IIS

cos. OC P =

V a* + 6» ’ (i -|- ht) a \Za' + b' ’

sin.OCP =

(et — ht)

mettant ces valeurs de a; et y dans l'équation au centre de la courbe, il vient pour l’équation aux asymptotes

,u — VL T- J (-26)

ainsi, le produit des coordonnées d’un point quelconque est une quantité constante, et l’ordonnée ta ne peut jamais devenir nulle.

Si du sommet A de la courbe, on mène les parallèles AG, AG' aux asymptotes, on formera évidemment un losange dont les côtés AG , AG' étant, par rapport aux asymptotes, les coordonnées du sommet A, donneront la relation remarquable

AG X AG, = GC*=î(as + 4,>

de sorte que l’on a pour un point quelconque M de la courbe CQ X QM = CG=ÂG*=mî (28)

en faisant AG = m. Ce carré constant A G = m *, auquel le produit a tu est toujours égal , était appelé par les anciens géomètres la puissance de l'hyperbole.

Les relations ci-dessus conduisent aux propriétés suivantes :

Si l’on tire par un point quelconque N de l’hyperbole une droite quelconque RNr terminée aux asymptotes, les parties NR, nr iuterceptées entre les asymptotes et la courbe sont égales entre elles.

Toute tangente à l’hyperbole terminée aux asymptotes est divisée en deux parties égales au point de contact.

Les parties OM, MO' d’une parallèle au second axe comprise entre les asymptotes, et passant par un point quelconque M forment un produit constant OM X MO' — b2.

Tous les parallélogrammes construits sur les coordonnée» paral-

lèles aux asymptotes sont équivalents entre eux et égaux à — moitié

du rectangle des demi-axes.

Si les abscisses CG', CL', CO1 comptées sur l’asymptote d’une hyperbole quelconque, sont en progression géométrique croissante, les ordonnées G' A, VI, O’o parallèles à l’autre asymptote sont en progression géométrique décroissante avant même raison.

Si l’on prend les distances CL', CO' ... en progression géométrique, les espaces asymptotiques G'L'/ A , G'O'oAsontcn progression arithmétique, et sont dès lors analogues aux logarithme s de ces distances. La nature du système de logarithmes dépendra de la valeur de l’angle formé par les deux asymptotes; l’angle correspondant aux logarithmes usuels ou vulgaires est celui de 25°. 44'. 27". 28"'.

Si l’hyperbole est équilatére, l’angle C est droit, son équation aux asymptotes (26) en y faisant m = 1 , devient

au = m1 = 1

dès lors wda = — devient l’élément de l’aire asymptotique, ce

qui explique comment on a

f»d*=f — = logarithme hyperbolique de a. . (30)

Voyez Intégrales et Logarithmes.

Tracé » et propriétés. Les demi-axes a b étant connus, les équations (1) et (2) fourniront autant de couples de valeurs dey, que l’on se donnera de valeurs de x; ce qui permettra de tracer l’hyperbole par points. Ces équations

montrent que, pour une même abscisse z, ona toujours deux ordonnées égales, l’une au-dessus, l’autre au-dessous du premier axe; — que la courbe a dès lors des branches symétriques par rapport à cet axe; — que ces branches sont infinies, puisque -f- x croissant les dry croissent en même temps ; — qu’à des valeurs négatives de x' répondent des valeurs imaginaires de y, qui toutefois deviennent réelles dès que — x atteint la valeur 2 a de l’axe principal ; — qu’il part dès lors du point B une nouvelle portion de courbe en tout semblable à la première M AM' — .

On peut encore décrire la courbe par points en prenant arbitrairement une partie Bq > B F , et décrivant du point /'comme centre et du rayon Bq un arc que l’on coupera en quelque point par un autre arc décrit de l’autre foyer F comme centre et du rayon A q.

Ce dernier procédé suppose que l’on connaît la position des foyers f F ; elle se trouve déterminée en fonctlbn des demi-axes par l’équation (8) qui enseigne que la distance c = FC d’un foyer au centre = celle AD du sommet à l’extrémité du second axe.

Si l’on ne donnait pour décrire l’hyperbole que le grand axe