On aurait de même

dx

x log. hyp. x

= log. byp.flog. byp.x]

(n — 1) ^ (log. hyp. z)"-'

[log. hyp.x]“

dx (a -f-6 log. hyp. x)° [a-}- b log.hyp.®]°+'

53. Quant aux quantité) exponentielles, je ne puis donner ici d'autre règle que de les décomposer, s'il est possible, en deux facteurs, dont l’un soit la différentielle du logarithme de l’autre, ou en soit une partie constante; on divise alors par la différentielle du logarithme de ce second facteur. Ainsi :

x1 log. hyp.x est intégrable, parce que la parenthèse

est la différentielle de y log. byp.x qui est le logarithme de x1. On a donc pour intégrale de l’expression ci-dessus

Jdylog.hyp.j

d[log.hyp.xi]

a ïdx 1/1+ O"1

i^ra,0gh'Tp[a *+\Z'+°~']

54. On emploie souvent, pour ces intégrations, le nombre e=2.7!828.. base des logarithmes hyperboliques, et dont le logarithme est 1, de telle sorte qu’une quantité quelconque ±z peut être considérée comme le logarithme hyperbolique du nombre « élevé à la puissance marquée par cette quantité

± z = log. hyp. [e— *] s= ±z log. hyp.e

il en résulte des transformations qui simplifient parfois les expressions à intégrer. Nous ne pouvons nous y arrêter.

55. Lorsque les règles précédentes ne pourront pas s’appliquer à l’intégration d’une exponentielle, on la réduira eu séries par la formule

a' = 1 -f- x log. a -j-

(log-q) 1.2 "

x1 (log. a)* ~. 2.3

j^Jlog. o)*

et l'on intégrera, comme il est dit ci-dessous.

56. Intégration par les séries. Co procédé s’applique aux expressions dont les intégrales ne peuvent être obtenues rigoureusement ; il consiste à développer la fonction donnée en série, de sorte que l’on n'ait plus à intégrer qu’une suite de termes dont chacun soit intégrable en particulier. Plus la série sera convergente, plus la valeur réelle de l’intégrale sera approchée. Or, les séries qui procèdent suivant les puissances positives de x dont les exposants vont en croissant, ou les séries ascendantes, ne convergent, en général, que dans le cas où la variable x demeure très-petite ; au contraire, les séries descendantes, celles qui procèdent par les puissances négatives de x convergent d’autant plus que cette variable est plus grande.

L’article séries et la nécessité d’abréger me dispensent de plus grands développements, et je me borne aux simples exemples suivants :

/* gl fl JJ

^ qui ne peut pas être intégrée

exactement. On lui donnera la forme J a1 d x (a1 ■+■ •r*)-1 et, comme on a par la formule du binôme

il vient pour l’intégrale approchée

a1 dx a * -j-x*

etc.

57. Quantités à plusieurs variables. Pour intégrer ces expressions, lorsque cela est possible, il faut rassembler tous les termes affectés de la différentielle d’une môme variable , et les intégrer comme si les autres variables étaient constantes, et leurs différentielles nulles. Alors, si l’on différentie cette intégrale en faisant varier successivement toutes les variables, et que l’on retranche le résultat de la différentielle proposée, l’intégrale qu’on a trouvée est (en ajoutant une constante) la véritable intégrale s’il ne reste rien; s’il y a un reste, il ne renfermera pas la variable par rapport à laquelle on a intégré, on suivra, à l’égard de ce reste, le même procédé qu’on a suivi d’abord, et ainsi de suite par rapport à chaque variable.

Ainsi 3x*ydx -f- xsdy -f- 5 xyKdy -1- yidx donnerait pour les termes affectés de dx, 3x2ydx -}- y '"dx lesquels intégrés en supposant y constant fourniraient l’iotégrale partielle x3 y or celte dernière quantité différenliéc par rapport à x cl à y, et rc-

tranchée de la proposéo ne laissant point de reste, l’intégrale de la proposée = x* y + y4x -f C

On trouverait de même

pour l’intégrale de

x’ d y -+- 3 x*y dx -f- xJ dz 4- ïxsdx ■+■ xdx 4- y1dy

58. Intégrales définies. Abstraction fuite des cas où nous ayons déterminé la valeur de la constante , les intégrales ci-dessus

que nous représenterons sous la forme générale J' Xdx sont

dites indéfinies ; elles deviennent définies lorsque l’on assigne les valeurs limites dex, l’une inférieure x = a par exemple ; l’autre supérieure, œ = On dit alors que la valeur x = a, pour laquelle l’intégrale s’évanouit, en est l’origine, ou que l'intégrale doit commencer lorsque x = a, et la valeur à laquelle on s’arrête répondant à x = b, on dit que l’intégrale est complète lorsque x — b.

