Pour trouver le genre de la courbe

Cy = a,x bx Cx / = •>,

formons l'i-quaiion du cône de sommet y projetant la coui'be : à cet elïet il faut remplacer xi par ./•/ -[~ ^^V^ '^'^ éliminer h, ou encore éliminer k, l, m, n entre l'équation

l ax -\- m a'x -[- " '^'''x -\- M ay -j- k?n a y -\- kn (("y = 0

et trois analogues en b, c, /.

Cette élimination nous ne l'eliectuons pas, mais nous analysons le sens de l'opération : c'est la recherche de la condition pour que ces quatre équations soient vérifiées par un système au moins de valeurs de ^, /, m, n.

Si, au lieu de chercher le cône projetant, nous cherchons ses génératrices doubles, nous devons exprimer que ces étjuations ont deux systèmes au moi?is de racines communes; en multij)liant encore chacune de ces égalités par /<■, on a en tout huit relations homogènes en l, m, n, kl, km. kn, kH, k-7n, k'^n

(1) Bull. Acad Belg. mai 1907.

(2) Car, en remplaçant dans la matrice (3j les éléments de la 1'® colonne par À Ux + \J. bx -\- ')Cx-\- T.tx il arrive pour ooi valeurs de ), :;;.:■/:que les éléments de la nouvelle colonne aient une droite commune, et celle-ci rencontre Cq ;iux 3 points où elle perce la surface cubique 1 bx Cx fx 1-^0.

<|ui doivent èire vérifiées par deux systèmes de valeurs, donc par une infinité et l'on a

(Ix

Celte matrice, pour ij fixe cl ./■ yariable, représente une

ligne; mais par sa définition même, c'est un ensemble de droites

])ar le point ij : chercher l'ordre de la ligne c'est chercher le

nombre de ces droites. En adapiant le procédé régressif de plus

Iiaut à l'énumération de cet ordre on trouve 9 — 4 -}- 2 —

1 -f- 1 = ~- Ainsi, de tout point de vue, la courbe Cg a sept

points doubles apparents; par suite le geiire <ie la cou7^be est

Le calcul fait à l'instant «tronstitue un premier exemple de ce que nous avons ailleurs appelé la suyéliminatioii. Cet exemple manque i)rovisoirement de la rigueur et de la précision nécessaires; ici nous voulons seulement faire sentir ce que c'est, mais nous reviendrons sur ce sujet.

26. On appelle classe " d"une congruence de courbes, le nombre de ces courbes (jui ont pour bisécante une droite donnée arbitraire. On appelle bisécante singulière une droite qui est bisécanie d"une infinité de courbes de la congruence (nous croyons avoir été le ])remier à étudier ces bisécantes).

Considérons une cubique de la congruence 1",

'1^ (l'x -j- '>■, b X -\- 'J--^ Cx

d'après ce qui a éié dit, le système des bisécantes de cette courbe est représenté par les équations

l >. {y.^ rix + y..i, bx + -a, Cx ) +

l >.' (ïj a'x -[- x^ b'x + '^3 c'x ) + ''■"(^1 ^''^ -|- '^i ^'"' + ^;i c"x ) = 0,

^-, >.',>." étant trois paramètres -variables. Exprimons (|ue cette bisécantc coïncide avec la droite y z. donc passe pai- // et par c ; puis éliminons les paramètres linéaires À, À', À" :

'i (^y + '^2 ^^v + H O- '^-1 "'y + ''i If'y + ''■^ c'y '^i ^''V + '^j ''^'V + '^-s <^'"v h fy ' /'V"

Si l'on supprime la troisième ou la première ligne, on a respectivement, en désignant, pour abréger, chaque déterminant partiel par une de ses lignes,

^1 I ny fy t^ i + '■ J ^>^^ 1y A I + 'H I '•;■ fy 1^ 1 = 0. H I ''^ ty A I + «'^ I f'^^ fy f^\ + =^3 1 c~ fy f=\ = "-

d'où en général }iu système de valeurs de -j-^ : -x., : y..^ donc laie cubique 1" avant f/:- pour bisécante : la congruence 1" est de première classe.

