On aurait de même

J Illï = m J ~ — m log.hyp. x -f- C = log. hyp.

en faisant la constante C= — m log. hy p. c, car rien n’empêche de mettre une constante sous la forme d’un logarithme, d’un sinus ou toute autre. On voit d’ailleurs que :

24. En général, toute fraction dont le numérateur est exactement la différentielle du dénominateur a pour intégrale le logarithme hyperbolique de ce dénominateur. Si le numérateur est celte différentielle exacte multipliée par un nombre constant , l’intégrale sera le même logarithme multiplié par ce nombre constant, donc

dx a -J- x

bdx

= log. hyp. (a -j- x) -(- constante = b log. hyp. (xdta)

/adx a /' bdx a , ,

ï+Tx ~ t J ^rrx = i l0«- h?P- (a+

= >°g- hyp. (a + é-r)*

/' dx 1

T+rx=-b loe- hJP- (•+**)

/*X^"~^dx j j

= - log. hyp. (an -j- œn) = log. hyp.(a" + in)«

+ 2 ex) dx

+ 6*+eïï = lo&’ hJP-(a + bx + CX')

/(2i-))di

737+^ = loe- h?P- (* - *+**)

/dx /' x-'dx 1 ta \

^7+77* -J TT^Tb = ~ â l0«- h^- fc+é)

Vu + Î + W. = “ ,0^ h?P- (? + ,-i]

25. Certaines expressions qui n’apparaissent pas d’abord sous la forme générale -j- peuvent y être ramenées par des artifices que suggère l’habitude de ce genre de calcul. Exemples :

d x dx fx -j- H- n»n

o* ,/ 1/ x1±ra1 [jr-f-J/â* —

’gtf a?(ac»±a<) a-j-rfg(a:«±a») x-f- ±: o*

Or le numérateur qui se réduit à xdx (x1 ± a7)~ ’-f- dx est exactement la différentielle du dénominateur; donc

/dx ,

p-== = log. hyp. [x -f [ xJ ± a’] + C

et si l’on supposait que l’intégrale dût s’évanouir pour x~a, il viendrait 0 = log. hyp. a-f- C ou C = — log. hyp. a

p== = log. hyp. [x -f v xJ ± a1] — log. hyp. «

= log.hyp.[î+(/^T7] ;