Si, de l'angle droit d’un triangle rect-

angle, on abaisse une perpendiculaire BD sur JB

l’hypothénuse, elle partagera ABC en deux triangles ABD,BDC rectangles, semblables entre eux et au triangle total ABC, — elle divisera l'hypoihénuse en deux segments AD, DC, , tels que chaque côté de l’angle droit A B C, sera a [ moyen proportionnel entre le srgmeul qui lui xV est adjacent et l'hypothénuse entière ; — la perpendiculaire BD sera moyenne proportionnelle entre les deux segments AD, DC. Ainsi :

ad:ab::ab:ac Tb = adxac

cd : bc :: bc : ac ïïc = cdxac

ad : bd :: bd : dc lFïï= adx dc

ÂB*+BC = ÂC”

et ÂB*: BC':ÂC*:: AD : DC : AC donc:

29. Le carré de l’hypothénuse =* la somme des carrés des deux autres côtés, et

30. Les carrés construits sur les côtés de l’angle droit et sur l’hypothénuse, sont entre eux comme les segments adjacents et l’hypothénuse entière.

31. Si l’on joint par des droites extérieures les sommets des carrés construits sur les côtés d’un triangle rectangle, il en résultera trois triangles extérieurs équivalents chacun au premier.

32. Dans tout triangle rectiligne, le carré d’un côté quelconque =* la somme des carrés des deux autres côtés, moins le double produit de ces deux autres côtés par le cosinus de l’angle qu’ils forment : on a donc, en désignant par A, B, C les angles du triangle, et par a, b, e les côtés qui leur sont respectivement opposés

a' — 6’ + e* — 2 6c cos. A ‘i* = a’ -j-c* — 2a c cos. B c* = a' -J- 6* — 2 ab cos.C

33. Si l’on prend un point quelconque D sur la base BC d’un triangle scalène, on a toujours

Â¥*>< DC -f-ÂCX BD =

Âd’x BC + BC X B X bc

34. Dans tout triangle, les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés h ces angles, et, dans tout triangle rectiligne, la somme de deux côtés quelconques est à leur différence, comme la tangente de la demi-somme des angles opposés & ces mêmes côtés, est à la tangente de leur demi-différence.

33. Soit pris un poiut O quelconque à l’intérieur d’un triangle, cl soient menées de chaque angle A, U, C et par ce point les droites An, Dp, Cm sur les côtés opposés, elles détermineront sur chacun de ces côtés deux segments tels, que le produit de trois segments non contigus sera égal au produit des trois autres

Ap X C” XB”1 = , pCX *BXwA

36. Si d’un point pris dans l'intérieur d’un triangle on mène des perpendiculaires sur les côtés, et si l’on numérote les six segments en suivant le périmètre dans le même sens , les carrés des segments impairs donneront une somme égale à celle des carrés des segments pairs.

37. Les droites menées du sommet d’un triangle aux sommets des angles du carré inférieur construit sur la base interceptent sur cette base le côté du carré inscrit dans le triaugle.

38. Si, par un même point pris sur l’un des côtés d’un angle on mène des perpendiculaires aux deux côtés de cet angle , elles formeront entre elles un angle tel que, si ou le divise eu deux parties égales, la biscctrice deviendra la base d'un triangle isocèle.

39. Si l'on mène h volonté une parallèle à la base d’un triangle, cl que, par les points de rencoutre de celle parallèle avec les deux autres côtés, on mène ries droites aux angles opposés, ces droites se couperont sur un point de la droite qui joint le sommet du triangle au milieu de la base.

40. Si l’on divise en un même nombre de parties égaies deux côtés d’un triangle, et si, par les points de division on mène des droites aux angles opposés, celles qui se correspondent se coupent sur la droite qui joint le sommet du troisième angle au milieu du côté qui lui est opposé.

41. De tous les triangles de même base et de même hauteur, celui dont le périmètre est minimum, a les deux autres côtés égaux.

Le plus grand triangle rectangle que l'on puisse former sur une hypoihénusc donnée est isocèle.

Entre tous les triangles de même périmètre, celui qui a la plus grande surface est équilatéral.

(C). Propriétés des quadrilatères et des polygones en général.

1. Chacune des diagonales d’un parallélogramme le partage en deux triangles égaux.

2. Toute droite qui passe par le milieu d’une des diagonales d’un parallélogramme coupe celui-ci eu deux parties égales, et la droite est elle-même coupée eu deux parties égales.