AE A

cl soit C la position fixe que conserverait le centre i du poids P ou l’extrémité de la tige sous l’influence d’une force sans inertie d’une intensité égale à P.

Imaginons que, le centre du poids occupant le point C, une nouvelle force extérieure soit introduite dans le système et fasse parcourir à l’extrémité C un nouveau chemin CD=c; puis, que cette extrémité D soit alors abandonnée à ellemême ainsi qu’à l’action du poids P qui lui reste attaché.

Soit enfin O une position quelconque de l’extrémité de la lige ou du poids P qu’elle porte pendant l’une quelconque de ses oscillations (§ 16), et CO =2 ,

On aura à cet instant, savoir :

^-(-x pour l’allongement absolu de la tige;

pour l’effort qui rendrait cet

allongement stable ou permanent (3), ou pour la réaction de la lige à cet instant;

— -j- atj — P pour l’excès de la réaction élastique de la

tige sur le poids P ou pour l’effort dirigé de bas en haut qui reste disponible dans le système à cette période de rallongement. Or, en vertu de la valeur (12) de P, cet excès ou effort disponible se réduit à

Sou action sur la masse - variant comme la distance x du point g

O au point C, la durée des oscillations de l’extrémité O de la lige est indépendante de leur amplitude, et cette extrémité s’éloigne dés lors de part et d’autre du point C à des distances égales

dans le temps l qu’un pendule simple d’une longueur - s= — met-

m 2 A Ej

trait à accomplir une oscillation complète (page 1 253) j donc

Si l’on désigne par L, la distance de la suspension S au centre C des oscillations, on aura donc, en mettant pour - sa valeur

23. Supposons maintenant que le poids P vienne d'atteindre précisément la plus haute position d, de sa première oscillation, où il est dès lors en repos au moins pour un instant, et imaginons qu’à cet instant même un second poids P, soit ajouté au premier poids P : une seconde série d’oscillations va évidemment commencer autour d’un nouveau centre C,, centre dont la distance SC,= L2 à la suspension sera exprimée par

de sorte que la distance CC, des deux centres devient (page suivante)

L’“L‘ + ri = CC‘ («6)

et le plus graud abaissement C, D, = d, C, au dessous du nouveau centre C, correspondant à la seconde oscillation devient lui-mômc égal à la distance de C, au point d, où celle oscillation a commencé. Or

L’amplitude totale II2 = rf,DI de celte seconde oscillation est donc

H»=2['+rî] <l8>

24. Supposons encore que le poids P, soit anéanti au moment môme où il atteint le point le plus bas D, de la seconde oscillation; une troisième série d’oscillations va commencer, mais de môme que la première, elle s’accomplira autour du premier centre C, dont la distance L. à la suspension S est déterminée (t*), et le poids P seul, à la fin de la troisième oscillation, aura remonté au-dessus de C d’une quantité Cd2= CD, , de sorte que l’amplitude totale de l’oscillation sera (17) et (16)

= 2CD1 = 2[C,D1 + CC1]=2[c+^](19)

25. Enfin, imaginons toujours que, au moment précis où le poids P seul est parvenu au point d2 le plus élevé de la troisième oscillation, il reçoive de nouveau la charge additionnelle P, ; une quatrième oscillation va commencer autour du centre Ct situé à la distance L2 de la suspension (15), point qui était le centre de la deuxième oscillation. C, D^rrC, d2 sera donc la nouvelle demi-aroplilude, et dés lors l’amplitude totale deviendra

Il I 1 1

ij .

Ie*

26. Continuant ainsi à décharger le système du poids additionnel P, toutes les fuis que la charge atteint sa position inférieure, ct à rétablir ce poids additionnel P, lorsque P atteint sa limite supérieure, il parait évident que les amplitudes des oscillations croîtront suivant une progression par différence, de sorte que l’amplitude, totale 1I„ de la nlèm* oscillation aura pour valeur

(»-l)P,L- AE J ' * ‘

Les oscillations ascendantes se faisant aulour de C ct les oscillations descendantes autour deC, , si n est pair, le centre de la ni4a” oscillation est C, , le plus grand allongement ca de la tige est alors = B C, + î Hn. Mettant pour B C, sa valeur (L, — L) tirée de (15)

et pour H„ la valeur ci-dessus, il vient pour le plus grand allon geraent absolu

c -c 1 ^ + >>r-)L cn c-| — .

et cet allongement peut eventuellement déterminer la rupture de la tige.

