AU = 0“. 1269977 BE + ND

Charges l<

au

milieu.

Flèches

correspondan-

tes.

Flèches

permanentes

Flèches F.

Flèches

permanentes.

ni.

Ql.

ni.

Visible.

Invisible.

Visible.

Rupture au

raomentoù la

flèche extrè-

nio était =

Rupture , .la flèc atteiul 0“.I27.

AU=o

Tn

s est détaché de rieure.

te extrême ayant Jn coin de la forme 07*2 CD =

la nervure supé-

83. Conclusions. Il semble résulter de cet exposé : — que, contrairement à ce que prescrivait d’Alembert , « la géométrie, qui ne doit « qu’obéir à la physique quand elle se réunit avec elle, lui commande « quelquefois, » ici, — que l'élasticité des corps solides paraissant altérée dés les plus faibles efforts, l’expression limite d'élasticité n’a plus de sens et doit disparaître, avec le temps, du langage de la science; — que si, sans avoir à redouter de trop fortes erreurs, la théorie peut encore prendre pour base la proportionnalité dos efforts aux variations de longueur dans les solides, il convient que ces variations et ces efforts soient encore plus limités qu’on ne l’admet généralement; — qu’il y a lieu surtout de distinguer la proportionnalité qui se manifeste dans le cas de l’extension de celle qui convient à la compression, et de faire dés lors deux quantités distinctes des modules E et C d’extensibilité et de compressibilité. Il en résul-

1444 REVÊTEMENT. — RIIUMB DE VENT. — RICOCHET, tcra évidemment que l’axe neutre d'un solide fléchi ne passera plus par le centre de gravité de sa section transversale, et que les formules relatives à la flexion deviendront ainsi un peu plus compliquées; elles n’en seront que plus exactes, et la pratique, avec raison, tient plus à la vérité qu’à l’élégance des résultats. Enfin la théorie importante de la rupture, qui comprend la recherche des solides de plus grande résistance, est à refondre tout entière. C’est aux hommes dont le nom fait autorité dans la science qu’il appartient d’imposer ces reformes, sans lesquelles la théorie de la résistance des solides ne saurait prétendre, désormais, à la confiance des praticiens.

REVÊTEMENT. Voyez l’article Murs, à la page 1194.

RIIUMB DE VENT , ou encore rumb de vent (les marins prononcent ron de vent). C’est un angle de 11° 15’ embrassant dès lors la 32e partie de la circonférence de l’horizon. Huit rhurabs forment donc un angle droit. M. Parisot pense que rhumb est une corruption de rhombe, lozange, cette figure géométrique étant celle qu’on traçait autrefois sur les cartes pour y figurer l’aiguille d’une boussole.

RICOCHET. Yoygz Pénétrations , pag. 1249.

ROMAINE. Voyez Balances, pag. 109.

ROTATION. Un corps d’une forme quelconque tourne autour d’un axe fixe A, en vertu de forces /, appliquées à des di-

stances respectives de l’axe fixe désignées par r1rîrJ.... Chaque force agit tangenticllcmenl au cercle décrit par son point d’application, et le plan de ce cercle est perpendiculaire à l’axe fixe. Nous supposerons , en outre , que cet axe A est vertical.

En vertu de l’équivalence des moments , la somme algébrique des moments de toutes les forces f peut être remplacée par le moment FR d’une force unique F agissant à une distance R de l’axe fixe, moment qu’on déterminera par la relation

R — fl ri + ft rs + fs r3 s (/r) 0)

eu ayant égard aux signes des moments partiels.

Soit supposée nulle la vitesse angulaire id0 dont le corps était animé au moment où les forces ont commencé à agir, appc-

Ions doi l’accroissement de vitesse angulaire que lui communique à chaque instant dl la force F, chacune des petites masses m, roa»i3...

m prenant un accroissement de vitesse p,dw, parfu>, p3</o> ,

p do> proportionnel à sa distance p à l’axe opposera à l’accélération

pdw , ... . mpdo) , . -,

— - une force d inertie — — — dont le moment par rapport a 1 axe A sera — ■**--. La somme 2 de tous les moments semblables étendue

dt

à toutes les parties matérielles du corps ou — 2 (mp1)' sera donc

égale au moment des forces f, en vertu du principe de l’égalité entre l’action et la réaction, donc

du)

-ï(Wp«) = E(fr) = FR.