Le procédi' employé ici pour trouver la classe de la congruence est général et se formule par la règle suivante, ilonnée déjà dans nos « Cinq Etudes » : on double la matrice de la congruence et, dans les deux moitiés du résultat, on remplace les coordonnées courantes ./■ par deux séries de variables ponctuelles y eX z.

La dt'terminntion de y.^ : y.^ : y-^ au moyen des relations ■écrites en dernier lieu présente une excejdion si l'on a

1 ay /v /. I i by fv A 1 I Cv fy fz \ ,,.

I az fy Jz I i hz fv fz I I Cz fy fz \

alors oo' cubiques I' ont pour bisécante ij z, cette dernière matrice égalée à zéro exprime donc les conditions pour que y -et z soient sur une même bisécante singulière.

Si // est fixe et z variable, celte matrice représente une ligne du 7'"® oi'dre, c'est-à-dire 7 droites issues du point //. Mais si .^ coïncide avec le point (//'/' )i tous les éléments de la dernière matrice sont simplement nuls, donc la droite joignant y à (//'/") €ompte triple. Ainsi de tout point de l'espace on peut mener cinq bisécantes singulières, savoir une vers (/ /'/') et quatre autres.

Il y a une doul)le infinité, ou une congruence, de bisécantes singulières ; l'évanouissement de la matrice écrite ci-dessus

peut être regardé comme constituant les équations de cettecongruence de droites, à deux séries de variables y et z. (D

Les coordonnées pliickériennes de la droite si l'on y fait Pj2 ^ y^ z.^ — 1/.J z-i, etc., sont aussi des coordonnées à deuxséries de variables; des équations entre de telles coordonnées constituent un cas particulier de relations à deux séries de variables y et z, telles que vérifiées pour y et pour s, elles le sont pour y -j- ^?-, quel que soit k. La notation que nous employons ici a la même propriété, mais est plus générale. A. Clebsch a montré que dans le cas d'une équation (complexes de droites) on peut toujours passer aux coordonnées pliickériennes, Pour une matrice comme ci-dessus, la chose est encore possible théoriquement (?) mais la réalisation cftective est probablement pénible; on ne sait pas au surplus sous quelle forme, matrice ou autre, se présenteront les résultats.

27, Soit à chercher la tangente à une cubique de la

congruence F par le point qui détermine la cubique.

Considérons la cubique \ gx fx\\ = 0; le réseau des quadriquescirconscrites a pour équation

I À gx fx 1=0;

cherchons le plan polaire d'un point y relatif à une tellequadrique, en nous rappelant que, pour dériver un déterminant^ on peut dériver successivement chaque colonne :

I '■ gy /^ I -r 1 >- Qx fy I = U; mais si y est sur la cubique considérée, on a

gy = — ,Oj /v, g'y = — (..j /y, g"y = — o>i /"y,

d'où pour le plan jiolaire

I "'' / V "h 1y I + 1 '• fJ^ fy I = <^>

1 1) Autres détails sur les bisécantes singulières dans notre article du- Bull. Acad. Belg. mai 1907 et notre mémoire couronné, 1913.

(2) Voir notre article de « L'Enseignement mathém. 1910. » La fin de ce travail rapproché de la propriété qu'une variété algébrique à n dimensions dans l'espace à m -j- 1 dimensions est toujours représentable par une seule équation (voir un chapitre ci-après) constitue une nouvelle démonstration, du théorème de Clebsch.

et l'on voit aisément que ce résultat est identique à

I À (jx -\-^'>,tx fy I = tt;

bien que l'on ait ici trois paramètres homogènes À, À', À", les plans représentés par cette équation ne forment qu'un faisceau dont l'axe est représenté par

cjx -f M,/.,' fy =0;

ce sont donc là les équations de la tangente. En développant les formes gx,g'x,g"x, on obtient la relation

'..^ bx + y-i Cx + co^ fx -\- (-) fy = 0

et deux analogues. Et comme le point y appartient à la courbe, on a Qy -f ojj fy = 0 ou

'■7 ày

et deux analogues. De ces six équations, on peut éliminer 7j. -j.y ^3, (.)j, (0, ce qui donne

Si les X sont variables et les y tixes, on peut vériffei- sans peine que cette matrice représente une droite, la tangente donc à la cubique I" déterminée par le point y.

Si les y sont variables, on a la représentation d'une courbe de septième ordre, lieu des contacts des tangentes aux cubi(}ues F issues du point fixe x.