Cette théorie explique les dangereux effets d’une troupe marchant au pas sur un pont suspendu. Voyez l’Introduction à la Mécanique industrielle de M. Poncelet. Voyez aussi le Mémoire de M. Eaton Uodgkinson sur la chute du pont suspendu de Broughton prés Manchester (4e volume des Manchester philosophical transactions), et enfin le Mémoire dciVaei'er sur les ponts suspcndus(1823), et où il a montré que la durée des oscillations éprouvées par les chaînes de ces ponts, et dés lors par la totalité des tiges cl du tablier, pouvait s’élever dans certains cas à près de six secondes, d’où pouvait résulter l’isochronisme entre ces oscillations et la marche d’une troupe, et enfin un accroissement redoutable de l’amplitude des oscillations.

27. Flexions. Surface neutre des pièces fléchies. La théorie de la résistance des matériaux suppose encore que, lorsqu’une pièce est fléchie, les fibres du solide situées vers la partie convexe s’étendent, tandis que les fibres situées vers la partie concave se raccourcissent. S’il en est ainsi, il existe nécessairement, entre les couches étendues et les couches comprimées ou refoulées, une couche unique dont les fibres ont conservé leur longueur primitive, et que, par ce motif, on nomme la surface neutre du solide.

28. Réalité de la surface neutre. Ainsi qu’on le verra plus loin, les observations récentes doM. Eaton Hodgkinson et de la commission anglaise n’ont point confirmé toutes les hypothèses de la théorie. Frappé de ces discordances que les anciennes expériences semblaient déjà indiquer (voyez Fer et Fonte, page 740), j’avais conçu un moment l’espoir de voir s’évanouir la surface neutre avec quelques autres hypothèses fondamentales, ou plutôt se confirmer l’idée première des Galilée et des Leibnitz, qui plaçaient celte surface à la concavité môme du solide fléchi, dont toutes les parties sc trouvaient dès lors simplement soumises à l’extension. Peu convaincu d’ailleurs par les raisonnements et les méthodes d’expérimentation, contestables à mon sens, qu’on emploie depuis longtemps pour démontrer le double phénomène d’extension et de compression dans les solides fléchis, j’ai essayé, si elle était réelle, de constater l’existence de la surface neutre d’une manière irrécusable, en la rendant sensible à l’aide de l'appareil suivant (ftg. i, 2 et 3, planche CIX).

29. Le 17 décembre 1851, j’ai pris une pièce de sapin du Nord

qui, après équarrissage à vive arête pour toutes ses faces, s'est trouvée avoir : section (0m.097*)2, longueur 2“>.0083 ; poids total 8k.9. Je l’ai placée horizontalement sur deux appuis reposant eux-mômes sur un bâti solide à une] distance de 1“.803 (ces détails ne sont pas reproduits dans les figures).

Au milieu de cette pièce, j’ai placé un rouleau en bois R de 0ra.30 de diamètre et de môme largeur que la pièce, et j’ai suspendu à son axe en fer a deux étriers en bois ee qui recevaient à leur partie inférieure une traverse en fer / parallèle à l’axe du rouleau, traverse qui, à l’aide de quatre chaînes cc et de crochets, portait un plateau que je ne figure pas et qui recevait les poids successifs destinés à fléchir la poutrelle.

Tout le système de la suspension, du rouleau, des étriers, etc., et delà poutrelle elle-môme, fut, à l’aide d’un poids additionnel, amené à former une charge totale exacte = 50 kilog. ; puis successivement, avec précaution, j’ai fait poser sur le plateau des poids successifs de demi-heure en demi-heure, de manière à obtenir les charges totales successives = 200k, 300k, 400k, 500k et 600k.

Afin de rendre visible le double phénomène d’extension à la convexité et de refoulement à la concavité, j’avais pratiqué dans la face supérieure de la pièce une rainure longitudinale m et une rainure symétrique m' le long de la face inférieure, et j’avais engagé dans chacune de ces rainures à section trapézoïdale deux languettes de même forme très-minces II, l'V, du môme bois que la pièce, bien frottées de savon sec et débordant les abouts de la pièce de 0n,.10 environ do chaque côté.

