De plus, les quatre droites rnD', m'D

MD', M'D partageront le parallélogramme en neuf parties qui, rapprochées convenablement, donneront cinq parallélogrammes égaux entre eux. Dans le cas du carré, les cinq parallélogrammes sont cinq carres.

20. La droite qui joint les milieux des deux côtés non parallèles d’un trapèze est parallèle aux autres côtés, et vaut leur demi-somme ; — et la droite

qui joint les milieux des diagonales d’un trapèze, est parallèle aux côtés parallèles, et vaut leur demi-différence.

21. Si, par un point O d’une diagonale d’un parallélogramme AliCD, on mène des parallèles, les parallélogrammes CO, O B ainsi formés sont équivalents, et les parallélogrammes AU,

OD sont semblables.

22. La perpendiculaire abaissée de l’un quelconque R des sommets d’on parallélogramme sur une droite X Y conduite arbitrairement par le sommet opposé A = la somme des perpendiculaires abaissées des deux autres sommets sur la même droite

Rr= Qq-j-Pp.

23. Si tant de parallélogrammes qu’on Tondra sont situés dans un même plan , et qu'ils aient une diagonale commune , la somme des perpendiculaires abaissées des deux extrémités de l’autre diagonale sur une droite conduite arbitrairement dans le plan par l’une des extrémités de la première, sera une quantité constante pour tous ces parallélogrammes.

21. Si, par l’un des sommets d’un polygone, on conduit des diagonales aux autres sommets, le polygone sera partage en autant de triangles qu’il y a de côtés moins deux.

n étant le nombre de côtés d’un polygone, s la somme de ses angles, on a toujours

* = (« — 2) X 2droits ; (n — 2) X

25. La somme des angles intérieurs d’un quadrilatère est donc toujours égale b quatre angles droits, et tous les polygones d’un même nombre de côtés ont la somme de leurs augles intérieurs égale.

2f>. Si l’on prolonge dans le même sens tous les côtés d’tm polygone convexe, la somme des angles extérieurs formés par chaque côté et par le prolongement de celui qui le précède, est égale h quatre angles droits, quel que soit le nombre des côtés du polygone.

27. Deux polygones sont égaux, lorsqu’ils sont composés d’un même nombre de triangles égaux et semblablement disposés.

28. Lorsqu’on connaît tous les côtés d’un polygone b l’exception d’un seul, et les angles compris entre les côtés donnés, le polygone est déterminé.

29. Si, dans les conditions d’égalité de deux figures, on substitue la proportionnalité des lignes b leur égalité, ces conditions suffiront pour affirmer que les figures sont semblables.

30. Deux polygones composés d’uu meme nombre de triangles semblables, chacun b chacun, et semblablement disposés, sont semblables.

31. Réciproquement, lorsque deux polygones sont semblables, ils peuvent toujours être décomposés en triangles semblables, chacun b chacun, et semblablement disposés.

32. Si, dans deux polygones semblables, on tire des droites quelconques inais semblablement disposées dans char un d’eux, ces droites seront proportionnelles aux côtés homologues des polygones.

33. Les contours de deux polygones semblables sont entre eux comme les côtés homologues de ces polygones.

31. Les aires des polygones semblables sont entre elles connue les carrés

des côtés homologues, ou corame les carrés de lignes semblablement placées dans chacun d'eux.

35. Tout polygone construit sur l’hypothénose d’un triangle rectangle, est équivalent h la somme des polygones semblables construits sur les deux autres côtés.

30. Dans tout polygone, chaque côté est égal h la somme de tous les autres, multipliés chacun par le cosinus de l’angle intérieur qu’il forme avec le premier

A B = A D cos. DA B -f DC cos. C D« + BC cos. C B A.

(D.) Cercles et droites propriétés.

1. Une droite ne peut rencontrer une circonférence en plus de deux points.

2. Si d’un point quelconque, on peut conduire h une circonférence et dans son plan, trois droites égales, ce point est le centre de la circouférence.

3. D’un point pris en dehors d’une circonférence et dans son plan, on ne peut mener à celte circonférence que deux droites égales.

4. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux, 1“ les arcs de même espèce sont sous-tendus par des cordes égales ; 2° les cordes sont égales lorsque les arcs de même espèce sont égaux ; 3° le plus grand de deux arcs inégaux est sous-tendu par une plus grande corde; 4" une plus grande corde sous-teud un plus grand arc, pourvu que les arcs que l'on compare soient moindres que la deini-circonlérence.

5. La perpendiculaire h l’extrémité d’un rayon, est tangente au cercle, et réciproquement la tangente au cercle en un point quelconque, est perpendiculaire à l’extrémité du rayon mené à ce point.

6. Si, du même point, on conduit deux tangentes à un cercle, ces tangentes sont égales.

7. La perpendiculaire sur le milieu d'une corde passe par le milieu de l’arc qu’elle sous-tend et par le centre du cercle ; donc, lorsqu’une droite passe par deux de ces points, elle passe nécessairement par le troisième.

8. Toute perpendiculaire abaissée du centre du cercle ou du milieu de l’arc sur la corde, passe nécessairement par le milieu de la corde.

