SCIAGE. — SÉRIE
24 heures 20 stères de bois cordé en morceaux de 0m.i6 de longueur. Elle exige remploi de deux hommes assistés de deux enfants pour présenter le bois h la scie et donner les huches. Le travail nécessaire pour faire marcher celte scie s’élèverait à environ 45 kilo— grammètres par seconde. Elle fait en 12 heures environ trois fois l’ouvrage d’un scieur à la main. La largeur du trait de scie qu’elle laisse est de 0m,004, celle du scieur à la main est de 0m.002 seulement.
Sciage de la pierre. D’après Navier, le travail résistant mesuré sur la scie s’élève à 295000 kilogrammètres par mètre carré de sur- £aco de sciage pour la pierro de roche des environs do Paris, et à 2069000 kilogrammètres pour le granit. J’ajouterai ici, d’après M. Morisot, le nombre d’heures nécessaire au sciage d’une loise carrée des matériaux suivants, nombre qui, à l’aide des données cidessus, pourra conduire à une approximation des quantités de travail.
Pierre de roche (pierre calcaire assez dure et un peu eo- heures.
quilleusc) 72
Lambourde (calcaire tendre) 4.5
Pierre franche (calcaire moyennement dur) 45
Pierre de liais (calcaire à grains fins) 67
Albèlre des Pyrénées 56
Marbre blanc statuaire 72
Granit gris de Normandie 504
des Vosges 700
Porphyre rouge et vert 1177
SÉRIE. Suite de termes croissants ou décroissants suivant une certaine loi; la suite ou série est dite finie, si le nombre des termes nécessaires pour exprimer la quantité dont la série est le développement est naturellement limité; la série est infinie, si le nombre de ses termes est infini ; elle est divergente tant que ses termes successifs vont en augmentant ; elle est convergente lorsqu’ils vont en décroissant; et la suite ou série diverge ou converge d’autant plus que chaque terme croit ou décroît plus rapidement à l’égard de celui qui le précède. Enfin on appelle, d’après Moivre, séries récurrentes celles où chaque terme dépend de celui qui lo précède.
On réduit souvent en séries les quantités que l’on ne peut décomposer sans reste : tels sont les quotients des termes qui ne sont pas multiples du diviseur, et les racines des quantités qui ne sont pas des puissances exactes. On obtient ainsi des approximations souvent suffisantes. Ainsi, en s’efforçant d’appliquer les régies ordinaires de la division aux quantités suivantes, on obtient les séries :
cette dernière série sera évidemment convergente lorsque x sera plus grand que l’unité.
En poussant quelque division algébrique que ce soit comme on vient de le faire, on parviendra toujours à en exprimer le quotient par une suite infinie de monomes ; et, si la série est convergente, la somme de quelques-uns de ses premiers termes pourra être considérée comme un quotient suffisamment approché dans les applications.
Les extractions de raciucs continuées de la même manière sur les restes successifs conduisent de même à des sérios. Ainsi :
—.JL.
Mais. en considérant les racines comme despuissances fractionnaires (p. 715), on parvient à les développer beaucoup plus facilement que par le procédé de l’extraction, à l’aide d’une autre série trésusuellc, connue sous le nom de binôme de Newton.
Binôme de Newton. Il exprime, en général., le développement d’une puissance quelconque m d’un binôme (*+«)• m étant d’abord supposé entier et positif, on a
fl)
2 fii-2
la série a (m-j-l) termes — 'le dernier terme est le terme général du (n-j-l)*™8 rang — la somme de tous les coefficients = 21”, on trouvera leurs valeurs numériques à la page 355 pour tous les cas usuels.
La même formule servirait encore au développement du trinôme (x-\-a-\-b). On ferait d’abord (a-|-6)=c, on développerait (x-f-c)m, puis on remettrait (a-}- À) à la place de c et l’on effectuerait les calculs indiqués.
m étant toujours supposé entier et positif, on a encore :
mm/ a\m m m m-l m (m — 1) 2 “-2
(x — a)=x [1— -) =x — ~ax + - — — a x
c’est le même développement que celui de (x -j-a)”, à cela près, que les signes des seuls termes de rang pair sont changés, l’exposant de a étant impair dans chacun de ces mêmes termes.