' 2(mp*)

Ainsi, V accélération angulaire — s'obtiendra en divisant le moment

résultant F R des forces mouvantes et résistantes par le moment d’inertie 1 = 2 (m pJ) de la masse tournante (pag. 11C0), tous les moments étant pris par rapport à l’axe fixe.

Cette accélération serait nulle, et le corps tournant conserverait sa vitesse angulaire primitive, quelle qu’elle fût, si Ton avait

FH=Ar, + (i r„ -f-/i r3. . . . = 0 (4)

c’est-à-dire si la somme des moments des forces mouvantes était égale à celle des moments des forces résistantes.

Si au contraire la première somme excède la seconde d’une quantité constante, le corps tournant acquerra en un nombre t de secondes une vitesse angulaire w que l’on obtiendra en multipliant la valeur (3) de l’accélération angulaire par ce nombre t

L(mp*)

et il est clair qu’en vertu de son inertie, le corps tournant conservant la vitesse angulaire quelconque w0 qu’il pouvait avoir au moment où les forces / lui ont été appliquées, il jouit en général, au bout du temps t, d’une vitesse angulaire totale = w w0- Equation du travail. Soit ds le petit arc décrit à la distance R de Taxe de rotation par le point d’application N de F = — pondant

le petit temps dt, la vitesse angulaire du système ayant à cet instant la valeur quelconque w; — vitesse du point N aura encore pour son expression uR , d’où

d s = R te dt (6)

multipliant par ces petits chemins l'expression de F tirée de l’équation (3), il vient pour le travail élémentaire des forces constantes f

F ds — ui dm £ (m p*) (7)

de sorte que, si Ü est la vitesse angulaire acquise par le système, pendant que le point d’application de F a décrit l’arc quelconque S, on a

FS=jï(m?>) (8)

Ainsi le travail résultant FS est numériquement égal d la moitié du produit du moment d’inertie du corps tournant par le carré de la vitesse angulaire û qu’il a acquise.

Force vive de rotation. Si l’on remarque que la vitesse v d’une petite masse quelconque m du corps tournant est le produit top de la vitesse angulaire to par sa distance p à l’axe; que dès lors sa iorcc vive mv1 égale mu'p1, et que la somme de toutes les forces vives du système £ ( m v1) = to1 £ (m p1), on voit d’une part que la force vive d'un corps qui tourne est le produit du carré de sa vitesse angulaire par son moment d’inertie pris par rapport à son axe de rotation ,de l’autre que, dans les mouvements de rotation comme dans les mouvements de transport parallèle, le travail résultant de toutes les forces appliquées au corps mobile est numériquement égal à la moitié des forces vives qu’il a acquises.

Si le mobile était animé à la fois d’un mouvement de transport parallèle et d’un mouvement de rotation, le travail des forces qui l’animent devrait évidemment être égalé à la moitié de sa force vive de translation plus la moitié de sa force vive de rotation. C’est le cas des corps qui roulent sur les plans inclinés, voyez pag. 1279.

Si l’on suppose maintenant que l’axe A du corps tournant est horizontal, et que le corps n’est soumis qu’à sou propre poids P, le moment résultant FR (3) deviendra le produit du poids P du corps par la projection horizontale, à l’instant que l’on considère, de la distance D de son centre de gravité à l’axe fixe. Ainsi, a étant l’angle de D avec la verticale à cet instant, on aura pour l’accélération angulaire (3)

du> PDsin. a MDjsin.i

et l’on retombera sur le cas étudié à la pag. 1113.

Enfin, si le corps se réduit à une seule molécule matérielle dont la masse m = - agit à la distance L d’un axe horizontal, on a pour l’accélération angulaire, variable avec l’angle a

m g Lsin.a

mT*

g Mil. a

et l’on revient au cas du pendule simple qui a été traité page 1251.

Applications. La formule (8) donnerait immédiatement les conditions du travail de la machine ci- —

jointe, en y remplaçant FS par le Os.

produit du poids P multiplié par la / ] \\

hauteur II dont il est descendu : ainsi / l’on aurait / /

PII = -S(mP>). .

