PQ:PR::PR:PQ+PS::PS
pr+pt :: pt : ps + pv :: etc.
36. Soit O le centre d’on cercle dont la circonférence est divisée en ‘in parties égales, et soit pris un point P sur le diamètre ou sur son prolongement : si du point P on conduit aux points de division des droites PA PB. . . .
que l’on nomme le rayon r et la distance O P = x
Le produit des lignes alternatives ou P A X PC X P E X- • • •— r" — x° si P est dans le cercle ,
Au contraire P A X P C X P R X- • • • =* *“ — r* si P est en dehors , et le produit des autres lignes donne PB X PDX PF X- • • • — r“ -f-x"
37. Si par un point quelconque R d’un diamètre, on élève une perpendiculaire RS , et si d’une longueur RT égale au rayon, on recoupe la circonférence, RS est moyenne géométrique, et RT moyenne arithmétique entre les parties PR, RQ du diamètre.
38 Si, dans le plan d’un cercle, on prend un point fixe , la somme des carrés des distances de ce point aux extrémités d’un diamètre quelconque sera toujours la môme.
39. Si, par le milieu m de l’arc A d’un cercle, on mène une corde quelconque, le rectangle de cette corde par sa partie comprise entre m et la corde de A, sera constante de quelque manière que la corde dont il s’agit soit menée.
40. Si, des extrémités d’un diamètre, on abaisse denx perpendiculaires sur une sécante qui ne le coupc pas, les deux parties extérieures de la sécante sont égales entre elles.
4t. La partie d’une tangente comprise entre les perpendiculaires aux extrémités d’un diamètre, est égale li la somme des deux segments qu’elle détermine sur ces perpendiculaires : DC^=AD-(-CB.
42. Les deux parties d’une sécante comprise entre deux circonférences concentriques , sont égales entre elles.
43. Toutes les cordes comprises entre deux circontérences concentriques et tangentes à la circonférence intérieure, sont égales entre elles, et se coupent deux h deux en parties réciproquement égaies.
(E) Polygones inscrits et circonscrits au cercle ; propriétés.
1. Les polygones réguliers ou dont tous les côtes et les angles saillants sont égaux, peuvent être inscrits ou circonscrits au cercle.
2. Les angles au centre d’uu polygone régulier, sont tous égaux entre eux.
n étant le nombre des côtés du polygone, chacun d’eux = et leur somme
= 360" = 4 angles droits.
3. Un polygone régulier étant inscrit au cercle, si, par les sommets de ses angles, on mène des tangentes au cercle, elles formeront un polygone régulier de même nom que l’inscrit.
4. Un polygone régulier étant circonscrit au cercle, si, d’un point de contact au suivant, on mené des cordes, elles formeront un polygone régulier inscrit de même nom que le circonscrit.
5. Les polygones réguliers d'un même nombre de côtés, sont semblables ; — leurs contours sont entre eux comme les rayons des cercles auxquels ils sont inscrits ou circonscrits ; — leurs aires sont entre elles comme les carrés de ces rayons.
6. Les cercles étant des polygones réguliers d’un très-grand nombre de côtés, leurs aires sont entre elles comme les carrés de leurs rayons , ou de leurs diamètres, ou de leurs circonférences.
7. Un polygone régulier quelconque est équivalent h un triangle qui aurait pour hauteur l 'apothème, et pour base la somme des côtés du polygone.
8. On ne peut couvrir une surface plane indéfinie que par trois systèmes de polygones réguliers, savoir : des triangles, des carrés, des hexagones, — ei autour des mêmes points sur ce plan on ne peui assembler par leurs angles saillants, que six triangles, quatre carrés ou trois hexagones.
9. Le carré du côté du triangle équilatéral inscrit, est égal à trois fois le carré du rayon, et le carré inscrit est égal à deux fois le carré du rayon.
10. Les distances du centre du cercle à un sommet du triangle équilatéral circonscrit et au milieu d’un côté du triangle équilatéral inscrit, sont respectivement le double et la moitié du rayon.
11. DDF étant un triangle inscrit quelconque, d'un sommet D, menez une perpendiculaire DP à la base, puis, du même point D, un diamètre et le rectangle de ces deux lignes sera égal h celui des deux côtes de l’angle qui les comprennent
DPX da = dbx»f
12. BAC étant un triangle inscrit quelconque, et AD une droite qui coupe l’angle A en deux parties égales, on a
abxac = aex ad = bf.xec + aT
13. Si l'on fait tourner dans son plan un triangle autour de la circonférence inscrite, de manière que ses côtés soient continuellement tangents k celte circonférence, les trois sommets décriront trois circonférences concentriques k la première.
14. Un cercle étant inscrit dans un triangle équilatéral, si l’on joint les sommets du triangle au centre du cercle, les cercles qu’on inscrirait dans les trois triangles résultants seraient tangents entre eux et au premier cercle.