Pour indiquer qu’une intégrale J Xdx doit être prise depuis

x== a jusqu’à x — b, on emploie, en France, la notation due à Fouricr

J ‘ Xdx et en Angleterre celle J' Xdx

XacaQ

et pour obtenir celle intégrale dé finie entre ses deux limites , il est évident qu’on doit calculer successivement ce que devient l’expression variable de l’intégrale lorsque x — b, puis lorsque x — a, et retrancher ensuite le dernier résultat du premier. La constante arbitraire devant disparaître par cette soustraction, il est inutile de l’écrire.

Ainsi (41) l’intégrale indéfinie J dx V a* — x2 — î [/ o* — x* -+- ~ arc £ sin. =

pour x = a devient —, et pourx = o elle est nulle; on a donc pour l’intégrale définie entre ces limites ,r= 0 et .r — a

J dx Y u1 — x- —

on aurait encore

59. Il est utile de faire remarquer que le signe du résultat changerait si l’on changeait l’ordre des limites : ainsi , /'indiquant une fonction quelconque des limites a et b, on aurait

f \dx — f (a,b) et J' Xdx — — f(a,b ) x—a x—b

60. Approximations. Les difficultés de l’intégration, le nombre des méthodes diverses dont l’article précédent donne à peine une idée, la nécessité de les avoir présentes à l’esprit, et, pour ainsi dire, toutes à la fois, attendu que chacune n’est guère applicable qu'à certains cas particuliers, ont beaucoup conlribuéà l’emploi des méthodes d’approximation dans les recherches qui se rapportent aux travaux des ingénieurs; parmi ces méthodes, celle qui porte le nom de Thomas Simpson (page 435) permet de calculer, avec une approximation presque toujours sulfisante pour la pratique, les intégrales définies qui dépendent d’une seule variable. Soit en effet

une intégrale de ce genre, dans laquelle X est une fonction quelconque de x, et dont on demande la valeur approchée entre les deux limites x — a, x=a’.

Cette question revient à demander l’aire de la portion de courbe comprise entre les ordonnées correspondantes aux abscisses x a x — a' (page 435); pour l’obtenir, on partagera l’intervalle a' — a en un nombre pair de parties égales, quatre, par exemple, oa aura

Mettant successivement dans la fonction X de x les valeurs x — a -, x-=x a -f ^ (a' — a); x = a-t-i(a' — a);

ar = a-f-(a' — a); x — a'

la fonction X prendra des valeurs correspondantes à ces différents cas, valeurs que nous désignerons par

INTÉRÊT

parce qu’elles sont effectivement les ordonnées b introduire dans le calcul. Alors on aura par approximation

/*dx=3 4

yl-t-4y2 + 22/3-+-4:/4-t-!/5

celte méthode d'approximation est tout à fait générale.

INTÉRÊT. Soit a la somme qu’on place à intérêt, t le nombre de périodes (jour, mois, semestre, année) pendant lequel la somme a porté intérêt. Nous supposerons ici que t représente un nombre d’années.

f la valeur que 1 franc a acquise au bout d’une année, de sorte que le taux de l’intérêt annuel étant, par exemple,

5°/. 6 7. 7°/. 10'/. ou 0.1 les valeurs de

f sont 1.05 1.06 1.07 1.10 il en résulte que

Çf i) sera évidemment l’intérêt annuel.

Soit encore i l’inlérét total de la somme a après / années.

Cela posé, il y a plusieurs cas à considérer : lo Ou l’on retire, à la fin de chaque période, l’ intérêt de son capital, et alors on doit toucher à la fin d’une période

2° Ou l’on convient de laisser dans les mains de l’emprunteur le capital pendant t périodes avec la condition que les intérêts échus b la fin de chacune d’elles ne s’ajouteront pas au principal a pour porter intérêt; on dit alors qu’on place à intérêts simples, et au bout de t périodes ou années, on a b toucher en intérêts seulement

et si l’on retire des mains de l’emprunteur capital et intérêt, on a à recevoir une somme totale V

V = a + fl(f-l)< = «|l+(/-l)<]

3° Ou bien, enfin, l’on convient que les intérêts que le prêteur ne touche pas à la fin de chaque période s’ajouteront au principal et porteront intérêts de même que ce principal ; on dit alors que l’intérêt est composé, et la question qui se présente d’abord est de chercher quelle valeur S le principal a a acquise au bout de t années, par l’accumulation et la composition des intérêts. Or, on voit facilement que t franc acquérant une valeur f au bout d’un an , on obtient les valeurs sur cessives de a francs au bout de 1,2, 3... t années,

INTÉRÊT

par les proportions suivantes dans lesquelles le troisième terme est le quatrième do la proportion précédente :

( a : af af : af' af' : af'

af'~' af'

le principal a a donc acquis, au bout de t années, une valeur

valeur que l’on calculera toujours facilement par les logarithmes, si on ne la trouvait pas dans la table suivante calculée dans l'hypothèse o = 1000 fr. (/■ — 1) étant 0.02 0.03 0.0* 0.05 ou, entîn, 0.06 et t s’étendant de 1 à 50 années.