Cette pièce étant d'abord posée librement et sans charge sur ses appuis, j’ai fait marquer sur les languettes, par des traits d’un crayon très-fin, les affleurements nn, n'n' des abouts de la pièce sans charge, c’est-à-dire les quatre (races «, n, n', n' des plans alors verticaux de ses faces extrêmes; puis l’on a commencé à charger.

A mesure que le solide a fléchi, on a vu alors distinctement les traits nn marqués sur la languette supérieure déborder de plus en plus vers le dehors les arêtes oo de la pièce qui étaient d’abord en coïncidence avec ces traits; — et, au contraire, on voyait les traits n' n' marqués sur la languette inférieure rentrer de plus en plus vers le dedans, et s’éloigner des arêtes o' o' avec lesquelles ils coïncidaient d’abord.

En fait, les languettes étant fort minces cl très-libres dans leur rainure respective, les chemins parcourus par les traces n,n,n',n'f qu’elles portaient, n’étaient qu’une apparence, et c’était évidemment les arêtes oo et o'o' qui avaient parcouru ces chemins. Les arêtes supérieures oo, oo, s’étaient donc rapprochées , ce qui démontrait une compression à la face concave; et les arêtes inféricu-

res o'o',o’o', s’étaient éloignées j ce qui démonlrnil l 'extension de la partie convexe et dès lors l’existence d’une surface neutre située quelque pari entre les lames supérieure et inférieure du solide.

Quant aux valeurs de l’extension et de la compression, j’ai trouve sous la charge totale de 600 kil. agissant au milieu de la

pièce, savoir :

Flèche = 0". 01533

Extension absolue e de la face inférieure = 0“. 001 95

Compression absolue c de la face supérieure. . . = 0ra.0012

Ainsi, sous la charge de 600 kil., la compression n’a pas atteint les deux tiers de l’extension.

On pourrait très-facilement adapter des verniers (p. 953) à tout appareil de ce genre, et mesurer avec beaucoup de précision l’amplitude des extensions cl des compressions des pièces fléchies (*).

30. Situation de la surface neutre d’un solide fléchi, dans le cas où l’on admet la septième hypothèse (fig. 1, pl. CVIII).

ABC Destune lame que nous supposerons verticale, très-mince, comprise entre deux plans parallèles au plan de la flexion qu’cllo conserve sous l’influence des forces extérieures P, Q et R.

acb est Y axe neutre do cette lame, TP et VQ sont les traces de deux plans très-rapprochés coupant la lame ABCD, et chacun d’eux est perpendiculaire à l’axe neutre aux points S et R où ils coupent cet axe. O est la rencontre de ces plans QV et PT, et OR=p le rayon de courbure de l’axe neutre au point R.

La lame ABCD étant supposée en équilibre sous l’action des forces tant intérieures qu’extérieures qui agissent sur elle, il v a équilibre sur chacune de scs parties et sur APTD en particulier.

Or la force P peut être considérée comme appliquée au point K où sa direction rencontre le prolongement du rayon de courbure p, K étant supposé invariablement lié au système.

Nommant (1 l’angle OKP du plan OK avec la direction de P, et, décomposant cette force au point K, elle fournit suivant K PT normalement à l’axe neutre une composante

P cos. 0 = G (23)

qui est détruite par la résistance que la cohésion du solide oppose au glissement de la partie APTD le long du plan TP, et dont nous ne nous occuperons pas.

(*) Une faute importante s’est glissée dans ic résumé de cette expérience que Al. Morin a eu la bienveillance de m’emprunter (pag. 127 à 129 de sa Résistance des matériaux). Il y élève à Om.OOI7 la compression de la face supérieure qui n’a pas, cependant, dépaaaé 0”1. 0012 : fait qui détruit la conclusion qu’il a émise.

Quant à la composante P sin.O parallèle à la tangente en R à l’axe neutre, elle fait équilibre à la résultante Rc des forces de compression développées de R en T, et à la résultante R„ des forces d’extension que la flexion développe de R en P.

