Enfin, l’on aurai! encore
dxV a* -)- -ax — 1 j~- V a:*4-2ax — — log.hyp. fa:-}— a*4~|^ x’ + '2ax]
39. Intégration des quantités qui renferment des sinus, des cosinus. L’intégration de ces quantités est presque entièrement fondée sur le principe qni sert à leur différentiation, en ce sens qu’il s’agit ici de détruire ce que la différentiation a opéré, pour retrouver la fonction primitive. Il faut donc prendre à l’inverse toutes les formules des pages 53* à 536. Sans les transcrire toutes ici, on en tirerait les relations fondamentales qui suivent :
dx cos. x = sin. x
dx sin. x = — cos. x
*0. Le rayon du cercle élant=a, on a
/. d x- = arc [sin. = -] = arc dont le sinus est = - | / a' ~ as' L <ij a
/* — dx r *1
Va'-x' l «J
/dx i r *i
— = - arc tang. = -
/dx 1 [ .
... -=• =- arc sec.= -
/dx f . al
, -•-== = arc sin. vers. = -
41. On trouverait encore par l’emploi des méthodes exposées jusqu’ici :
J' i x [/ oJ — x2 — ï y a* — x1 + — arc j^sin . = -j
J dx[/2ax — a;2 — ^ ^ ° Y '2ax — x2 -f- -^arc j^sin .=— — -j 42. Faisant le rayon a du ccrcle=l, il vient
Av
dx , . .
. — ■ = arc (sin. = x) 1 — x'
7==t = arc (cos.=*)
/ . ,lx— = arc (tang. =
Jx- — arc (cotang. = x)
( tlx -■ — arc (sôc. = x )
— ~ ll 1 - ■ — arc (coséc. = x )
— ix--— — arc (siu. verse. = x) |/ 2 * — »’
ydx cos. ma; = — sio. m x m
d# sin.m# = cos. m x
Ml
/dx sin.” x cos. a; . .
/-» . — cos.m+l.t
d x COS.m X SIU. x r= — — —
43. Ces dernières formules conduisent à l’intégration de dx sin." ma; cos. mx , car multipliant et divisant à la fois par m , il vient
dx »io.n mx cos. mx sin.°tnx
X d [sin. ou]
ce qui ramène l’expression à la forme en faisantsin. mx — z ; on a donc pour l’intégrale
m (n-|-lj
/sin.0*1 mx
tfxsin.Dmœ cos. mx — — - — — — +L «(» + t)
On trouverait de même
/• cos.n+‘mx r
dxcos.nmxsm.mx = — — tt + L
44, J' dx sin. p x cos. q x s’intégrera en sc rappelaut les relations générales (Géométrie, M. 13) ;
sin. a cos. A = J sin. (a + b) -j- i sin. (a — A) cos. a cos. b = J cos. (a -f 6) -f- y cos. (a — A) sin. a sin. A = ÿ cos. (a — A) — J cos. (a -f A) qui permettent de poser
d * sin. p * cos. g* = ^ J^sin. (p + g)*-f sin. (p — g) *j dx
expression qui, écrite ainsi :
1 (p4-g)<l*»in. (p + ç)* 1 (p — g)dxsin. (p — g)*
a évidemment pour son intégrale :
2 cos. (p -f 9) * ^ cos. (p — q) x
*5. Pour intégrer J' dx cos.”* et J dx sin.®*, m étant
un
nombre entier et positif, on peut, entre autres méthodes, exprimer la puissance du sinus ou du cosinus en fonction des sinus et cosinus d’arcs multiples à l’aide des séries suivantes qui se déduisent directement des relations trigonomélriques ci-dessus.
2 cos.2 x ~ cos. 2 a: -f 1 * cos.3 x = cos. 3 x -f 3 cos. x 8 cos.4 x — cos. \ x - f 4 cos. 2 x 4- 3 16 cos.1 x = cos. 5*4-5 cos. 3*4-10 cos. *
2 sin.2 x — — cos. 2*4-1 4 sin.3 x — — sin. 3 * -f 3 sin. *
8 sin.* * = cos. 4 * — 4 cos. 2*4-3 16 sin.3 * = sin. 5 * — 5 sin. 3 * -f- 10 sin. x
on trouverait ainsi
J' dx cos.3 * = J |
cos. 5x 5 cos. 3 * , 5 cos. x 1 .
f~Ï6~ “I S » dx
sin. 5*
5 sin. 3 x 5 sin. x
= — sin. 5 * + — sin. 3 x -f- - sin. x -f- 1.
INTÉGKÀLKS.
dx cos.‘x = — sin. 4* + -sin. 2ï + ji
dx sin.* x = — sin. 4 x — |Sin. îx-(--x
dx sin.5 x = — cos. 3 x — - cos. x
J dx sin.5 x = — j sin. îx + ^x = ^ [x — sin. xcos.x]
46. Si, au lien de sinus et de cosinus, les expressions contenaient des tangentes, cotangcntcs, etc, on transformerait celles-ci par les
relations trigonométriques connues, tang.= — ‘ cl l’on intégrerait
par les méthodes précédentes.
