IS

même le sommet aj = a3 = 0; il faut en outre défalquer un point 2, distinct de ces deux sommets et annulant la matrice des colonnes 1 et 2; il reste quatre intersections des deux courbes planes, donc la congruence H est de quatrième classe.

31. La cubique W qui passe par un point donné // s'obtient en remplaçant, dans la matrice initiale, -/i, a.^, xg par leurs valeurs en fonctions de y ; chaque déterminant partiel étant désigné par son terme-pi'incipal, on a donc le résultat suivant

nx {by d'v fv) - hv {ay d'y /"v ) ^/.. {by d'v t"y ) — b'x (r<r d'y f'y >

dx{ay h' y t'y ) — fx {ay b'y d" y ) d' x {ay h'y f'y ) — f, [ay b'y d"v )

axihyâ'yf'y) - h" , {ay d'y f y ) d".{ayh'yry)- /" . {ay b'y d"y ) - ^^

OU, apri'S addition de lignes,

{ax by d'y f'y )

d,{ny},'yf'y) - f X {« y b' y d ' y ) - -

telles sont les conditions pour que deux points ./• et // soient sur une même cubique H; en coordonnées y, elles représentent, outre la cubique H passant par .r, la sextique singulière Cg comptée triple, les cubiques singulières c'g. c'^ comptées simples.

Si l'on veut représenter la sui'face engendrée par les cubiques H s'appuvant sur une droite tj z, on peut, dans la dernière matrice, remplacer i/i par yi-\-kzi et éliminer k\ mais, comme les ./• ne figurent qu'au premier degré, il vaut mieux intervertii d'abord les symboles ./• et //; on a alors la relation

{aybxd'xf'x) + h{azb.xd'xfx) + i^[dy{axb'xf'x) fy{axb-xd'x)] 4- hi-^[dz{axb\xf'x) — /= iaxb\xd"x)] = 0

et deux analogues.

L'é'limination simple do k et "» donne facilement une surfaced'ordre IS; la surélimination donne des courbes singulières sur cette surface, savoir Cg comptée six fois, c'^ et c".^ comptées chacune une fois, plus les quatre cubi(jues <-) ayant y z pour bisécante. Nous laissons au lecteur le soin d'efîcctucr le calcuL