R = 17 AV

V étant la vitesse relative de l’eau et du bateau. D’après Navier, toutefois, on aurait sur les rivières et canaux à grande section les valeurs suivantes de k :

Bateau en prisme rectangulaire avec proue et poupe formées de deux plans verticaux dont la saillie égale la largeur. . . /f=0.55

— la saillie de la proue étant double de la longueur. . 0.45

— la proue étant formée par un demi-cylindre vertical. 0.50

— la proue étant formée par le prolongement du prisme

coupé en dessous par un plan incliné sur l’horizon de 30°. 0.45

Bateaux sur rivières et canaux à petite section. La résistance augmente très-sensiblement lorsque le cours d’eau n’a pas au moins

4 fois | la largeur, et 6 fois \ la section de la partie immergée da bateau; mais on connaît mal la loi de l’accroissement de celle résistance, en dépit des observations de Dubuat , Russell et Macneill, etc. On se contente, faute de mieux, d’augmenter de sa moitié la valeur d ck prise d'après les conditions du paragraphe précédent. Une observation de A1M. Magnés et d’Aubuisson a cependant donné pour le canal du Languedoc et les grandes barques qui y naviguent, et que M. d’Aubuisson appelle « espèces de gros coffres garnis d’une proue et d’une poupe fort obtuses, à faces courbes » ; la résistance

5 étant la section du canal.

Vaisseaux. Quant aux embarcations qui ont les (ormes des navires marins, on prend A=0.16 ou 0.18 d’après une expérience de Bossut sur un modèle de vaisseau mu exactement dans le sens de sa quille.

Ainsi, la formule théorique par laquelle on s’est accordé à représenter la résistance des fluides se trouve modifiée par un coefficient k qui varie entre les limites excessivement distantes 0.16 et 3 sans que l’on sache même le plus souvent si ce coefficient affecte la section A du fluide déplacé ou le carré V* de la vitesse relative. Cette formule n’est donc que l’expression fort incomplète des phénomènes nombreux et complexes qui donnent lieu à ce genre de résistance, une sorte de traduction algébrique d’un seul des faits mécaniques qui l’accompagne et qui n’est pas toujours le plus influent d’entre eux. Si nous cxcoptons l’essai' si remarquable qui termine la Mécanique industrielle de M. Poncelet (pag. 675), nous pourrions donc appliquer encore aujourd'hui à la théorie de la résistance des fluides la critique que D’Alembert en faisait il y a un siècle (1752) : « S’il arrive, disait-il, que la question que l’on veut examiner soit trop compliquée pour que tous les éléments puissent entrer dans la comparaison analytique qu’on veut en faire, on sépare les plus incommodes, ou leur en substitue d’autres moins gênants mais aussi moins réels; — et on est étonné d’arriver, après un travail pénible, à un résultat contredit par la naturel Comme si, après l’avoir déguisée, altérée ou tronquée, une combinaison purement mécanique pouvait nous la rendre. »

RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. 1 . Les matériaux sont soumis dans les constructions à des efforts instantanés ou permanents qui les étendent, les compriment, les fléchissent ou les tordent, cl tendent toujours à les rompre. La cohésion de leurs molécules développe alors dans ces solides des résistances, dites moléculaires, à l’aide desquelles ils réagissent contre les efforts extérieurs qui les déforment; mais les lois physiques qui régissent ces résistances, n’ayant été étudiées que très-récemment avec la sévérité convenable, les illustres géomètres qui, depuis deux siècles, ont créé et développé la théorie de la résistance des solides se sont trouvés conduits, à défaut d’observations exactes, à fonder cette théorie sur une nombreuse série d'hypothèses, implicites et explicites, que nous allons essayer de résumer :

2. Première hypothèse : limite d'élasticité. Les corps solides se laissent étendre, comprimer, fléchir et tordre, jusqu’à une limite differente pour chaque nature de solide, mais en deçà de laquelle ils reprennent exactement leurs formes et dimensions primitives ou naturelles, au moment où les forces extérieures qui tendaient h les

déformer Tiennent à cesser d’agir. Celte limite prend le nom de limite d'élasticité.

3. Deuxième hypothèse : allongements. Lorsqu’un prisme solide, dont nous représenterons la longueur et la section primitives ou naturelles par L et A, est tiré, dans le sens de sa longueur, par des efforts successifs P, les accroissements e de sa longueur primitive sont proportionnels aux valeurs de P aussi longtemps que sa limite d'élasticité de tension n’est pas atteinte.

4. Troisième hypothèse : en deçfi de la limite d’élasticité, la durée des efforts est sans aucune influence sur les effets produits.