47. On trouvera encore ci-dessous quelques fonctions circulaires d’un fréquent usage, et qui s’intégrent immédiatement, soitpar logarithmes, soit par les autres méthodes que nous avons déjà exposées.
/' dx f dx (»éc.» + lang.x) co*. x ~ J cos. x (séc. x + tang.x)
: log. hjp. (lang. x -|- séc. x)
— I<>g- hyp-tfng- |ï + 2j
/• (Ijr /' dx (coscc. x -|- cnlang. x)
*i7tTx J sin. x (coscc. x cotang. x)
— — log. hyp. [cotang. x -f coséc. x] = log. hyp. tang. ^
( dx tang. x = — / d’C0!l' - = — log. hyp. [cos. xJ J J CO*. X
f dx tang.5x = j dx [séc.’x — 1 J = tang. x — x
J dx cotang. x = log. byp. (sin. x)
yd x f* d x séc.* X - . r -|
dx
tin.9 X cos.
[co».*xn
sin.’x
= tang. x — cotang. x
d x co». x 1 r i i • t
— — = - log. hyp. [a + b sin. x]
a -|- b un. x b ° J r J
/dx r dx
lin. vers, x J ‘2 sin.* J x Colang. , x
48. On intégrera encore les expressions suivantes à l’aida des transformations indiquées.
/dx r b dx t r «j/él
a -J- i X’ J ab-\-b%x* y/o 6 3rC [tan®‘ j
c dx
/(c+ «x) dx /’ cdx t S"}
a + 6 x» J a -f b x* TbJ a
2bd x
xy/ïl
~VTb*tc [lang- = vît] + h, ,og- h* p (a +
y* d x I — ax dx 1
= ~ «y - à l0«- b^Pr if = 9 /*
J O+iï-j-Cl’ J ic
icdx
i b * -f- ex* J 4oc -f- 44 ex -(- 4e»x*
J (2ex+ 4)» + 4a e- b'~~ V t Te -b* arc[‘a,’8 y.
^ Ce résultat suppose Aac>b1 , et deviendrait imaginaire si l’on avait 4 ac<.bi, on aurait pour ce dernier cas
d [2cx-f- b]
ex -j- b)* — [6* — 4a e]
__ 1 k__ 2 ex -fé — V b* — Sac
|/ 6* — 4 a c °g' ^P‘ 1 CX -\- b-\- y/6«— *ac
dx
' —bj [x + b
log. hjp.
49. Les expressions suivantes, bien que irrationnelles, peuvent être transformées de telle sorte quelles deviennent intégrables par les méthodes élémentaires que nous avons exposées.
/* dx 1 f
y aï-f tx* yi>J V
1NTÉGUALES.
\ aï* — la’
— pr= iog. h)'p. [bx + \ a -\- V b ( ax + 6a4]
r xd£__ i rdx\bx~l + l\
J V ax — bx * l / bj Y abx — b* x'
= — -V ax — bx* -f ^yfi arc I s,n- verse- —
50. Enfin, jeréuniseucoreici une série d’intégrales proprcsà exercer les jeunes ingénieurs à l’emploi des méthodes précédentes, ainsi qu’aux artifices de calculs les plus féconds.
xdx V a + x = J dxfa-j-x — o] (/ s + *
— (a + xf — ^oV (a + x )*
xx^Vix + a)1 — x3]
dx ([/ x -[- O — |/ x)
dx (a — x) (b—x) = " (a — b) (6— x)" — . "
Ç dx (x1 -f a) Y x* -f- 4 « x J/ (x* -f- 4a)‘
(i -hx*) y i ** 5 1/ t +*»
f xia-'d x (an-{- xa) == J xn~'d x (an-\- x°— o°) (a"-j- x°)
f[i — \x)dx /*(«*— I )dx
J = - y = - los- h”- f • - * ■ -
q a° (an .r0)^1 n ip + q)
/'xdx 1 . T • «'1
/ — - ~ — - arc sid. = —
Jïïï=wm *>= 2 *re- h = l/^J
/dx i/x*— a* S'ils (x'—a') (' J x
= P' x* — â* — a X arc. j^séo . = ^j
r ix 2 j/x
/Xmdx xm+’ xm+n+i
__ au -f- x“ (m -{- 1) a” (m + n -|- 1) a*“
^.m+tn+x
+ 7 — Tô — r 4\ — etc. + constante.
51. Intégration des différentielles logarithmiques et exponentielles . Soit à intégrer la différentielle logarithmique Xdx log. hyp. x, X étant une fractioo de x.
Faisons y — log. hyp. x et dz=Xdx, il viendra
J " Xdx log. hyp. x == J' ydz — yx~ J xdy = log.hyp.x f Xdx — J
donc l’intégrale de la quantité proposée se réduit à celle de Xdx et dx f*
de — J Xdx que l’on pourra quelquefois trouver par les règles précédentes.
Si X == xu , on a f Xdx =xx = ;
/dx x0-*-1 .
* — = ; — r-rr. d’ou x (»+l)‘
/ xn dx log. hyp.x = -^Jlog.hyp.x— -i-J et si n était = — 1 , il viendrait
f~ log hyP- * = hyp- «d.[log. hyp. x]= 1 (log. hyp.x)J
