RI
ct H = i®f!F. . . . (58)
Substituant ces valeurs (56) (57) ct (58) de P et de R, dans les équations (48) (50) et (52), on obtient pour l’expression des travaux respectifs Tp ct T en fonction des chemins parcourus par les points d’application de P et de R :
T 3Eiy>
. f et T = 3EILX1=“F
et enfin, lorsque l’effort R est appliqué au milieu de la pièce T=«EiF;=HF (6o)
38. Si l’effort R, capable de maintenir la flèche F, était, dès le commencement de la flexion, remplacé par un poids égal à R et libre de descendre avec le milieu de la pièce, le travail
48 El
dù à la descente de ce poids de la hauteur F serait le double de celui (52) qui serait rigoureusement nécessaire pour produire la flexion F. Donc, après avoir produit celte flèche, il conserverait une force vive capable de déterminer un nouvel accroissement de flèche égal à F ; mais cet accroissement ne pouvant persister, puisque R est seulement capable de maintenir la pièce fléchie de F, il naîtrait autour de la position de l’axe neutre correspondante à F une série d’oscillations analogue à celle que nous avons étudiée, §§ 22 et suivants. Les ébranlements du sol produisent sur les poutres des planchers chargés des effets de ce genre.
39. Equation de l’axe neutre d’une pièce fléchie , de section constante. L’équation (39) nous a donné pour la valeur p du rayon de courbure en un point dont l’abscisse esta; {fig . 1, pl. CYIII)
1 £(Px)
P El r
Au point n pour lequel le bras de la force P qui maintient la pièce fléchie est (a — x) : on aura donc
I P(« — x) p El
le point c de l’axe neutre par lequel passe la direction de l’effort R étant pris pour origine des coordonnées et l’axe des abscisses xx' parallèle à la longueur de la pièce avant la flexion.
Or l’expression générale du rayon de courbure au point n d’une courbe qui a x et y pour coordonnées est (pag- 133)
rf J*
— exprime d’ailleurs (pag. 429) la taDgcule de l’angle formé
d CD
avec l’axe des abscisses par le prolongement de l’élément de la courbe situé en n ou qui a x et y pour coordonnées. La théorie supposant toujours les flexions extrêmement petites , cet angle sera extrêmement petit ; il en sera a peu près de même do sa
tangente, et dès lors le carré de cette tangente sera à for-
tiori tellement petit qu’il pourra devenir négligeable devant 1 ; ce qui permettra de réduire l’expression générale du rayon de courbure à
dx'
d’où
1 £Vy
p dx'"
et de transformer (61) en
d'y P fa — x)
dx' El
Intégrant une première fois l'éqnation ci-dessus, appelant 0 l’angle formé par la tangente à l’axe neutre, à l’origine c, avec l’axe des
abscisses et tang. 0 étant dès lors la valeur de — au point c , il
vient :
^ = |j(aaî-|.,)+tang.9 (64)
Intégrant une seconde fois, on a pour réquation approchée de la partie de l'axe neutre comprise entre c et K.
P Ta as1 x*l . . „
y=iïl"F~6j + :clang-0 ^
Procédant absolument de la même manière à l’égard de la partie cb de la pièce, x' et y' étant les coordonnées courantes de celle partie pour laquelle tang. 0 devient négative, on obtient d’abord :
puis, pour Véquation de cette partie de üaxe neutre :
El
Gj
x' tang. 0,
de sorte que, tant que a et 6 pourront être considérés comme sen-
siblement égaux aux abscisses X et X' des points extrêmes a et b
de l’axe neutre, on aura pour les ordonnées de ces points
Y =^-fatang.9 et Y' = ^A — b tang. 0. (68)
O hl O t. I
lang.Q deviendrait nulle, si l’une des parties AM ou BM de la pièce était solidement encastrée.
40. Si les extrémités de la pièce portent sur deux appuis fixes, les forces P ctQ sont les réactions de ces appuis, et l’on a évidemment alors
d’où Y — Y' = 0= "~rT~+ (« + *) tang. 9
or, l’égalité des moments donne PL =Ri> et QL = R a d’où P«s — Q b' — R a b (a — b). . (70)
il en résulte, pour la valeur de tang. 9 à cause de (a -f- é) = L
tang. 9 =
Qi* — PaJ Rio (6 — a)
3 El L
tangente qui devient nulle, lorsque b = a.
