Conditions d'égalité. Deux tétraèdres sont égaux
1° S’ils ont chacun un angle trièdre composé de triangles égaux et semblablement disposés ;
2” Si deux faces de l’uue sont égales 4 deux faces de l’autre et assemblées de la même manière ; ils sont équivalents lorsqu’ils ont les quatre faces égales chacune à chacune.
4. Condition s de similitude. Deux tétraèdres sont semblables :
Lorsque les triangles qui forment deux angles trièdres homologues sont semblables chacun à chacun et semblablement disposés ;
Si deux faces de l’un font entre elles le même angle que deux faces de l’autre, sont , en outre, semblables à celles-ci et assemblées par des côtés homologues ;
Lorsqu’ils ont toutes leurs arêtes homologues proportionnelles.
5. Les pyramides de même hauteur et dont les bases sont équivalentes , sont égales en volume.
6. Deux pyramides quelconques sont semblables lorsque leurs faces sont semblables et semblablement disposées.
7. En coupant une pyramide par un plan parallèle à sa base , on en re tranche une pyramide semblable.
8. Les arêtes homologues des pyramides semblables sont proportionnelles entre elles et aux perpendiculaires abaissées des sommets sur les bases.
9. Les bases des pyramides semblables sont entre elles comme les carrés de deux arêtes homologues quelconques , ou comme les carrés des perpendiculaires abaissées du sommet sur leurs plans.
10. Les sections ss\ SS', faites aux mêmes distances dd' des sommets dans deux pyramides quelconques , sont dans un rapport constant , quelles que soient, d’ailleurs, ces distances et les ligures des bases.
11. Un polyèdre quelconque peut être partagé en pyramides triangulaires en joignant par des droites le sommet de l’uu des angles b tous les autres et divisant toutes les faces en triangles.
12. Deux polyèdres composés d’un même nombre de pyramides triangulaires égales et semblablement disposées sont égaux.
13. Deux polyèdres sont semblables s’ils sont composés d’un même nombre de pyramides semblables et semblablement disposées.
14. Si l’on divise en parties proportinnnellcs les droites menées d’un point quelconque aux sommets d’un polyèdre donné, on aura les sommets d’un nouveau polyèdre semblable an premier.
15. Les arêtes homologues des polyèdres semblables sont proportionnelles, ainsi que les diagonales des faces homologues et les diagonales intérieures aux polyèdres.
16. Les aires des polyèdres semblables sont entre elles comme les carrés des arêlt s homologues.
17. Deux polyèdres semblables sont entre eux comme les cubes de deux ifoites homologues quelconques de ces deux polyèdres.
18. Deux prismes triangulaires de mêmes bases cl de mêmes hauteurs sont équivalents.
19. Deux tétraèdres de même base et de même hauteur sont équivalents.
20. Un tétraèdre quelconque est équivalent au tiers du prisme triangulaire de même base et de même hauteur.
21. Deux prismes quelconques sont entre eux comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs. — S’ils ont mêmes bases, ils sont entre eux comme leurs hauteurs. — S’ils ont mêmes hauteurs, ils sont entre eux comme leurs bases.
22. Deux pyramides quelconques sont entre elles dans les mêmes rapports que ci-dessus.
23. Deux prismes sont semblables s’ds ont un angle trièdre formé de polygones semblables et semblablement disposés.
24. Deux prismes sont égaux s’ils ont chacun un angle trièdre composé de
polygones égaux et semblablement disposés, — ou s’ils ont une base égale et une face égale également inclinée sur cette base.
23. Deux corps sont semblables dans tous les cas analogues b ceux où ils sont égaux.
■26. Les parallélipipèdes de même base et de même hauteur sont équivalents.
27. Tout parallélipipède peut se décomposer, par un plan diagonal , en deux prismes triangulaires équivalents et qui sont chacun moitié du parallélipipède.
28. Les parallélipipèdes rectangles sont entre eux comme les produits des arêtes qui forment un même angle trièdre. — S’ils ont mêmes bases , ils sont entre eux comme leurs hauteurs.
29. Si l’on coupe un parallélipipède quelconque par un plan incliné h sa base, le volume du tronc vaudra le produit de celle base par sa distance au centre du parallélogramme que donne la section.
30. Dans tout parallélipipède , la somme des carrés des quatre diagonales est égale à la somme des carrés des douze arêtes.
(II.) Corps ronds et polyèdres réguliers ; propriétés.
1. Toutes les sections laites dans un cène droit parallèlement à sa base sont des cercles qui sont entre eux comme les carrés de leurs distances au sommet, et dont les circonférences sont entre elles comme ces distances.