Or ces trois forces en équilibre sont parallèles, et les forces d’extension agissent en sens inverse des forces de compression : doue (page 703) leur résultante étant nulle, on a

Psin.Q-j-Rc — Re = o et Psin.O^zR,, — Re. . . (24)

De plus, l’équilibre exige que la somme des moments des forces, par rapport à un poiut quelconque de leur plan, soit nulle aussi ; mais nous reviendrons tout à l’heure sur cette seconde condition.

Suit d'abord Ax la longueur primitive de la partie très-petite SR de l’axe neutre interceptée entre les deux normales OS et OR = p à cet axe. Cette longueur Ax était aussi celle que possédait la libre quelconque qm avant la flexion; mais, en vertu de cette flexion, cette fibre qm s’est allongée de la quantité absolue mp=z ox, c’està-dire que sa longueur est devenue qp = Ax-j-ox cl qu’elle a subi

ainsi un allongement par mètre égal à — .

Appelant da la section transversale de cette fibre qp et v =Rp la distance de cette fibre à l’axe neutre, l’effort nécessaire pour rendre stable ou permanent l'allongement par mètre qu’elle subit sera (3)

l'.da.Zx E

■ ou — vda

Ax p

car les triangles semblables mp R , SR O , donuent

mp ; SR :: R/> : OR ou

0 2 Ax

Or la résultante R, des forces d’extension n’est rien autre chose

que la somme J de tous les efforts semblables et parallèles exercés

depuis le point R, pour lequel n = o , jusqu'au point P, pour lequel on fait v = », : donc

Rc = vda.

Quant à la résultante Rc des forces de compression, on l’obtiendra de même en faisant la somme des forces de compression exercées depuis le point R où v — o jusqu’à T, point dont la distance a l’axe neutre est représentée par v'. Mais, d’après celle théorie, le module d’élasticité relatif à la compression est supposé précisément égal au

coefficient ou module d’élasticité E relatif h l’extension (§ 11): donc on a

•=ifvia-

d’où R„ — Rc= ^ J jf'vda — J'vda

de sorte que les résultantes R0, Rc, sont , chacune , le produit de

— par la somme des moments , pris par rapport à l’axe neutre des P

éléments de la section sur laquelle elle agit.

Mais le moment de la section totale de la lame, par rapport au même axe, est le produit de cette petite section totale a =/-

par la distance c. de son centre de gravité a 1 axe neutre ; et ce moment av0 est lui-même égal aux sommes comprises dans la parenthèse ci-dessus : donc

fvia -/• da — av0

et (24)

„ . „ E P sm.o =• - <zti„ P

expression qui donnera la distance

«o = sin- 0

de l’axe neutre au centre de gravité de la section a, lorsqu’on connaîtra le rayon de courbure. Cette distance devra être mesurée vers les fibres étendues lorsque 0 sera positif, et vers les fibres comprimées, si 0 est négatif. L’axe neutre passe donc d’un côté à l’autre de la ligne qui enfile les centres de gravité des sections transversales de la lame au point pour lequel 0 — o, c’est-à-dire au point où la normale à l'axe neutre est parallèle à la direction de la force P.

32. Si la force P qui maintient la flexion est sensiblement perpendiculaire à la longueur de la lame , ce qui est le cas habituel dans les constructions, l’angle 0 et dès lors sin. 0 sont très-voisins de zéro, aussi longtemps du moins que la flexion en un point quelconque R de l’axe neutre est très-petite. Alors la distance t>0 du centre de gravité de la section a de la lame à son axe neutre est elle même très-petite.

Si on la suppose rigoureusement nulle, on a Psin.Q=o, et l’équilibre exige alors (24) que la résultante Re des forces d’extension soit égale et opposée à la résultante Rc des forces de compression, et que l'on ait f

en faisant l’épaisseur de la lame = du ou l’élément da de sa section = dv du (figure suivante, § 34).

Celte équation suppose que le centre de gravité de la section de la lame coïncide avec son axe neutre.

33. Valeur du rayon de courbure p en un point quelconque R de l’axe neutre (fig. 1, pl. CVIII).

Nous avons vu (§ 30) que l’état d’équilibre de la partie APTL) de la lame exigeait encore que la somme algébrique des moments des forces d’extension de compression et de flexion fût nulle. Prenant le point R de l’axe neutre pour origine,

P sin. 0 X STR = P x"mR = P p. . . . (35)

sera le moment de la résultante des forces qui maintiennent la flexion, en égalant à p la perpendiculaire mil menée de R à sa direction.

