV1 la force

vive qu’elle a acquise et — A de Y’ le travail R de que le corps a

dépensé pour imprimer au prisme fluide sa vitesse propre Y. La résistance constante théorique R qu’il a éprouvée est ainsi donnée par l’égalité

R de = — AV1 de ou H — ® A J- ^ A H 2S 29

en appelant II la hauteur due à la vitesse Y (pag. 603). Mais l’expérience montre que le second membre doit être multiplié par un coefficient k qui dépend de la forme du corps mobile et des circonstances de son mouvement, de sorte que l’on a en général