9. Ou a, eulre la corde c, la flèche f et le rayon r d un arc de cercle, la relation

r = fï+ff ; .-«✓7373TÏÏ /w-j/f-J

10. Deux cordes parallèles ou une tangente et une corde parallèles interceptent, sur une même circonférence, des arcs égaux ; et réciproquement, si les arcs iuterceplés sont égaux, les cordes sont parallèles

11. La tangente, au milieu. d’un arc, est parallèle ïi la corde de cet arc.

12. L’angle F AG, qui a son sommet à la circonférence d’un cercle, a pour mesure la moitié de l’arc F G de la même circonférence intercepté entre ses côtés.

13. L’angle au centre FC G est double de l’angle F AG à la circonférence qui s’appuie sur le même arc.

14. L'angle F A 11 . compris entre une tan" génie A II et une corde A F, a pour mesure la moitié de l’arc AF qu’il comprend.

t 13- L’angle formé par une tangente AH et une corde quelconque AF = l’angle inscrit dans l’autre segment

H AF = AGF ; N A G = A F G

16. L’angle FAÎ , formé par une corde F A et le prolongement extérieur Al d’une autre corde AG, a pour mesure la moitié de la somme des ares AF + AG sous-tendus par ces cordes en dehors de l’angle F AG.

17. Tous les angles qui ont leurs sommets à la circonférence et s’appuient sur le même arc sont égaux; et tous ceux qui ont leurs sommets & la circonférence et s’appuient sur les extrémités d’un diamètre, sont droits.

18. Tout angle BAC qui a son sommet A dans le cercle entre le centre et la circonférence, a pour mesure la moitié de la somme des arcs B C -f- D E compris entre les côtés et les prolongements de ceux-ci.

19. L’angle CAB, dont le sommet A est placé en dehors du cercle , a pour mesure la moitié de l’excès BC — DE de l’arc concave sur l’arc convexe au sommet.

20. Par trois points, non en ligne droite, on peut toujours faire passer une circonférence , et l’on n’en peut faire passer qu’une seule.

21. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points communs sans se confondre, et ne sauraient se rencontrer eu plus de deux points.

22. Deux circonférences qui passent par un même point de la droite qui joint leurs centres, n’ont que ce point commun, et réciproquement si deux circonférences ont un seul point commun, leurs centres et ce point de contact sont en ligne droite.

21. U et r étant les rayons respectifs de deux circonférences, et d la distance de leurs centres, ces circonférences se touchent, savoir :

Extérieurement, si R-f-r = d Intérieurement, si R — r = d

Elles se coupent, et la corde d’intersection est entre les centres, si R -{- r > d ; r>R — d et R > d

Elles se coupent, et la corde d'intersection est du même côtés des centres , si R-j-r>d; r > d — R et d>R

Elles sont hors l’une de l’autre, si R -f- r < d Elles s’entourent l’une l’autre, si R — r > d

24-. Si deux circonférences se touchent en P, et si l’on mène PD E par la ligne des centres, toute droite P A B menée du point de contact P, donnera

pa : pb :: pd : pe

25. Si, par le point de contact de plusieurs circonférences, on mène une sécante quelconque, les cordes résultantes sont entre elles comme les circonférences auxquelles elles appartiennent.

26. Si, par le point de contact de deux circonférences, on mène deux sé-

cantes, les cordes qui joindront les poinls d’inlersection des sécantes arec les circonférences, seront parallèles.

37. Deux sécantes, qui partant d'un même point extérieur E, sont prolongées jusqu’à l'arc concave à ce point, sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures

CEXAE=EDXED

28. La tangente EF est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure

Ëf'=CEXAE — EDXEB

29. Deux cordes qui se rencontrent dans un cercle d’une manière quelconque, se coupent en parties réciproquement proportionnelles

abxbc = ebx B»

30. Réciproquement, quand deux droites se coupent de manière que les deux parties de l’une sont les extrêmes d’une proportion, les deux parties de l’autre en étant les moyens, les extrémités de ces droites sont sur une même circonférence.

31. Si l’une îles cordes est un diamètre GII, et si l'autre corde ED lui est perpendiculaire, la moitié de celle-ci est moyenne proportionnelle cuire les deux parties du diamètre

e7= gfxeh

32. Si les cordes A C , E D se coupent à angles droits, la somme des carrés des segments des cordes égale le carré du diamètre D

~Slî,-}-"BC,-f- THl* -f- ÏÏD*= D*

31. La corde AC. . . menée de l'extrémité d’un diamètre , est moyenne proportionnelle entre le diamètre AB et le segment AE déterminé par le pied E de la perpendiculaire abaissée de l’autre extrémité de la corde

ÂC = AB X AE

et les carrés des cordes A C , A F sont entre eux connue les segments

respectifs A E AG

~Âc af’:: ae : ag

31. Elevez une perpendiculaire quelconque à une diamètre A M, et, de l’une de scs extrémités A, menez à la circonférence les droites quelconques AB AE A K qui rencontrent la perpendiculaire, le produit des distances à A des points d’intersection . égale le produit du diamètre par la distance à A du pied P de la perpendiculaire :

arxac = aexda = akxak=-ak'*=apxam

33. Si l’on divise la circonférence en parties égales, et si, de l'extrémité du diamètre on conduit les cordes PQ, PR.

PS. . . , on a