4t. Inclinaison des éléments extrêmes de l’axe neutre sur la direction primitive xx' de cet axe.
a et p désignant respectivement les angles des éléments extrêmes a b de l’axe fléchi avec l’axe des abscisses, l’équation (64) donne, par substitution
tang. a — tang. 9 — (72)
et l’on tire de même de l’équation (66) •ang. P + tang. 9= |—
substituant la dernière valeur (71) de tang. 9 dans les équations (72) et (73), il vient, après les réductions indiquées (70), pour les tangentes cherchées :
tang. a =
Ra6(a-j-26) 6 E IL
et tang.jï:
R a 6(6-)- 2 a) ^ OEIL
lang. a. I. -f- 6
tang. [3 L a
et si
: h , tang. * :
l“6?=iïïïi
42. Pour déterminer le point m oti la tangente d Vaxe neutre est parallèle à l’axe des abscisses, c’est-à-dire à la direction primitive
• • d yl
de l’axe neutre avant la flexion, il suffira de faire - — = 0 dans l’c-
dxl
quation (66) , d’y substituer pour lang. 0 sa valeur tirée de (71), d’y exprimer Q en fonction de R (70) et enfin de la résoudre par rapport à x', ce qui donnera pour l’abscisse du point cherché
x'-f>±\ //|(fc + S«). (75)
abscisse x' qui devient nulle pour b = a
Nous allons indiquer maintenant quelques applications générâtes des méthodes qui précèdent et qui contiennent implicitement la solution des questions pratiques relatives à l’extension, à la compression età la flexion des solides.
43. Pièce ABC dite encastrée et chargée sur toute sa longueur de p kilogrammes par mètre courant.
Comptons — r les coordon- ~
nées de l’axo C
neutre à par- — p tir de la sec- — 'lion d’eneas- ~~~ f t renient passant par B, -J-
et soit « la
longueur de la partie qui n’est pas encastrée.
Prenons un point quelconque N de l’axe neutre, la portion NA de cet axe porte un poids p (a — x). Ce poids peut être considéré comme réuni au milieu de N A , son moment par rapport à la section verticale passant par N est donc
Ce moment est égal à la somme des moments des réactions élasti-
ques de cette mémo section N, et cette somme (39) est pétant le rayon de courbure de l’axe neutre au point N. Mais (62) on a par approximation - = ; donc
dx' 2
Intégrant une première fois en remarquant qu’à l’origine x = 0 , y = 0 et tangente =— = 0, puisque l’on suppose la partie B C encastrée, c’est-à-dire jouissant d’une rigidité parfaite, il vient :
dy ?[<**—(<* — *)’]
dx CEt
44. Equation de l’axe neutre. Intégrant l’équation ci-dessus entre ® = 0 et x = x, il vient pour l’équation de l’axe neutre, à partir de la section d'encastrement B
45. Flexion du point extrême A. On obtiendra évidemment la quantité Y dont le point A s’abaisse en mettant la valeur a de son abscisse à la place de x dans l’équation (79), d’où
relation simple qui permet de régler les dimensions de la pièce, de manière que son point extrême ne s’abaisse que d’une quantité déterminée.
46. Si l’on compare cet abaissement à la déflexion qui a été déterminée (68), on voit que, lorsqu’une charge est uniformément répartie sur la longueur d’un solide encastré par une extrémité, la flexion de l’extrémité libre est précisément celle que causerait un
effort P égal aux - de la charge pa, et qui serait appliqué à cette
extrémité : remarque qui permettra d’introduire facilement l’influence du poids propre du solide dans les problèmes précédents.
47. Inclinaison de l’élément extrême A de l’axe neutre sur l’horizontale. a étant l’angle formé par cet élément avec l’horizontale,
tang.a est l’inclinaison cherchée. Or lang.a est la valeur de —
au point A dont l’abscisse x est a : il suffit donc de faire ces substitutions dans l’équation (78) pour obtenir
pa *
C’est l'inclinaison que prendrait l’élément extrême s’il était soumis à un effort unique égal au tiers de pa (72).
48. Pièce de longueur 2a= L supportée d ses deux extrémités j et chargée uniformément de p kilogrammes par mètre courant.