Quant aux moments des forces d’extension et de compression, lesquels tendent tous deux à faire tourner la section PT en sens inverse du moment Pp , on les obtiendra facilement en remarquant que chacun des éléments da de la section de la lame étant soumis

à l’effort — vda passant à la distance t; de l’axe neutre, on a, en

désignant respectivement par r et r' les bras de lever de Rc et Rc ,

r,R, = — J v1 da cl r'Rc = ^-^ v1da. . . (36)

d’où résulte pour la deuxième condition d’équilibre

Or la parenthèse ci-dessus n’est rien autre chose que la somme de tous les éléments de la section de la lame multipliés chacun par

C xoogle

la carré v1 de sa distance v à l’axe neutre : c’est donc le moment d'inertie de la section totale par rapport à ce mémo axe.

Lorsqu’on suppose à la fois des flexions extrêmement petites, la force infléchissante P sensiblement perpendiculaire à l’axe primitif de la lame, l'axe neutre passe par le centre de gravité de sa section, la droite R m=p vient se confondre sensiblement avec la courbe Ro ou avec sa corde x, de sorte qu’en désignant par I le moment d’inertie de la section de la lame pris par rapport à son centre de gravité, par S(Px) le moment de la résultante des forces extérieures qui maintiennent la flexion delà partie A PTD, l’équation (37) devient simplement

et l’on a pour l’expression du rayon p de courbure au point R de l’axe neutre

p=jëjl

d’où

i s;pi) p El

34. Solide dont la tection transversale est constante. Imaginons maintenant un corps solide dont toutes les sections transversales R Z R, Z, sont constantes et qui soildécomposable en lames verticales de largeur égale du juxtaposées, de telle sorte que les centres de gravité respectifs des sections de toutes ces lames soient situés sur une même droite RR, perpendiculaire au plan de flexion.

Cette droite R R, sera la trace de la surface neutre du solide, dans le cas de flexions très-petites et d’une résultante P des forces extérieures sensiblement perpendiculaire à la longueur du solide et agissant sur toute sa largeur. Nous pourrons donc appliquer à l’ensemble de ces lames tous les raisonnements précédents.

Dès lors U étant la largeur du solide à une distance quelconque v de la surface neutre, et cette largeur U embrassant — lames,

chacune de l’épaisseur du , il suffira de multiplier les expressions ci-dessus par ce quotient qui exprime le nombre des lames pour qu’elles deviennent applicables à un solide ainsi décomposablc.

Conservant d’ailleurs les mêmes notations, on aura (33) et (34) pour la valeur des forces d’extension et de compression

R — Uürfe et Rc = ^ J'x$ vdv. . . (40)

et ces quantités seront égales entre elles ainsi que nous l’avons vu (33).

Enfin l’on aura de même (37) et (38)

/ Ue’do-f- J Wdt>

Ces équations sont générales dans les limites et hypothèses indiquées. On en fera facilement l’application lorsque p sera connu, î étant toujours donné par la forme de la section transversale et E

1»ar la nature ou la substance du solide, comme on le verra plus oin.

Si l’on fait El = M, la dernière équation prend la forme

M est alors ce que Navier a appelé moment d'élasticité du solide.

35. Travail dépensé sur la partie A PTD de la pièce pour produire me petite flexion. Considérons maintenant la figure l de la planche CYIII comme le profil d’une pièce dont la section transversale est donnée par la figure cijointe.

ü dv étant la section de la couche du solide parallèle à la surface neutre, et qui est située à une distance quelconque v de cette surface RR,, et Sx l’allongement qu’elle subit, l’effort t qui* rendrait cet allongement stable est (3) et (26)

Mais, pour allonger ou raccourcir cette couche de Sx, il faut (6) dépenser un travail

E.Ax.ü , , ou ■ rac

donc, pour allonger et raccourcir toutes les couches de la section TP, le travail à dépenser sera la somme de toutes les quantités semblables ou

E. Ax

f Vv'i, U v*d v

:*lAx.

car la parenthèse est le moment d’inertie i de la section constante du solide. Or, l’équation (39) donne la relation

Faisant cette substitution dans (45), il vient pour le travail dépensé sur la section TP située à la distance x