il __ 4 (c — V c d

y — J ; si l’on suppose c = a dans y = ^ — -

car faisant c=d4- *, le radical devient v'd' + dk — d + [k + k' S S étant une série donnée par l’cslraction continuée de la racine.

y — * devient y = v «"â7 dans l’hypothèse x= a

it + Jira— i* +v Jovicnt m (1 }-x)œ l dans l’hypothèse x=y (1 + *) — (l + y)

Si l’on demandait ce nue devient y — dans l’hypothèse

dex = o, on pourrait être embarrassé pour appliquer la règle. Il suffirait ici de développer ax et i1 en stries, il viendrait x(log. a) , x*(log. a)* , x5 (log. a)3 ,

x (log. 6) x* (log. 6)* x3 (log. b) 3 1 n 1.2.3

réduisant, divisant haut et bas par x, puis faisant x = o, il vient log. a — log. 4 .

y- -, — = log-

le logarithme est napericn ou hyperbolique.

Enfin , on trouverait encore

1 — sin. x 4- cos. x

« — 1 lorsqu’on lait x = f dans y = ;

J ■ J sm. x -j- cos.x — 1

y — y a quand on fait x = a dans y —

1 — x -|- log.x

y — — l lorsqu’on fait x = 1 dans y = f y/jiTZTv

INDÉTERMINATION

m — — 2 si l’on fait x — izdans y — — :

J J 1 — X + log. X

y = — — r si I on fait x = a dans y = .

a — ■* — a log. a -j- a log. x

y— — 1 si I on fait x — a dans y =

a — y Vax — x*

. ... . , (x — c) yf x — 64- y x — c

V = 1 si I on fait x = c dans y = —

yic — yx-\-c~ (- 1/ x — «

y = î si l’on fait x — a dans y = V7 (x’ - a»)1 -f- j a

x1 — iox’-f-ïa’x — 2a’ — 2a’V//2ax — a*

y — — 5 a si l’on fait x~a dans y — — —

x’ — 2ax — a*-(-2 a\S 2 aî-x’

Il y a des expressions qui semblent au premier examen prendre, en vertu d’une hypothèse, une forme différente de — , mais qui se

traitent cependant de la même manière que les précédentes, parce qu’en effet elles n’en diffèrent point au fond.

Ainsi P et Q étant des expressions qui renferment x et a , il peut arriver que l'hypothèse xx=u, par exemple, rende P = o cl Q = » . Si P et Q étaient multipliés entre eux, on aurait donc l'XQ^oX * • Mais si l’on remarque que le facteur Q = »

peut être mis sous la forme-, on alors P X Q = -. On cherchera donc à ramener de semblables expressions PXQ = 0 X * à la forme ^ , en faisant Q = — , R étant nul lorsque x—a.

Ainsi, si l’on demandait la valeur de

(1 — x) tang. j 7* x

lorsque ®= 1 , le premier facteur deviendrait 0 daus celte hypothèse, et le second oo puisque la tangente de t est infinie, mais

remarquant que, en général, tang. — — — , on pourra écrire

l’expression ci-dessus sous la forme

col. \ TCX

qui traitée comme ci-dessus deviendra — - dans l'hypothèse x— I .

INDÉTERMINATION

Si l’on était conduit à -=— } celte expression équivaut à Q x

^ = Y =z ^ ; on tlonnerait à P et à Q la forme — , R devenant Ô

nul pour l’hypothèse en question , et l’on traiterait le résultat comme ci-dessus.

Soit, par exemple,

la"S- fë) . . tanS-(J 3 !»

qu) revient à — -,

a (x* — aa)

l’hvpothèse x — « semble donner — = — , mais si l’on met —

Q oc COt.

(I fjl®— • m

au lieu de tang. , on a — qui, traitée comme ci-dessus,

r’ col

donne — =, — pour x — a.

Enfin, si l’on tombait sur P — Q = » — se en vertu d’une hypothèse sur une valeur de x, on remarquerait que celle expression

peut provenir de P — Q= ^ c’est-à-dire que P et Q sont

originairement des fractions dont les dénominateurs sont devenus zéro par suite de l’hypothèse. On les réduirait donc d:abord au même dénominateur, et le résultat qui, pour la même valeur de x

aurait la forme - serait traité comme ci-dessus

Ainsi xtang.x — i it séc. x devient, pour l’hypothèse x— l1,

•rsin. x — J rc 0 xcos.x sirux

= - qui traitée donne : = — 1.

COS. x 0 ‘ — sm.x

On remarque que lorsque le symbole |ou * = l’infini entre

dans une expression, on néglige vis-à-vis de lui tous les termes finis avec lesquels il sc trouve combiné par addition ou soustraction, l’infini ne pouvant logiquement être augmenté ni diminué par la présence de termes finis. On peut aussi diviser par * le numérateur et le dénominateur d’une fraction, mais il ne faut pas oublier