"•jN--
—Or
Prenons l’extrémité A pour origine des coordonnées d’un point quelconque N de l’axe neutre. La partie AN de la pièce porte uu poids px qui peut être considéré comine applique au milieu de
NA, ce qui donne — pour le moment avec lequel la charge
ferait tourner NA autour de la section N et de haut en bas; mais la réaction de bas en haut du point fixe A est la charge pa qu’il porte et son bras de levier par rapport à N est ce ; son moment est donc =( — pax). Egalant cette somme algébrique de moments au moment des forces élastiques dévelqppées dans la section N, il vient (62)
em eï — = —
P dx 1 2
■pax
Intégrant depuis x—x jusqu'à x—a. en observant qu’à cette dernière limite la tangente = o, puisque y atteint évidemment sa valeur maximum Y pour le milieu C de la pièce, on a
Ej£=s
49. Equation de l’axe neutre. On l’obtiendra encore en intégrant (83) entre les limites x=x et xz=za, ce qui donnera pour l’équation de la moitié de l’axe neutre
50. Plus grande dé flexion ou flèche Y de la pièce. On obtiendra évidemment celte flèche en faisant x=a dans l’équation ci-dessus, donc
v 5 P a* 24 * El
4 8 Ei
en faisant R = la charge totale 2pa,- ce qui montre que la flèche
d'une pièce uniformément chargée est la même que si les g de la
charge totale étaient réunis en son milieu (58), et permet d’introduire facilement l’influence du poids propre des solides dans les problèmes.
5 1 . Inclinaison sur l’horizon des éléments extrêmes A et B de l’axe neutre. Prenant toujours a pour représenter l’angle de l’élément A avec l’horizon, tang.a sera l’inclinaison cherchée ou la valeur
de^p dans l’équation (83) lorsque l’on y fera x — O; donc tang.a=-^rj (86)
C’est l’inclinaison que prendrait l’un et l’autre élément extrême si un effort unique égal au - de la charge (2po) uniformément
répartie agissait seul au milieu de la pièce (74).
J’en ai dit assez, je l’espère, pour que les ingénieurs à qui celte théorie inspire confiance puissent facilement en faire l’application aux cas particuliers de leur pratique. Il leur suffira alors
d’introduire dans ces formules générales, à la place de I , le moment d’inertie de la section constante du solide, et le nombre E ou le module d’élasticité qui convient à sa substance, après l’avoir toutefois déterminé eux-mêmes à l’aide d’observations directes sur les matières mêmes qu’ils emploient. On verra plus loin à quelles erreurs on s’exposerait parfois en prenant les valeurs de E parmi les moyennes que donnent les tables des formulaires.
53. Moments d’inertie I. Les moments d’inertie I dont il est ici question ne doivent pas être confondus avec les moments d’inertie de masse qui ont été déterminés page 1162. Bien qu’il soit facile de passer des uns aux autres, j’épargnerai ce calcul pour les cas que l’on rencontre habituellement, ou a
Section rectangulaire dont h est l’épaisseur et / la largeur 1 = —
Section carrée dont le côté est c, et quel que soit l’angle que les côtés fout avec l’horizon
Section circulaire de rayon r : I —
Section triangulaire pouvant se décomposer en deux triangles rectangles dont la base commune est b et la hauteur respective h, savoir :
Quand la base est horizontale,
Quand la base b commune est verticale.
Tuyau cylindrique dont le rayon extérieur est R cl le rayon du vide intérieur est r
Tube rectangulaire
mmmm
Fl
Enfin on emploie beaucoup aujourd’hui une poutre dont M. Hodgkinson a, le premier, montré tous les avantages et dont la forme générale est indiquée ci-dessous. L’expression théorique du moment d’inertie par rapport à l'axe qui passe par son centre de gravité est
1 Ja a1 4- B A2 + C c2
1 rB(6 + c)-A(a + c)l
ai
expression dans laquelle A est l’aire du rectangle supérieur, B celle du rectangle inférieur, C celle du rectangle qui réunit les doux premiers; a,b,c les hauteurs verticales respectives de ces rectangles, et S la section totale A-J-B-f-C de la poutre.
Lorsque les épaisseurs ou hauteurs a et b seront très-petites par
rapport à c, on pourra négliger a et b dans les deux derniers termes
et il viendra
| ifArf+JW+w]
1 I c’[*AB + AC + BCl
Et enfin, si les rectangles supérieur et inferieur ont des bases égales et des hauteurs égales, on a
Ce»
54. Essayons maintenant de soumettre la théorie de la résistance des matériaux au contrôle de l’expérience. Les anciennes observations que nous avons résumées à l’article Fer et Fonte indiquaient déjà, quant à ces deux substances, quelques discordances assez importantes entre les faits et les hypothèses fondamentales (§§ 1 à il). Nous allons voir, à regret, ces discordances non-seulement confirmées en principe, mais encore étendues, amplifiées par les observations et les études si célèbres aujourd’hui des commissaires anglais.