5. Quatrième hypothèse. Les accroissements do longueur subis par le prisme ne diminuent pas ses dimensions transversales ou sa section A.

6. Cinquième hypothèse. Les efforts nécessaires pour allonger des prismes de môme longueur L, d’une môme quantité déterminée e, sont proportionnels à leurs sections transversales.

7. Sixième hypothèse : module ou coefficient d’élasticité. Puisque

les allongements par mètre - sont, en vertu des hypothèses ci-des-

sus, proportionnels aux efforts d'extension — par mètre carré de

section du prisme aussi longtemps que la limite d’élasticité n’est pas atteinte, on obtiendrait évidemment l’allongement par mètre a du môme prisme correspondant à un effort de un kilogramme par mètre carré, en posaut la proportion

Faisant le quotient - = E, on aurait donc

c’est ce poids E que l’on nomme le module ou le coefficient d'élasticité de la substance du prisme.

8. On dit encore que ce module ou coefficient d’élasticité serait le nombre do kilogrammes qu’il faudrait appliquer à un prisme de un mètre carré de section pour l’allonger de un mètre par mètre, s’il était possible physiquement qu’un pareil allongement n’altérât pas l’élasticité do ce prisme. Y, est, e» effet, la valeur que prendrait P dans la formule ci-dessus, en y faisant la section A du prisme = un mètre carré et l’allongement absolu e = la longucur primitive L.

9. Septième hypothèse. Compressions. La théorie étend les six hy-

polhèses précédentes aux phénomènes de compression comme à ceux d'extension.

Ainsi, tant que les efforts de compression ne dépassent pas la limite d’élasticité relative à l’extension, elle admet que le refoulement longitudinal du prisme n’altère pas son élasticité; — et aussi longtemps que cette élasticité n’est pas altérée, la longueur primitive L du prisme diminue de quantités absolues c qui restent : 1° proportionnelles aux efforts de compression P; 2° en raisou inverse de sa section A qui est censée rester constante malgré le refoulement ; 3° absolument indépendantes de la durée des efforts P.

10. Huitième hypothèse. Toutes choses égales d’ailleurs, ces quantités c sont en outre considérées comme ayant rigoureusement la même valeur numériquedans le cas de la compression que lesquantités e dans le cas de l’extension. lien résulte qu’un mémeelTorl±P appliqué à un même prisme dans la direction de sa longueur , fera varier sa longueur primitive L de quantités ±c=+« absolument égales, mais seulement de signes contraires, soit qu’il tire, soit qu’il refoule ce prisme, aussi longtemps du moins que la limite commune d’élasticité n’est pas atteinte.

11. Enfin, le module ou coefficient d'élasticité C relatif à la compression a conséquemment pour la même substance, la même valeur numérique que le module d’élasticité E relatif à l’extension ; — do sorte que, selon le sens de l’action, E représente dans cette théorie, tantôt le poids qui allongerait de un mètre par mètre un prisme de un mètre carré de section, ou qui doublerait sa longueur primitive, tantôt le poids qui refoulerait ce même prisme jusqu a le réduire à un plan géométrique sans épaisseur, en supposant toujours que dans toute l’étendue de ces déformations, les variations de longueur puissent rester proportionnelles aux efforts.

Ces hypothèses admises, on résout assez facilement les problèmes qui suivent cl qui supposent tous que les efforts extérieurs sont toujours assez faibles pour que l’clasticilé du soiide ne soit point altérée.

12. Je prendrai ici pour guide le résumé de la théorie de la résistance des matériaux, tel à peu près qu’il a été donné par M. H. Moseley, dès 1843, dans scs Mechanical principles of engineering. On pourra y remarquer quelques tours heureux de démonstration, et une grande généralité. Je regrette beaucoup que le cadre restreint de mon livre, et surtout que l’incertitude qui plane sur cette ingénieuse théorie depuis la publication des belles expériences de M. Hodgkinson, ne m’aient pas permis d’exposer tous les développements originaux et les applications intéressantes du savant professeur Moseley.

Quant au fond de la théorie, on sait qu’il est le produit successif des travaux d’une série d’hommes illustres qui commence à Galilée, Ilooke, Leibnitz, Mariotte et finit aux Bemouilli, aux Coulomb , aux Lagrange, aux Poisson , aux Navier et aux Poncelet.

13. Déterminer l'allongement ou le refoulement total e que subit sous un effort P, un prisme dont la longueur et la section primitives, sont L et A.

