CHAPITRE III

Autre congriience de cubiques gauches

29. J. de \'rit's(i avait eu Ykh'-e de considérer une transformation Crcmona de l'espace qui change les droites en cubiques gauches, et d'appliquer cette transformation aux congruences linéaires de droites : ainsi on obtient des congruences de cubiques gauches qui sont aussi du premier ordre.

L. Godeaux, i2; énumérant les types olUenus par ce procédé, en a laissé écha])per un assez remarquable.

M. Otie a présenté au jury central une thèse de doctorat consacrée à ce type. Nous lui avons conseillé de publier son ti^avail, mais il n'en a rien fait. Nous croyons donc pouvoir utiliser son manuscrit; le type en question est d'ailleurs un de ceux que nous avons signalés dans nos Citiq Eludes.

Cette congruence f-) a pour équations

^i o.x + 'j-i hx a, a'x 4- «2 ^'x ^i.a"x -f- «j b"x I ^ Q «1 dx -\- a.j fx ïj d'x -\- ^:i fx 'j-i d''x -p «3 rx I

Pour y.y et -a^ tendant vers zéro, en même temps que a^ : a^ tend vers A, on a la culiique

kax -f f^x /x = 0,

et toutes ces cubiques sont sur la surface du troisième ordre I cix bx fx I = 0. De même pour -j.^ = -/.j = t», on a la surface I bx dx A 1 -= 0.

Les équations de H donnent

et deux relations analogues, d'où

a^ : aj : 5 x^ : p «3 = \ bx dx /.v j : — \axdxtx\ '. \axbxfx\ : — \axbxdx\,

(1) C. R de lAcad. d'Amsterdam, 190S.

(2) Nouv. Aiin. de math. 1909.

ce qui donne aisément

«j : «2 : a,, = I bx dx fx\-\ ax hx fx I : — I ax bx /x I I ax dx /x\ : \ bx tix /x\ ■ \ Ox bx dx \ .

Donc la congruence est du premier ordre, puisiiui; loui point ■W donne un système de valeurs de a^ : a^ : «3, ou ce qu'on peut appeler un point « d'un plan (a).

Si a décrit, dans le plan (a), une courbe d'ordre n, la cubique H correspondante engendre une surface généralement <l'ordre 6 ?^ ; cet ordre diminue de 3 unités chaque fois que la courbe du plan (a) passe par le sommet de référence y.^ = v.^ -= 0

ou OL^ = a.^ = 0.

Par exemple, à la droite a^ -}- k 'x.^= o répond la surface cubique | hxdxfx] — k \ n.\ dxfx I = 0, etc.

A tout point du côté de référence -j.^ = 0 répond l'unique cubique (-), Il hxfx\\ = 0.

SO. Pour les lignes singulières de la congruence (-), les relations donnant 7.^:2^:7.5 doivent être indéterminées; on trouve ainsi facilement que les lignes singulières sont la ■sextique gauche

C(; — ((x bx

et les deux cubiques gauches

C3 — dx

c 3 = :' (ix

bx i

;-dont chacune i-encontre huit fois c;^. Nous devons supposer <c'^ et c'g sans j)oint counnun, car autrement nous retrouvons le système étudié au chapitre précédent.

Chaque cubi(|ue H coupe huit fois c,;, une fois c'., et une fois c".^.

Pour trouver la classe d'une congruence de cubiques, on a TU plus haut une méthode g<''nérale, Api)liquée au système H, cette méthode donne la matrice

;i '^1 % -f '^2 by 7j dv + '-'■;( /y '-'■1 «-- + '^-2 b.: y.^ d: -f '-'a /- ll = " ;

les colonnes 1,2,.'! ou 1,2, 1 représentent chaque fois une courbe du troisième ordre dans le plan (7) ; le sommet «1 = ^2 = 0 est double pour l'une et simi)le pour l'autre, et de