55. On sait que en 1847, sous l’administration de Lord Grc y, le Gouvernement anglais créa une commission spécialement chargée d’étudier les questions auxquelles pouvait donner lieu l’emploi du fer et de la fonte dans la construction des chemins de fer. Cette commission fut composée de Lord Wrottesley, du professeur Robert Willisj du capitaine au corps des ingénieurs Henry James, des ingénieurs civils George Rennie et William Cubilt , et enfin de M. Eaton Hodgkinson , depuis longtemps connu par les expériences grandioses et sévères dont il avait antérieurement publié les résultats, et dont la Commission elle-même se complaît à reconnaître les éminents services par une mention spéciale. C’est au rapport de cette Commission illustre, publié en 1849, sous le titre de Report of the commissionertj par les soins de son secrétaire M. le lieutenant aux ingénieurs Douglas Gallon, c’est aussi aux Recherches expérimentales qui appartiennent en propre à M. Eaton Hodgkinson ( experimental Researches , 1846) que j’emprunte les résultats d’expériences que je vais présenter, et que j’ai tous calculés avec les plus grands soins.
J’indique d’ailleurs les pages de renvoi des deux ouvrages originaux, afin que les ingénieurs qui désirent, avec raison, remonter aux sources, puissent le faire plus facilement.
5G. Au.ongemejît ou vku ( Report , page -19).
Le fer est de la meilleure qualité. — La barre essayée est ronde. — Son diamètre =: 0m.01313 ; sa longueur primitive L — 14'". 98698; sa section A = 0""”. 0001 353855. Elle a été chauffée au rouge avant l’essai, puis refroidie lentement.
ts.
Charges par mitre carré
Allongement par mitre = .
Elongation* permanentes par
rT xt
OU j
réels.
supposés
proportionnel*.
mitre.
kit.
ru.
Perceptible.
Id. après 1 heure.
57. Défaut d’élasticité. Ce premier tableau dévoile dans le fer une affection que M. Ilodgkinson a désignée sous le nom de défaut d'élasticité, et qui consiste en ce que, dès les plus petites charges par mètre carré, il se décèle une élongation permanente dont l’étendue par mètre de longueur est portée dans la 5m* colonne.
Ainsi, lorsque la barre est déchargée, elle ne reprend pas sa longueur primitive; ot, pour me servir de l’expression consacrée par la théorie, la barre atteint sa limite d'élasticité (§ 2) sous les plus faibles charges, et dès lors bien avant d’ètrc soumise à l’effort de 12 à 14 kil. par millimètre carré de section que l’on regardait naguère comme celui qui correspondait à cette limite. Cet effet d’élongation permanente n’est pas particulier a cette barre; il s’est constamment reproduit dans toutes les observations de M. Ilodgkinson , souvent à la plus faible charge, et quelle qu’ait été la substance, fer. fonte, bois ou pierre, qu’il ail soumise à l’expérience. Nous verrons tout à l’heure que la compression donne lieu, aussi bien que l’extension, à une variation permanente de la longueur primitive des solides. L' altération de l’élasticité semble être ainsi une conséquence nécessaire de l’action des forces même les plus faibles sur les corps solides, une loi de la nature physique de ces corps précisément contraire à l’hypothèse de la théorie (§ 2). M. Hodgkinson a démontré et proclamé cette loi, dès 1843, devant l’association britannique pour l’avancement des sciences (voyez ses Researchcs , page 411 et autres).
58. Rapport des extensions aux charges. La troisième colonne du tableau montre, avec évidence, que les quantités dont le fer s’al-
longe sous des charges successives croissent plus rapidement que ces charges. Ce fait est confirmé, sans aucune exception, par toutes les expériences consignées dans le Report. J’ai indiqué dans la quatrième colonne les valeurs successives que les allongements par mètre auraient dû prendre, si le rapport déduit de la plus faible charge demeurait constant.
59. Module d'élasticité E du fer relatif d l’extension (§ 7, sixième
hypothèse). Les extensions par mètre - croissant plus rapidement
Ij
que les charges — par mètre carré de section, il est clair que le
