On trouverait de même

34. Si les deux termes du binôme contenaient x, on diviserait le binôme par l’une des deux puissances de xt et l’on multiplierait au dehors par la mémo puissance élevée à la puissance marquée par l’exposant du binôme

— 77====— = a’x-1 dx fax -4- x*)— » = a*x~ ï dx (a -j- x)~ * xV ax-fx» \ \ ) \ \ j

— cdx-'dx (ax 1 1)— ? donc

35. II est encore un procédé fondamental assez fécond dû h Bornouiili, et qui a principalement pour but de faire dépendre l’intégrale qu’on cherche d’une autre intégrale plus simple; il est connu sous le nom d’intégration par parties.

Intégration par parties. La méthode dérive de l’équation (page 528), savoir :

d. uv = vdu -f- udv d’où l’on déduit

j' d.uv—uv=: Ç vdu-\- J udv et enfin

Judvzzz j' d(uv ) — J' vdu = uv — j* vdu

relation qui montre que si dans une différentielle Mdx, la fonction M peut se décomposer en deux facteurs P et Q, et que l’on sache,

par exemple, intégrer Qdx, on aura en appelant f Qdx=v

dx

d’où l’on déduit la règle suivante dont la pratique du calcul éclaircira le sens. Règle : i° décomposez la différentielle proposée M dx eu deux facteurs Y et Qdx dont l'un , Qr/x, est directement intégrable ;

2° Intégrez en regardant l’autre facteur P comme constant : ce qui

donnera P v (en supposant J' Q dx = v) -, 3° différenliez ce dernier

résultat P v par rapport d la seule fonction P qu’on avait prise d’abord pour constante ; ce qui donnera la différentielle v d P ; 4° intégrez cette différentielle vd P, et j enfin , retranchez de P o l’intégrale

/•" quo vous obtiendrez.

36. Ainsi, pour intégrer log. hyp. x.dx, on regarde d’abord dx comme seule variable, ce qui donne, en l’intégrant, x log. hyp. x ; diiïérentiant ce résultat par rapport à log. hyp. x seul, il vient

(page 532)— d’où, enfin,

d;rlog.hyp.:r = xlog. hyp.# — j -dx—x log. hyp. t — x [ C