15. Dans tout quadrilatère circonscrit au cercle, deux des côtés opposés pris ensemble sont égaux aux deux autres.
16. Réciproquement, tous les quadrilatères h angles saillants sont circonscriptibles au cercle, quand les sommes de leurs côtés opposés sont égales.
17. De tous les quadrilatères de même périmètre dont les longueurs des côtés sont invariables le plus grand est celui qui est inscriptible au cercle.
18. Dans tout quadrilatère inscrit au cercle, le produit des diagonales égale la somme des produits des côtés opposés du quadrilatère
acxbd = abxdc4-adxbc
19. Et les deux diagonales sont entre elles comme la somme des rectangles des côtés qui aboutissent à leurs extrémités
AC ABXAD+CIÎXCD DD ~ I?A X BC -f DA X DC
20. Tout quadrilatère où la somme des angles opposés égale deux angles droits, est inscriptible au cercle.
21. L’aire d’un cercle est à celle d’un polygone quelconque, qui lui est circonscrit, comme la circonférence est au périmètre du polygone.
22. Le contour d’un cercle est toujours plus petit que celui d'un polvgonu de même surface.
il. De tous le* polygones de même surface et d’un même nombre de côtés, celui dont les côtés sont égaux entre eux a le moindre périmètre.
21. De deux polygones réguliers de même surface; celui dont ie périmètre est le moindre est celui qui a le plus de côtés.
25. De tous les polygones formés avec les mêmes côtés, tous donnés excepté un seul, le plus grand est le polygone inscriptible au cercle.
26. Si, dans un polygone régulier, ou mène toutes les diagonales qui en retranchent un triangle, ces diagonales formeront par leurs intersections nu polygone régulier d’un même nombre de côtés et de meme centre que le premier.
27. Si, d’un point quelconque de la surface d’on polygone régulier de n côtés, on abaisse des perpendiculaires sur ces n côtés, la somme de ces n perpendi culaires vaudra n fois le rayon du cercle inscrit.
28. Soient deux polygones réguliers semblables, l’un P circonscrit, l’autre p inscrit mais ayant les sommets de ses angles aux points de tangence des côtés du premier : si, sur un des côtés de P comme diamètre, on décrit une circonférence, elle interceptera sur la droite menée d’une extrémité de ce diamètre au centre des polygones le côté d’un troisième polygone p' régulier, semblable aux deux premiers, et de plus équivalent à leur différence P — p.
29. Dans lotit pentagone régulier, 1° chaque diagonale est parallèle à un côté; 2° les diagonales se coupent mutuellement en moyenne et extrême raison, au sommet d’un second pentagone régulier ; 3° si l’on prolonge chaque apothème de ce second pentagone d’une quantité égale à cet apothème, on arrivera aux centres de cinq nouveaux pentagones réguliers égaux au second, et dont un angle de chacun sera un angle du premier.
30. Si l’on divise les côtés d’un triangle équilatéral chacun cil trois parties égales, les points de division seront les sommets d’un hexagone régulier inscrit dans le triangle ; la surface et le périmètre de cet hexagone seront respectivement les deux tiers de la surface et du périmètre du triangle.
31. Si l’on prolonge tous les côtés d’un hexagone régulier jusqu’à ce qu’ils ise rencontrent deux à deux, on forme un polygone étoilé de douze côtés dont l'aire et le périmètre sont respectivement doubles de l’aire et du périmètre de 'hexagone. De plus, les six sommets saillants du dodécagone étoilé sont les sommets d’un hexagone régulier dont l’aire est triple de celle du premier.
32. Si l’on prolonge les côtés d’un carré de part et d’autre de quantités
égales à la demi-diagonale, on obtient les sommets d’un octogone régulier de même centre que le carré et d’un périmètre double.
33. Si l’on prolonge les côtés d’un carré de part et d’autre de quantités égales au côté de ce carré, on obtient les sommets d’un octogone inscriptible dont l’aire est égale à sept fois l’aire du carré primitif.
34. Tout dodécagone régulier est équivalent au carré fait sur le côté du triangle équilatéral inscrit dans le même cercle.
35. Soient deux polygones réguliers de même périmètre p ; — le côté de l'un
et JL le côté de l’autre , ou m et 2m les nombres de côtés respectifs ; soient
enfin R et r, R' et r' les rayons respectifs des cercles circonscrits et inscrits à ces polygones, on a toujours
r' = *(r+R) et R' = J/TÎ77
36. Si K est le côté d’un polygone régulier inscrit de n côtés, le côté Z d’un polygone inscrit de 2 n côtés est (le rayon étant 1)
Z = y/ 2 — 4/ 4^~K* ; Z* = 2 |l v/l(iK7«|
37. Si K est le côté d’un polygone régulier inscrit de n côtés, le côté X d’un polygone régulier circonscrit du même nombre de côtés est (le rayon étant 1)
d’où K =
38. Si l’on prend pour unité le rayon du cercle circonscrit aux polygones réguliers d'un nombre n de côtés, D étant l’angle droit, on a
Polygones
de
Angle ou centre.
Angle à la
circonférence.
Côté.
Apothème,