Comme ce lieu passe visiblement par le point x même, le cône projetant de x cette courbe du septième ordre, est lui-même du sixième degré : les tangentes aux cubiques V forment un complexe de sixième ordre, (i)

Nous voyons ici que la structure de la matrice seule ne permet pas d'étudier les questions de contact, car il faut dériver, c'està-dire démembrer les éléments; mais la représentation par une matrice n'empêche pas cette étude.

(Ij Les bisécantes singulières sont des rayons singuliers pour les cônes du complexe. (Cf. notre article Bull Acad. Belg , mai 1907.)

28. Une congruence linéaire de courbes gauches élantilonnée, sous forme de deux équations à deux paramètirs arbitraires, on peut trouver les équations différentielles de cotte

congruence.

^ Ce problème est classique. Toutefois, posé comme ci-dessus, il ne s'apjdique aux courbes algébriques que si ces dernières sont des intersections totales des doux surfaces. Il convient de l'examiner par exemple pour les cubiques gauches représentées par des matrices à six éléments.

()v le problème en question est complètement éiiuivalent à celui-ci : trouver les équations de la tangente à la courbe delà congruence qui })asse par un point arbitraire. C'est évident à première vue, car la courbe dont il s'agit est unique ainsi que sa tangente, et les deux quantités qui déterminent la direction do la tangente doivent se tirer des équations de cette tangente en fonctions uniformes du point choisi; ces fonctions seront même rationnelles si la congruence est algi'-briquo.

Cependant il ne sei-a pas superflu de développer les calculs sur un exemple; et pour ne pas allonger les écritures, nous prendrons, non pas la congruence I', mai.s le cas particulier G auquel nous avons fait allusion plus iiaut. Ce système G,

représente, rappelons-le, oo- cubiques gauchos ayant en commun deux points et trois bisécanles.

Celle de ces courbes qui passe par 1/ a pour équations

I ax/>v a'x h' y n"xh"y ,.

i ciyhx n'yb'x n"yb"x ~ '

et sa tangente se trouve par le procédé suivi j)lus haut : ctxby — cty bx a'xb'y — n'v b'x a'xb"y — C("y b"x ' a

ay by a' y y y fd'y b"y ' — ^•

Nous pouvons passer des coordonnées homogènes à des coordonnées cartésiennes, rectangulaires par exemple; pour abréger supposons que cette transformation ait été efîectuée au préalable, de sorte (|u'il suffit de regarder .r^ et y^ comme égaux à l'unité.

Dès lors, on a

rix by — ay bx = - {eu bk - ok bi ) (hci yk - xk yi )

— io —

ou, en abrogé, ^=^ {ru bk){xi yu — xh iji). ('etie sommation où i et k sont distincts et prennent les valeurs 1, 'i, i, t, porte sur six termes dont trois contiennent l'indice 1 ; w sont

(^'i ^>i ) U^^ — !/i ) + (''2 ^'i ) (-''j. — //i ) + (^'3 f^i ) (^s — !h ) ; un des autres termes est

(rti b., ) (<ri ï/a — .'•, >j, ) = (rti /j2 ) L«/2 (j^i — ^1 ) - //i (.r^ —y, )]

et les deux der-niers se transforment de même. Finalement les équations delà tangente peuvent être remplacées parla relation

et deux analogues. De ces trois relations, on peut tirer les rapports mutuels de x-^ — y y, Jt'3 — //,. >'■>, — y?,, p ; mais deux seulement de ces rapports nous intéressent, savoir {x.^ — //a ) : (^1 ~y \) ^t (./-'a — y-^ ) : (^1 — yx ), car ce sont les coeflicients de direction de la tangente, donc les dériv(''es de //a par rai)port à //i et de y., par rapport à y-^ ; on trouve

'^ y> I (^'1 ''2 ) .y^ + ''i b.^ ) y,^ -r {"x h^ ! ay hy

Il y^ I ay br («3 b^ ) y^ + {a.^ b-^ ) y-.^ -^ {'t., b^ )

{".i ^^1 yi 4- (^^>. ^^2 ) y-i + (53^)1 (''3 ''^i ) yi + (^'3 '>i I yi -T- i^h i>i ) I

et une formule analogue pour la dérivée de //j