Allonger (ou refouler) le prisme de e, c’est donner à chaque mètre de sa longueur un allongement ~ ; ce qui exigerait (§ 11) un

effort égal à ~ E si le prisme avait une section de un mètre, et exi-

géra un effet A y E, puisque la section est A mètre (§ 6) ; donc

r = ae

14. Déterminer le travail T nécessaire pour allonger (ou refouler ) de e, un prisme dont la longueur et la section primitives sont L et A.

La proportionalité admise entre les extensions et les efforts (§ 3), indique évidemment ici des efforts successifs qui augmenteront avec lo chemin déjà parcouru par l’extrémité du prisme; soit donc x une partie de l’allongement total ou du chemin total e parcourue par cette extrémité à une époque quelconque, l’effort nécessaire pour rendre l’allongement x permanent est d’après la formule (3)

A Ex

le travail élémentaire de cet effort est évidemment

le produit de celte quantité par le petit chemin dx et le travail total T dépensé sur le prisme est la somme de tous les travaux élémentaires accomplis entre i = octi=e donc

Ainsi le travail est proportionnel au volume AL du prisme et au carré de son allongement par mitre.

15. Substituant dans cette expression la valeur (3) de l’effort P qui suffirait pour maintenir d'une manière permanente l’allongement e du prisme, on a encore :

AEc1 AEe e Pe , .. ...

T = — — = — — - = — kilogrammètres. ... (5)

ou, eu mettant à la place de e sa valeur en fonction de P (3) :

Pe P* L

T ~~ 2ÂË

16. Corollaire. Donc si Tou appliquait subitement à l'extrémité inférieure d'une lige verticale lixéc par son extrémité supérieure, un poids P égal à l’effort rigoureusement nécessaire pour la maintenir allongée de e, le travail Ve dû à la descente du poids P

diminué du travail —, qui suffit pour allonger la barre de la

quantité e, laisserait disponible dans le système de la tige cl du poids un travail

précisément suffisant (4) pour allonger encore la lige d’une nouvelle quantité e, de sorte que l’allongement total acquerrait une amplitude = 2 e. Mais cet allongement 2 e ne saurait persister, puisque, par hypothèse, P ne peut maintenir la tige allongée que d’une quantité e. Le poids P remonterait donc, et l’extrémité inférieure de la barre oscillerait avec lui autour d’un point correspondant à l’allongement e. Nous reviendrons tout à l’heure sur cette question intéressante (*).

17. Coefficients de la résistance vive d’élasticité T ’. L’équation (4) obtenue au § 14, mise sous la forme

nous a montré que les quantités de travail à dépenser sur des prismes de même substance pour les allonger ou les raccourcir d’une même quantité par mètre de longueur, étaient proportionnelles aux volumes de ces prismes.

Imaginons donc que deux prismes de même substance ont subi l’allongement par mètre e qui correspond à leur commune limite d’élasticité. Soit A la section du premier prisme, L sa longueur primitive, T le travail à dépenser sur lui pour produire l’allongement limite par mètre e, et soit un mètre carré la section du second prisme, un mitre sa longueur primitive, et T 1 le travail analogue

(*) M. Moseley remarque que le* raisonnements ci-dessus s’appliqueraient très-exactement à la colonne liquide d’un manomètre (pag. 1115), dont la

firession est nécessairement proportionnelle b sa hauteur. On voit donc que, orsque celte colonne est brusquement soumise à la tension constante T d’un fluide (vapeur, air comprimé, etc.), la variation de la hauteur inanométrique est le double de celle qui ferait équilibre à la tension réelle du fluide. Faute d’avoir eu égard k cette remarque, on est tombé dans des erreurs très-graves et quelques résultats d’expériences courent le inonde et y sont acceptés, bien qu’ils soient entachés du genre d’erreur que l’on signalcici. (Voyez encore la pag. 802 de l’article Forces.)

à T ; on aura cnlre ces deux travaux, d’après ce qui précède, la relation

T=Te‘AL 00

18. Ce travail T/, qui sert de mesure à la résistance élastique

qu’un prisme solide oppose à l’action d’un choc ou d’un effort brusque dirigé dans le sens de son axe, est ce que M. Poncelet appelle coefficient de la résistance vice d’élasticité, et ce que, d’après Tredgold, les auteurs anglais nomment module de résilience longitudinale.

19. Détermination pratique de T ‘. Pour déterminer le coefficient

de résistance vive d’élasticité d’une substance donnée, on pourra

donc se borner à chercher par l’observation l’effort P , strictement

suffisant pour maintenir à l’allongement limite par mètre e un prisme de la substance donnée d’une longueur quelconque et d’une section A : car, en vertu des équations (5) et (7), on a :

d’où

Jl. p *

2AE e