2. Eu général, o étant l’angle au sommet d’un cône droit, c la partie d’une de ses génératrices comprise entre ce sommet et un plan qui coupe le cône, a l’angle de ce plan coupant, avec c, l'équation de la courbe de section du cône par le plan ou de la section conique, est
9* ” [" sin^ ~ x* ‘iD’
c étant fait = o, on a les trois sections qui passent par le sommet, savoir, un point, une droite ou deux droites; et lorsque c n’est pas nul, l’équation ci-dessus devient celle d’une ellipse, lorsque le coeflicient de x * est négatif, celle d’une hyperbole s’il est positif, et celle d'une parabole s’il est nul.
3. Soit A1!0 CM un cône quelconque li base circulaire BMCO.ADC la section triangulaire de ce cône g par uu plan perpendiculaire à sa base, et passant par son axe; soit GE Fl une autre section de ce cône par un plan perpendiculaire h ABC, et telle qu’on ait angle AF G= angle ABC et angle AG F= angle AC B, la section G E F 1 sera nécessairement un cercle.
4. Dans un cylindre droit, toutes les sections parallèles aux bases sont des cercles égaux.
5. Toutes les sections de la sphère par un plan sont des cercles.
6. Tous les cercles dont le plan passe par le centre de la sphère sont égaux et ils se coupent toujours en deux parties égales.
7. Le plus court chemin d’un point à un autre de la surface sphérique est l’arc de grand cercle déterminé par le plan qui conlieut les deux points et le centre de la sphère.
8. Si, par le centre d’un cercle quelconque tracé h la surface de la sphère, on fait passer une perpendiculaire à son plan, elle passera par le centre de la sphère et la percera en deux points dont chacun sera également éloigné de tous ceux de la circonférence proposée.
9. Par quatre points qui ne soient ni en ligne droite ni dans un même plan, on peut toujours faire passer une surface sphérique , et l’on n'en peut faire passer qu’une.
10. La sphère est, de tous les corps de même surface, celui dont le volume est le plus grand.
11. L’aire d’une calotte sphérique est h l’aire de sa sphère comme la hauteur de la calotte est au diamètre de la sphère.
12. Le cercle décrit sur une sphère avec une ouverture de compas quelconque détermine sur cette sphère une calotte sphérique ou zone à une base équivalente au cercle décrit sur un plan avec la même ouverture de compas.
13. Les cercles décrits sur des sphères différentes et avec la même ouverture de compas, déterminent sur ces sphères des calottes sphériques équivalentes.
14. On peut environner une sphère centrale de douze autres sphères de même rayon, dont chacune touchera la sphère centrale et toutes ses voisines.
15. Dans la projection stéréographique (page 219) , les projections des cercles de la sphère sont elles-mêmes des cercles, et la perspective de l’angle de deux courbes quelconques de la surface ne diffère point de cet angle lui-même.
16. Les aires des corps ronds semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues, cl leurs volumes sont entre eux comme les cubes des mêmes lignes.
17. Tout cône est le tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur, et la sphère est les deux tiers du cylindre qui lui est circonscrit.
18. Le volume d’un polyèdre quelconque circonscrit h une sphère, ou dont tous les plans sont tangents 5 la sphère, est au volume de la sphère comme la surface du polyèdre est à la surface sphérique.
19. Tous les polyèdres circonscrits h une même sphère sont entre eux comme leurs surfaces.
20. 11 n’y a que cinq polyèdres réguliers , savoir : celui à 4 faces , dit tétraèdre, dont les angles sont trièdres et dont les faces sont des triangles équilatéraux;
Celui à 6 faces, dit hexaèdre ou cube, dont les angles sont trièdres et dont les faces sont des carrés égaux;
Celui h 8 faces, dit octaèdre , dont les angles sont lilraèdret et dont les faces sont des triangles équilatéraux ;
Celui à 12 faces, dit dodécaèdre, dont les angles sont trièdres et dont les faces sont des pentagones-,
Celui h 20 faces, dit icosaèdre, dont les angles sont pentaèdres et dont les laces sont des triangles équilatéraux.
On trouvera plus loin les rapports de ces polyèdres avec la sphère.
(I.) Aires des surfaces planes.
1. Triangle. L’aire T d’un triangle ABC a pour mesure la moitié du produit de sa base a par sa hauteur h — ou la moitié du produit de deux côtes par le sinus de l’angle qu’ils comprennent , — ou , 2p étant son périmètre, on a encore
T = JaA--=J bc sio. A == p [p — a) (p — b) ( p — c)
c* sin. A 9in. B 2 'sin. (A -f- B)
8*8 GÉOMÉTRIE ET TRIGONOMÉTRIE (Ij.
2. Et si R est le rayon du cercle qui lui est circonscrit, et r celui du cercle qui lui est inscrit, on a aussi
T“ 肋‘r(a+t + c)“rp
3. Polygone quelconque. 11 peut être décomposé par des diagonales en triangles qu’on sait mesurer.
