Il suffit, pour appliquer commodément la règle (11) aux
fractions cl aux radicaux de faire usage d’KXPOSANTs fractionnaires (p. 715), on aurait donc
adx x1 — a j x dx—-^ = =
Ç dx x“ = J' x"dx='
/adx /'
=a / x dx — - = —
f vî~ J x~ii*—ïV*
15. On fait remarquer incidemment que : toute fraction dont le dénominateur est un radical carré et dont le numérateur est la différentielle de la fonction que ce radical affecte, a pour intégrale le double de ce radical.
16. La règle (11) s’applique encore aux fonctions que l’on peut ramener à la forme générale xmdx, en faisant usage d’une variable auxiliaire. Soit par exemple à intégrer l’expression (ax b)m dx ; on peut faire
ax-4-b—z d’où dx — —
tmiz f'zmd: 1 /* s“+'
l’on a alors à intégrer : or, / = - / smdz — —
et remettant pour z sa valeur, il vient
dx =
(ax4-6)“+’ » ("» + !)
on trouverait encore, de la môme manière,
( b -f- ar")" xn~ldx —
(6 -f- a xD)“+' no (m 4-1)
17. Ce procédé réussit, en général, sur les quantités qui sont telles que les facteurs qui multiplient la parenthèse forment la différentielle de la quantité comprise dans la parenthèse, abstraction faite de son exposant total;, et môme encore lorsque ces facteurs forment cette mémo différentielle multipliée ou divisée par me quantité constante. Dans ces conditions, on peut se passer de l’emploi de variables auxiliaires et se conformer simplement à celte règle :
1° Ajoutez 1 à l'exposant total de la parenthèse ;
2° Divisez par cet exposant ainsi augmenté, et par la différentielle de la quantité comprise dans la parenthèse. Ainsi :
/' (am A- x^)n xm~t dx 1 ,
f [a + Ax"px-‘ dx = nTJ — [a + Ax’]* + ‘
-j“ 3 x1] (x* -\-x) dx — ^ [ 2x 1 -j- 3x’]
f [a* - x']* 3 x5 dx = - ^ [a« - x*]1
/adx a(x — 6)-“+* a 1
fvÿfr- = f i>’ + *xd* = •'*’+*’
J'{a+2ax)^ dx __ J' ^QX^aa.^ ’a(adx-f-2xdx)==2aV'/ ax-f-x1
18. Quelques expressions, dont la forme ne parait pas d’abord se prêter à l'application directe des règles précédentes, peuvent être ramenées à une forme qui en facilite l’intégration, à l’aide d’artifices de calcul dont les exemples suivants feront sentir l’esprit :
'(a — x)dxl/A — x = J '[a — A-|-A — x] dx V b — x
=A — A] dx Y b — x -{- [A — x]’ dx
= -[«-*] \V-*Ÿ-\{b-xj
19. On voit que l’on a introduit ici, dans l’expression donnée, les monomes — A A qui se détruisent. Dans l’exemple suivant on divise en dedans de la parenthèse par x1, cl, par compensation, on
lutâonnc pour facteur i
uvuui a i
on a donc
dx
/dx /1 dx dx
Vla+bx')* — J — !“/ x,ll + b\\
ax -j-è) 2 x dx— - (ax -f~^) 3 = — 7=i=I — ' ' av 1 * a/a-+-bx‘