ü^i/JEK

V ï(mp')

„ü*S(mp')

en observant bien que lu moment d’inertie 2 (mp*) doit comprendre celui du poids P par rapport à l’axe fixe, comme si ce poids était appliqué en B.

Si l’on voulait obtenir la tension T du cordon pendant le mouvement, on remarquerait quo le centre de gravité du poids se meut alors comme un corps libre soumis à la force (P — T). L’accélération pendant son mouvement de transport parallèle est donc

dv <jr (P — T) Force r du

/f 1 P masse rt t ' ^

d’où, pour la tension T du cordon, en faisant M = -

dt ' J

c’est-à dire que la tension est égale au poids P diminué de sa force

d’inertie ou de la (orce avec laquelle il résiste à l’accélération : or nous avons, en vertu de la relation (3)

d tü Pr

77 ~ £(mp*) (15)

Substituant dans l’équation (14) celte valeur de l’accélération angulaire de la machine, on a encore

Mr» )

2(mp»)J

forme sous laquelle on reconnaît plus facilement l°que la tension T du cordon est constante, puisqu’elle ne dépend que de quantités qui ne changent pas ; 2° que pendant le mouvement, la pression sur l’axe , résultante W -f- T du poids W du volant et de la tension du cordon, est toujours moindre que le poids total du système W -j- P.

Si l’on supposait maintenant qu’un poids p = m g agit à la circonférence du volant pendant qu’un autre poids p' = m' g agirait à la circonférence de l’arbre pour faire tourner le système en sens contraire, la formule (3) nous donnerait encore pour l’accélération angulaire

dw g(mc — m'e') ne — v' e'

— = — = - — fl 7)

dt S (m p*) £ (m p*) ' '

à cause de

FR — pc — p' c' = g (me — m'e ’) ,

et remarquant que

comprend ici le moment d’inertie du volant dont le poids est P=M <7, plus celui du poids p plus celui du poids p'.

On aurait donc pour la vitesse angulaire «0 acquise par le svslèmc au bout de t secondes

(me — m' c1)

L’équation (8) du travail devicndrail.cn y faisant FS =ph —p’h', p h — p' h' = i w1 S (m p1) = i o,1 [M A1 -f m c1 + m'e’*]. (1 9)

RODES HYDRAÜLIQUES. 14*9

c’est-à-dire que le travail des poids est égal à la moitié de la somtne des forces vives de toutes parties mobiles du système.

Quant aux tensions T, T’ des cordons, on les obtiendra facilement en raisonnant comme dans le premier cas; on trouverait

cd ta „. ... c' du>

T = p — m — et T' = p’-f-m — . . (20)

ou en remplaçant l’accélération angulaire par sa valeur (17)

les tensions T et T' sont donc constantes.

Appelant II la pression de l’axe sur son coussinet 'pendant le mouvement, on a, P étant le poids du volant,

et pc étant plus grand que p'c', le dernier terme sera toujours soustractif et la pression sur le coussinet toujours moindre que la somme des poids P-j-p-f-p' du système. Le coussinet est ainsi déchargé, pendant le mouv ement, de la différence des forces d’inertie des poids mobiles.

En faisant c' — c dans la figure et dans les formules (17 à 22), on obtiendrait la théorie entière de l’ingénieuse machine d 'Alwood, déjà esquissée à la page 803.

Voyez encore l’article Centre spontané de rotation, pag. 261.

RODES ni'DKADLlQDES. Quelles que soient les dispositions et les formes des roues hydrauliques, l’action de l’eau qui les anime présente en général les circonstances suivantes ou quelques unes d’entre elles :

1. Un certain poids P de liquide, dont nous désignerons toujours

la masse par M = — et le volume par Q, sort dans chaque seconde

du bief supérieur à la roue, et descend, après avoir agi sur celle-ci, jusques au bief qui lui est inférieur.

11 désignant la distance verticale des positions inférieure et supérieure du centre de gravité du poids P, le produit PH est le travail absolu de la chute en une seconde, et dès lors, la limite supérieure du travail qui puisse être transmis à la roue dans le même temps.