On aurait donc, m étant toujours supposé entier :
ct la série s’arrêtera lorsqu’on parviendra au terme du rang car le suivant contiendrait le facteur (m — m) ou zéro, m étant entier et négatif, on a pour le développement de
Savoir :
(x±a)“ xm ( ’+” 1 * + l .2 x5
exprimant le rang d’un terme quelconque.
L’exposant du binôme étant fractionnaire et égalé— , met n étant premiers entre eux, on a :
j m (m — n) (tn — 2n) a1
cc sont les mômes développements que ci-dessus, en y remplaçant l’exposant m par — . Mais ce développement ne s’arrête pas , parce
que m et n étant supposés premiers entre eux, aucun des coefficients ne peut devenir nul.
Enfin, l’exposant — étant supposé à la fois fractionnaire et négatif, on a pour le développement de
savoir :
j.rtTü+=<
(x±o)“ (xio)”
m(m-(-n) a’ ») (ro-}-2 n) a»
Nous appliquons ces séries générales à quelques cas particuliers qu’on rencontre souvent :
1/ i -1- jp — ■ i — — —
\, 1 ±xl 1 ’+" 2
TTï
p===l -f-2x+3xî-}-4x,-(-. . . . (n-f-l)*0
Enfin on réduit encore une quantité en série en l’égalant à la suite
A4-B.r + Ci’4-Dï34-
adoptée comme forme générale et commune de développement. A, B, C, D, sont des coefficients qui ne doivent en aucune manière renfermer x et dont on détermine les valeurs, d’abord inconnues, par autant d’équations, ainsi qu’on va le voir sur un exemple simple.
Soit proposé de par convention,
développer en série la fraction ■ , on pose
^-pi = A + B*4-C®,+ Dx‘ +-
Multiplianl les deux membres de cette équation conventionnelle parle dénominateur de la fraction et transposant tout dans un seul membre, il vient :
0 = (6A — a) + (A+èB)x+(B+AC)*2-KC-MD)*,-J-. .
et cette équation devant être satisfaite pour toutes les valeurs de x, et même pourx = o, exige que l’on ait
bk— a=0} A+iB=0; B-j-6C=0; C-fiD=0; D+iE=0...
équations d’où l’on tire successivement
On a ainsi pour le développement cherché
- = - ar-f — x2 — - x* 4-.
ainsi qu’on l’a trouvé plus haut. On obtiendrait de même la série récurrente :
1— a — g»' = 1 +3x + ** + 7 + H ** 4- 18 xi +
Suivent quelques séries d’un emploi fréquent :
x étant la longueur d’un arc pris dans le cercle dont le rajon est 1, on a
sin. x = x —
cos. x — i-
273 ~t~ 2. 3.4.5 2 . 3 . 4 . 5 xK x'
. ltin.'x t.3sin.5x . 1.3. 5 sin.’®
xnzsm.x-f + « ï ,■ +
tang.1® . taiig.‘x tang.'x x = taog. x 1 ^ h- • •
séries attribuées à Newton et à Leibnitz.
On trouverait encore pour le carré & de l’arc x en fonction des puissances du sinus de cet arc,
, sin.*® . 4sin.‘x . 4. 6. sin.*® ,
*=*'"•*+— + ÏXT +
et pour la valeur du quart de la circonférence (Wallis, Arithmctica infinitorum).
e étant la base des logarithmes hyperboliques, on a e — 2.718281828459
e — *TiT 1.2^ 1.2.3 ' 1.2.3. 4~ 1 .2. 3.4.5 ~
•='+i+o+rû+r
* I. . x* i x> I- jC I
et si l’on désigne par log. le logarithme byperboliquode a > on a en-
core
1 +a:log. a+ ^ log.2a-t- ^log.’a-f- .