2. Avant que la masse M atteigne le système de la roue ( pl . CX), on la laisse souvent descendre d’une certaine hauteur h et acquérir ainsi une vitesse V plus grande que la vitesse v du point de la roue

qu’elle va choquer. Celle vitesse d’affluence V ne pourrait être égale à U vitesse 1/2 gA, duc à la hauteur A, qu’autant que l’on aurait su éviter les frottements et les contractions; mais, en général, la vitesse réelle d'affluence Y sera plus petite que *2 g h, et pourra être approximativement calculée parles formules de l’article Ecou-

lemenl (pag. 567); et la demi-force vive- - V1, avec laquelle le

liquide s’introduit dans le système de la roue, sera moindre que le travail PA de la gravité sur le poids P.

3. Parvenue au contact delà palette de Y aube ou de Yaugel, la masse liquide perdra à leur rencontre, en bouillonnements et tourbillonnements, une vitesse w que nous déterminerons pour chaque cas particulier, et qui dépendra de l’intensité de la vitesse d affluence V, de celle de la vitesse o de la roue, et de l’angle a que ces vitesses forment entre elles, ou des angles À et B qu’elles forment avec le plan de l’aube.

— w* représentera donc généralement la demi-force vive per-

due par l’effet du choc, ou le travail dissipé en ébranlements et en tourbillonnements (pag. 327) ; et comme on admet ici que la vitesse v de la roue ne change pas au moment du choc, w se réduira, en vertu du théorème de Carnot , à la seule vitesse que le liquide a perdue.

4. Après le choc, il pourra arriver que la masse M quille la roue et si u est la vitesse absolue qu'elle prend alors dans l’espace, elle

emportera avec elle une demi-force vive - - u1 qui sera désormais entièrement perdue pour le système..

5. Enfin, la forme, la grandeur cl la position de la roue (pf.CX), sont le plus souvent telles que, entre son point d’introduction et son point de sortie, le centre de gravité du poids P du liquide introduit parcoure, en pressant les aubes, augelsou palettes, un certain chemin dont nous désignerons la projection verticale par A', cl développe ainsi un travail moteur PA'.

6. Supposant toutes ces diverses circonstances réunies et le mouvement de la machine parfaitement uniforme, appelant F la résistance constante tangonticllc qui s’oppose nu mouvement de la roue et que l’on suppose appliquée au point qui parcourt circulaircment v mètres par seconde, on aura pour le travail résistant Fe dont la roue est capable, ou pour son effet utile théorique exprimé en kilogrammétres par seconde.

F v = PA' -f X- ~ [ V5 — ic* — u ].

ROUES HYDRAULIQUES. U5i

Cet effet n’égalerait donc le travail absolu P H de la chute d’eau (1) que sous les conditions: 1° (u’ = o) que l’eau sortît de la roue sans vitesse; 2° (w1 = o') qu’il n’y eût aucune vitesse dissipée en ébranlements et tourbillonnements, c’est-à-dire qu’il n’y eût pas de choc; 3° (V*=: 2 g h) qu’il n’y eût ni iroltemcnl du liquide, ni contractions.

7. Nous n’avons plus, pour former l’équation particulière applicable à chaque système, qu’à introduire dans l’équation générale (1) les valeurs de A', V, u et te, qui lui sont propres ; et la recherche de la vitesse perdue u> et do la vitesse absolue de sortie u pouvant être facilitée par la détermination delà vitesse relative W; nous allons d’abord nous occuper de celle-ci.

8. I)e la vitesse relative W. Soient (fig. 2, pl. CX) b a un petit élément plan d’une palette ou d’une face d’auget, M H la grandeur et la direction de la vitesse uniforme v dont il est animé au moment où il est atteint par la masse liquide ; soit M D la grandeur et la direction de la vitesse absolue V de celte masse, a l’angle aigu compris entre les directions de V etdev. Il est bien évident que les effets du choc ne dépendent que de la vitesse de l’un des corps par rapport à l’antre corps, et que les actions et réactions mutuelles de la palette et du liquide no seraient en rien altérées, si ces deux corps étaient entraînés dans l’espace d’un mouvement commun uniforme en quelque sens qu’il ait lieu. Or, nous n’avons qu’à réaliser celte hypothèse pour obtenir très-facilement leur vitesse relative. Imaginons que, à l’instant du choc, le milieu dans lequel il s’opère soit emporté avec le liquide et la palette en sens inverse du mouvement de celle-ci avec sa propre vitesse 31 II' = — v ; et considérons alors l’élément ba de la palette. Nous voyons qu’ainsi animé de deux vitesses égales et contraires MII et 3VI II', il est en repos dans l’espace. Quant à la masse liquide, elle s’y trouve maintenant animée et de sa vitesse primitive M Ù=\ et de la vitesse M II' du milieu; elle a donc dans l'espace une vitesse absolue W = A E, résultante en intensité et direction des composantes M D et 31 II'. Or, cette vitesse absolue dans l’espace est la vitesse du liquide relativement à la palette, puisque celle-ci y est maintenant en repos. On u donc ( Géom ., B. 32)

W2 = VJ -f»s — 2 V v cos. a (2)

9. On aurait encore pour la vitesse relative W en fonction do ses composantes parallèle et perpendiculaire à la vitesse du point choqué (fig. 2, pl. CX).

W»=ÜC* + (rD2=(MC — MH)*-fCDî=(Vcos.«— 1>)‘+ VUio.'a (3)

Enfin, il est souvent plus commode d’exprimer celte vitesse relative en fonction de scs composantes perpendiculaire et parallèle au

plan (a de la palette ; A cl B étant alors les angles aigus respectivement formés par les directions de V et de v avec le plan de la palette, on a facilement, en décomposant ces vitesses perpendiculairement et parallèlement à ce plan et cherchant leur résultante W,

W* =(Vsin. A — osin.B)1 -}- (V cos. À -f- « cos. B)*. . (*)

= V* + e*-f 2 Vu cos. (A -f B)

= V1 -f- t>a — 2 V v COS. a eu remarquant que A -|- B = 180° — a. d’où cos. (A -f- B) = cos. (180° — a) = — cos. a ;

Si À ou B était obtus son cosinus devrait prendre le signe — dans la formule (A).

Il devient assez facile maintenant d’obtenir la plupart des équations particulières; commençons parcelle des roues à augets, et supposons d’abord que la roue ait un grand diamètre et so meuve lentement.

10. Rouet à augets, lentes (feg 1, pl. CX). On appelle ainsi les roues d’un grand diamètre dont la vitesse à la circonférence extérieure est comprise entre lm et 2® au plus. On admet que les augcts ne sont jamais qu’à moitié remplis. La force centrifuge ayant alors peu d’influence sur le versement des augets inférieurs, on suppose que le liquide descend tout entier jusqu’au point le plus bas de la roue, et h' représente alors la distance verticale de ce point K au centre de gravité du liquide contenu dans le premier auget Mno. Il règne, il est vrai, une légère incertitude sur la vraie position de ce centre de gravité, origine de la hauteur h'. On pourrait l’évaluer approximativement, mais, en vue de simplifier, les auteurs s’accordent à prendre pour la limite supérieure de h’ le point M où la lame d’eau atteint la circonférence extérieure.

11. Ils supposent en outre que le liquide en quittant la roue au point K, y est animé d’une vitesse absolue w égale à celle v de la roue. Celte supposition

manque un peu d’exactitude, en ce que le liquide à la sortie prend généralement ici en coulant sur la face do l’auget, une vitesse dirigée en sens inverse de la vitesse v do la roue, et acquiert dès lors une vitesse absolue u qui diffère de v. Mais cette hypothèse compensant un peu la précédente, on la laissera d’abord subsister.

12. L’eau une fois introduite dans le premier auget et n’en pouvant plus sortir, n’a bientôt plus que la vitesse v de celui-ci ; donc, la vitesse to qu’elle a perdue contre la face de l’augel ou contre son

fond, ou contre le tambour de la roue, est sa vitesse relative tout mtière, et dès lors (2),

u>2 = WJ = Y* -f- c* — 2 V ti cos. a

13. Mettant ces diverses valeurs dans l’équation (1), il vient >our l’expression théorique généralement admise de l’effet utile îpproximalif do ces roues,

F u = P A' + 5 “ [V3 — Y* — »2-|- 2 V o cos. a — c1]

ou F t) = PA'-f- ~ [Y cos. a — e]u (5)

Mais il importe de ne pas perdro de vue les hypothèses sur lesquelles clic est fondée.